14 Bab 2 LANDASAN TEORI 21 Program Liier Programasi Liier (Liear Pogrammig) merupaka suatu model optimasi persamaa liier berkeaa dega kedala-kedala liier yag dihadapiya Model ii dikembagka oleh George B Datzig, seorag matematisia Amerika Serikat, pada tahu 1947 Beih-beih model ii sesugguhya sudah ditemuka auh sebelumya Seorag matematisia Rusia berama LV Katotrovich memperkealka peerapa programasi liier dalam bidag produksi pada tahu 1939 Lebih dari seabad sebelumya, pada tahu 1826, Fourier yag matematisia Peracis uga telah merumuska masalah programasi liier Aka tetapi, baru setelah Datzig megembagka da mempopulerkaya, model ii memperoleh perhatia yag berarti Datzig pulalah yag dikeal duia sebagai bapak programasi liier Masalah programasi liier berarti adalah masalah pecaria ilai-ilai optimum (maksimum atau miimum) sebuah fugsi liier pada suatu sistem atau sehimpu kedala liier Fugsi liier yag hedak dicari ilai optimumya, berbetuk sebuah persamaa, disebut fugsi tuua Sedagka fugsi-fugsi liier yag harus terpeuhi dalam optimasi fugsi tuua tadi, dapat berbetuk persamaa maupu pertidaksamaa, disebut dega fugsi kedala (Dumairy, 1999:343) Metode aalisis yag palig bagus utuk meyelesaika persoala alokasi sumber ialah metode program liier Pokok pikira yag utama dalam megguaka program liier ialah merumuska masalah dega elas dega megguaka seumlah iformasi yag tersedia Sesudah masalah terumuska dega baik, maka lagkah berikut ialah meeremahka masalah ii ke dalam betuk model matematika, yag terag mempuyai cara pemecaha masalah yag lebih mudah da rapi gua meemuka awaba terhadap masalah yag dihadapi Jawaba yag ditemuka dari hasil perhituga lebih mudah diilai da dievaluir keampuhaya satu dari yag lai da terhadap awaba yag terag lebih ampuh
15 aka ditetapka sebagai keputusa akhir da siap utuk dilaksaaka (P Siagia, 1987) Dalam kehidupa sehari-hari, liear programmig merupaka bagia yag sagat petig dalam area matematika yag disebut tekik optimasi Liear programmig umumya diaplikasika dalam permasalaha yag dapat dimodelka ke dalam suatu model matematika, misalya dalam mecari keutuga suatu usaha, pegoptimala persediaa, uga dalam beberapa masalah idustri maupu ekoomi Adakalaya dalam situasi tertetu solusi yag diigika haruslah dalam bilaga bulat, misalya pada perusahaa maufaktur, perusahaa tidak bisa memproduksi barag setegah, sepertiga, ataupu seperempat adi Masalah ii disebut dega iteger liear programmig (ILP) 211 Betuk Umum Model Programasi Liier Sebagaimaa telah diyataka sebelumya, masalah programasi liier tak lai adalah masalah optimasi bersyarat, yaki pecaria ilai maksimum (maksimisasi) atau pecaria ilai miimum (miimisasi) suatu fugsi tuua berkeaa dega keterbatasa-keterbatasa atau kedala yag harus dipeuhi Masalah-masalah tersebut secara umum dapat dirumuska sebagai berikut (Dumairy, 1999): a Masalah Maksimasi Maksimumka fugsi tuua Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c x terhadap kedala-kedala a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 x b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 x b 2
16 a mi x 1 + a m2 x 2 + + a m x b m di maa: x 0 = 1, 2,, Rigkasya, maksimumka terhadap a =1 i x bi z = c = 1 x x 0 i = 1, 2,, m b Masalah Miimasi Miimumka fugsi tuua Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c x terhadap kedala-kedala a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 x b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 x b 2 a mi x 1 + a m2 x 2 + + a m x b m di maa: x 0 = 1, 2,, Rigkasya, miimumka terhadap a =1 i x b z = c = 1 x x 0 i = 1, 2,, m
17 212 Karakteristik Liear Programmig Karakteristik-karakteristik dalam liear programmig yag biasa diguaka utuk memodelka suatu masalah da memformulasikaya secara matematik yaitu: a Variabel Keputusa Variabel keputusa adalah variabel yag secara legkap meguraika keputusa-keputusa yag aka dibuat b Fugsi Tuua Fugsi tuua merupaka suatu hubuga liier dari variabel keputusa yag berupa fugsi maksimum atau miimum c Kedala Kedala merupaka batasa-batasa dalam peyelesaia liear programmig yag harus diperhatika Kedala diekspresika dalam persamaa da pertidaksamaa yag uga merupaka hubuga liier dari variabel keputusa yag mecermika keterbatasa sumberdaya dalam suatu masalah
18 22 Iteger Liear Programmig Iteger Liier Programmig atau program bilaga cacah adalah suatu betuk dari program matematikal Ia adalah suatu kasus khusus dari program liier di maa semua (atau beberapa) variabel dibatasi sebagai bilaga cacah Kalau semua variabel dibatasi sebagai bilaga cacah, problemaya disebut sebagai problem program bilaga cacah muri da kalau beberapa variabel tertetu dibatasi sebagai bilaga cacah sedag yag lai tidak, problemaya disebut problem program bilaga cacah campura Suatu betuk khusus dari program bilaga cacah ialah suatu kasus di maa variabel dibatasi harus berharga ol atau satu Kalau variabel dibatasi seperti ii, maka problemya disebut problem program ol-satu (0-1) (P Siagia, 1987) 221 Betuk Umum Iteger Liear Programmig Maksimumka: Dega kedala: c x = 1 a =1 x 0 i x bi = 1, 2,, i = 1, 2,, m x merupaka bilaga cacah (utuk beberapa atau semua = 1,2,, ) Problema ii disebut sebagai iteger liear programmig (Stephe P Bradley, Aroldo C Hax, Thomas L Magati, 1977) 23 Metode Peyelesaia Masalah Iteger Programmig Tampakya cukup utuk medapatka solusi bulat dari masalah liear programmig, dega megguaka metode simpleks biasa da kemudia membulatka ilai-ilai pecah solusi optimum Buka tugas mudah utuk membulatka ilai-ilai pecah variabel basis yag meami tetap memeuhi semua kedala da tidak meyimpag cukup auh dari solusi bulat yag tepat Akibatya diperluka prosedur yag sistematis utuk medapatka solusi bulat
19 optimum terhadap masalah itu Beberapa metode yag dapat diguaka utuk meyelesaika masalah iteger programmig atara lai: 1 Metode Pedekata Pembulata 2 Metode Pedekata Grafik 3 Metode Brach ad Boud 231 Metode Pedekata Pembulata Suatu pedekata yag sederhaa dalam meyelesaika masalah iteger programmig adalah dega membulatka ilai variabel keputusa yag telah diperoleh pada peyelesaia liear programmig Pedekata ii mudah da praktis dalam usaha, waktu, da biaya yag diperluka utuk memperoleh solusi Pedekata pembulata merupaka cara yag serig diguaka utuk masalah iteger programmig apabila biaya perhituga sagat tiggi atau utuk masalah yag memiliki ilai-ilai solusi variabel keputusa relatif besar Namu demikia sebab utama kegagala pedekata ii adalah bahwa solusi yag diperoleh mugki buka solusi iteger optimum yag sesugguhya Dega kata lai, solusi pembulatab dapat lebih elek dibadigka solusi iteger optimum yag sesugguhya atau mugki merupaka solusi tak layak Tiga masalah berikut disaika utuk megilustrasika prosedur pembulata: Masalah 1: Maksimumka Kedala Masalah 2: Miimumka Kedala
20 Masalah 3: Maksimumka Kedala 4 Perbadiga atara solusi dega metode simpleks tapa pembatasa bilaga bulat, pembulata ke bilaga bulat terdekat da solusi iteger optimum yag sesugguhya utuk ketiga masalah tersebut adalah: Tabel 21 Perbadiga dega megguaka metode simpleks, pembulata terdekat, da solusi iteger optimum sesugguhya Masalah Solusi dega Metode simpleks Dega pembulata terdekat Solusi iteger optimum sesugguhya 1 2 3 Masalah pertama adalah masalah maksimasi, di maa solusi pembulata meghasilka keutuga 680, haya lebih kecil 20 dibadig yag dihasilka solusi bulat optimum 700 Masalah kedua adalah masalah miimasi di maa solusi pembulata adalah tak layak Ii meuukka bahwa meskipu pedekata adalah sederhaa, amu kadag-kadag meyebabka solusi tak
21 layak Utuk mecegah ketidaklayaka, ilai solusi simpleks dalam masalah miimasi harus dibulatka ke atas Sebalikya, pada masalah maksimasi ilai solusi simpleks semestiya dibulatka ke bawah Cotohya, pada masalah kedua ika solusi simpleksya dibulatka ke atas aka diperoleh da da merupaka solusi layak Juga pada masalah ketiga, ika solusi simpleksya dibulatka ke bawah aka diperoleh da da merupaka solusi layak Nilai fugsi tuua melalui simpleks tapa pembatasa bilaga bulat aka selalu lebih baik dibadig solusi iteger optimum karea terletak pada titik pook luar dari batas ruag solusi layak Suatu metode yag serupa dega pedekata pembulata adalah prosedur coba-coba (trial ad error) Dega megguaka cara ii, pegambil keputusa megamati solusi iteger da memilih solusi yag megoptimumka ilai fugsi tuua Cara ii sagat tidak efektif ika masalahya melibatka seumlah besar kedala da variabel Terlebih lagi, memeriksa kelayaka setiap solusi yag dibulatka aka bayak memaka waktu 232 Metode Pedekata Grafik Masalah iteger programmig yag melibatka dua variabel dapat diselesaika dega metode pedekata grafik Metode ii idetik dega metode grafik yag biasa diguaka dalam liear programmig Metode grafik relatif lebih mudah utuk meyelesaika masalah iteger programmig dua variabel yaitu dega meggambar grafik di atas kertas grafik kemudia meggambarka sekumpula titik-titik iteger dalam ruag solusi layak Masalah berikut aka diselesaika dega pedekata grafik Maksimumka Kedala
22 Model ii serupa dega model liear programmig biasa Perbedaaya terletak pada kedala terakhir yag megigika solusi berilai o egatif iteger Solusi grafik utuk masalah ii dituukka pada gambar di bawah Ruag solusi layak adalah OABC Solusi optimum masalah liear programmig dituukka pada titik B, dega da serta Utuk mecari solusi itger optimum masalah ii, garis Z (slope = -9/10) digeser secara seaar dari titik B meuu titik asal Solusi iteger optimum adalah titik iteger pertama yag bersigguga dega garis Z Titik itu adalah A, dega da serta
23 24 Brach ad Boud Brach ad Boud pertama kali diguaka oleh A Lad da G Doig utuk meyelesaika persoala program bilaga cacah muri da campura Kemudia pada tahu 1965, E Balas megembagka algoritma tambaha utuk meyelesaika ILP dega bilaga bier muri (pure biary) atau variabel olsatu Peghituga algoritma tambaha ii sagat sederhaa (umumya, peambaha da peguraga) yag dapat meghasilka solusi peecaha utuk problema ILP Aka tetapi, algoritma tambaha ii gagal utuk meghasilka keutuga peghituga yag diharapka Selai itu, algoritma tersebut yag pada awalya tampak tidak berhubuga dega metode brach ad boud, telah dituukka, tetapi buka merupaka problema khusus algoritma umum dari Lad da Doig (Hamdy A Taha, 2007) Metode brach ad boud adalah suatu prosedur yag palig umum utuk mecari solusi optimal dari masalah PLI Terdapat dua kosep dasar dalam algoritma brach ad boud a Brach Brachig (pecabaga) adalah proses membagi permasalaha meadi subproblemsubproblem yag mugki megarah ke solusi b Boud Boudig (pembatasa) adalah suatu proses utuk mecari atau meghitug batas atas (dalam masalah miimisasi) da batas bawah (dalam masalah maksimisasi) utuk solusi optimum pada subproblem yag megarah ke solusi
24 241 Prosedur Brach ad Boud Berikut ii adalah lagkah-lagkah peyelesaia suatu masalah maksimasi dega metode brach ad boud: 1 Formulasi permasalaha dalam model matematika, tetuka fugsi tuua da kedala 2 Ubah model matematika tersebut ke dalam betuk stadar 3 Selesaika model yag baru dega megguaka metode simpleks 4 Jika hasil yag ditemuka sudah berupa bilaga bulat, maka solusi optimum sudah didapatka Aka tetapi, apabila hasil yag didapat belum berupa bilaga bulat, maka aka dilakuka pecabaga 5 Lakuka metode simpleks utuk megoperasika liear programmig dega peambaha kedala yag baru da tetapka batas utuk setiap iterasi yag dilakuka 6 Lagkah tersebut dilakuka berulag sampai ditemuka hasil yag bulat