Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan linear untuk n peubah x, x 2,, x n dapat dinyatakan dalam bentuk: ax a2x2... anxn b dimana a, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta real.
Persamaan Linear x + 2y = 5000 3x + y = 0000 2x - 3y + 5z = 30 x + x 2 + x 3 + x 4 = 0 Bukan Persamaan Linear x 2 2y = 3 sinx + 2 cos y = 0 3e 2x sin (x+y) = 0
Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x, x 2,, x n dinamakan sistem persamaan liniear Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk: a x a x... a x b 2 2 n n a x a x... a x b 2 22 2 22 2 2 a x a x... a x b m m2 2 mn n m
Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk : a a a a a a a a a n 2n atau AX = B dimana: m m mn x x x 2 n b b b A dinamakan matriks koefisien X dinamakan matriks peubah B dinamakan matriks konstanta 2 m
Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut: a x a x... a x b 2 2 n n a x a x... a x b 2 22 2 22 2 2 a x a x... a x b m m2 2 mn n m Contoh x y 2z 8 x 2y 3z 3x 7y 4z 0 a a... a b a a... a b a a... a b 2 n 2 22 2n 2 m m2 mn m 2 8 2 3 3 7 4 0
Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut. Contoh: x 2y = 7 2x + 3y = 7 {x = 5, y = -} merupakan solusi dari SPL tersebut
Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah: SPL mempunyai solusi tunggal SPL mempunyai solusi tak hingga banyak SPL tidak mempunyai solusi
y y = 2x - 2 y = x (2, 2) merupakan titik potong dua garis tersebut 2 (2, 2) x Tidak titik potong yang lain selain titik tersebut 2 Artinya : SPL 2x y = 2 x y = 0 Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
Perhatikan SPL x y = 0 2x 2y = 0 Jika digambar dalam kartesius y 2x 2y = 0 x y = 0 x Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut Artinya: SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
Perhatikan SPL x y = 0 2x 2y = 2 Jika digambar dalam kartesius y y = x y = x Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi x
Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear. Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana
. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah. (kita namakan ini utama) 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks. 2 9 2 4 3 3 6 5 0 2 9 2 4 3 0 0 0 0
3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi. 4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di bawah satu utamanya. 2 9 2 3 3 6 5 0 4 3 7 0 6 2 0 0 5
5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di atas satu utamanya 0 0 0 0 2 0 0 3 Sembarang matriks yang memiliki sifat, 2, 3, dan 4 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss). Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. (Eliminasi Gaus Jordan)
Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasi Gaus-Jordan x y 2z 8 x 2y 3z 3x 7y 4z 0
2 8 2 8 2 8 b b 2 2 3 0 5 9 2 0 5 9 3 b bb 3 3 7 4 0 0 0 2 4 0 0 2 4 0 7 7 0 7 7 0 0 3 b2 b 7b3 b 0 5 9 b 3 0 5 9 0 0 0b2 b 3 52 5b3 b 2 0 0 52 04 0 0 2 0 0 2 Jadi solusi dari SPL x y 2z 8 x = 3 x 2y 3z 3x 7y 4z 0 y = z = 2
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu : Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, x i ) nn n n n n a a a a a a a a a 2 x n x x 2 b n b b 2
Hitung determinan A ( A ) Tentukan A i matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh Matriks B. Contoh : Hitung A i 2 n 2 2 2n Solusi SPL untuk peubah x i adalah x i det( Ai ) det( A) A b a a b a a b a a n n2 nn A 2 a b a a b a a b a n 2 2n n n nn
Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan cramer x y 2z 8 x 2y 3z 3x 7y 4z 0 Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B 2 x 8 2 3 y 3 7 4 z 0
2 x 8 A 2 3 X y B 3 7 4 z 0 det (A) = A (ekspansi kofaktor baris ke-) 2 3 3 2 A 2 7 4 3 4 3 7 ( 8 2) ( 4 9) 2(7 6) 33 26 52
8 2 0 7 4 A A 2 3 2 3 3 2 8 2 7 4 0 4 0 7 8( 8 2) (4 30) 2( 7 20) 8(3) 26 26 56 A 2 8 2 3 3 0 4 A 2 3 3 8 2 0 4 3 4 3 0 (4 30) 8( 4 9) 2( 0 3) 26) 04 26 52 A 3 8 2 3 7 0 A 3 2 2 8 7 0 3 0 3 7 ( 20 7) ( 0 3) 8(7 6) 33 04 04
x y z det( A ) 56 3 det( A) 52 det( A2 ) 52 det( A) 52 det( A3 ) 04 2 det( A) 52 Solusi dari SPL x y 2z 8 x 2y 3z 3x 7y 4z 0 x = 3 y = z = 2
Bentuk umum: a x a2 x2 a nxn 0 a x a x a x 0 2 22 2 2n n a x a x a x 0 m m2 2 mn n SPL homogen merupakan SPL yang konsisten, selalu mempunyai solusi. Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah Jika tidak demikian, SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak. (biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = x + 3y = -3x - 7y + 2z = 3 2x + 5y + z = - x + 2y - z = 3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 3z = -2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = x - 2y + z = 2x - y + z =
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = x + 3y = -3x - 7y + 2z = 3 2x + 5y + z = - x + 2y - z = 3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 3z = -2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = x - 2y + z = 2x - y + z =