MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05

XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai sala satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebi muda. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaa mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diarapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam keidupan seari-ari. STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecaan masala. KOMPETENSI DASAR : 6. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam peritungan turunan fungsi 6. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecakan masala 6. Merancang model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.4 Menyelesaikan model matematika dari masala yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya TUJUAN PEMBELAJARAN :. Mengitung limit fungsi yang mengara ke konsep turunan.. Mengitung turunan fungsi yang sederana dengan menggunakan definisi turunan. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi 4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat turunan 5. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai 6. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

7. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi 8. Menentukan persamaan garis singgung dari sebua fungsi 9. Mengidentifikasi masala-masala yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi 0. Merumuskan model matematika dari masala ekstrim fungsi. Menyelesaiakan model matematika dari masala ekstrim fungsi. Menafsirkan solusi dari masala nilai ekstrim KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar :. Pengertian Turunan Fungsi. Rumus-rumus Turunan Fungsi. Turunan Fungsi Trigonometri 4. Dalil Rantai 5. Garis Singgung 6. Fungsi Naik dan Turun 7. Menggambar grafik fungsi II. Uraian materi dan conto PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi turunan : Fungsi f : x y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y = f (x) atau dy = df(x) dan di definisikan : dx dx y = f (x) = lim f(x + ) f(x) atau dy = lim f (x + x) f(x) 0 dx 0 Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz. XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 4

Conto : Tentukan turunan dari f(x) = 4x Jawab f(x) = 4x f( x + ) = 4(x + ) = 4x + 4 - f ( x ) f ( x) Seingga: f (x) = (4x 4 ) (4x ) = lim 0 4x 4 4x ) = lim 0 4 = lim 0 = lim 4 0 = 4 lim 0 Conto ; Tentukan turunan dari f(x) = x Jawab : f(x) = x f(x + ) = (x + ) = (x + x + ) = x + 6x + f ( x ) f ( x) Seingga : f (x) = lim 0 (x 6x = lim 0 6x = lim 0 = lim 6 x 0 ) x XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 5

= 6x+.0 = 6x Latian Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:. f(x) = 6 x. f(x) = 5x +x. f ( x) x 4. f ( x) x 5. f(x) = x RUMUS-RUMUS TURUNAN. Turunan f(x) = ax n adala f (x) = anx n- dy atau = anx n- dx. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. y = v± u y = v ± u b. y = c.u y = c.u c. y = u.v y = u v + u.v u ' u' v uv' d. y y v v e. y = u n y = n. u n-.u Conto: Soal ke- Jika f(x) = x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adala. Pembaasan f(x) = x + 4 f (x) =.x = 6x XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 6

Soal ke- Nilai turunan pertama dari: f(x) = (x) + x 8x + 4 adala Pembaasan f(x) = x + x 8x + 4 f (x) =.x +.x 8 = 6x + 4x -8 Soal ke- Turunan ke- dari f(x) = (x-)(4x+) adala Pembaasan f(x) = (x-)(4x+) f(x) = x + x 8x f(x) = x 5x f (x) = 4x 5 Soal ke- 4 Jika f(x) = (x ) maka nilai f (x) adala Pembaasan f(x) = (x ) f (x) = (x ) () f (x) = 6(x ) f (x) = 6(x )(x ) f (x) = 6(4x 4x+) f (x) = 4x 4x + 6 Soal ke- 5 Turunan pertama dari f(x) = (5x ) adala Pembaasan f(x) = (5x ) f (x) = (5x ) (0x) f (x) = 0x (5x ) f (x) = 00x 0x XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 7

Soal ke- 6 Turunan pertama dari f(x) = (x 6x) (x + ) adala Pembaasan f(x) = (x 6x) (x + ) Cara : Misal : U = x 6x U = 6x 6 V = x + V = Seingga: f (x) = U V + U V f (x) = (6x 6)(x+) + (x +6x). f (x) = 6x + x 6x + x 6x f (x) = 9x Cara : f(x) = (x 6x) (x + ) f (x) = x - +6x 6x x f (x) = 9x +x x f (x) = 9x Latian soal. Tentukan turunan dari:. f(x) = x -. f(x) = 5 x. f(x) = 4 x 4. f(x) = 4 x x x 5. f(x) = (x + ) (x ) ( x ) 6. f(x) = x XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 8

7. f(x) = ( x ) 8. f(x) = 4 x 5x TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :. f(x) = sin x Yaitu : f(x) = sin x f(x + ) = sin (x + ) f ( x ) f ( x) f (x) = lim o sin( x ) sin( x) = lim 0 ( cos x )sin = lim 0 sin = lim cos (x )lim 0 0 = cos (x). = cos x. f(x) = cos x Yaitu : f(x) = cos x f(x + ) = cos ( x + ) f ( x ) f (x) = lim o f ( x) XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 9

= = cos( x ) cos( x) lim 0 sin (x )sin lim 0 sin = lim ( sin (x )lim ) 0 0 = - sin x ). ( = - sin x Jadi diperole rumus turunan fungsi trigonometri :. a. f(x) = sin x f (x) = cos x b. f(x) = cos x f (x) = - sin x. a. f(x) = sin (ax + b) f (x) = a cos (ax + b ) b. f(x) = cos (ax + b) f (x) = - a sin (ax + b ) dan jika u suatu fungsi maka:. a. f(x) = sin u f (x) = u cos u b. f(x) = cos u f (x) = - u sin u Conto 4: Tentuka turunan dari: a. f(x) = sin x + cos x b. f(x) = sin (5x ) c. f(x) = tan x jawab: a. f(x) = sin x + cos x f (x) = cos x - sin x b. f(x) = sin (5x ) f (x) = 5 cos (5x ) sin x c. f(x) = tan x = cos x missal : u = sin x u = cos x XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 0

v = cos x v = - sin x u' v uv' f (x) = v cos x.cos x sin x.( sin x) = cos x cos x sin x = cos x = cos x = sec x Latian soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut :. f(x) = sin x cos x. f(x) = sin x. f(x) = cos (x + ) 4. f(x) = tan x 5. f(x) = sec x 6. f(x) = sin x. cos x 7. f(x) = cos x x 8. f(x) = sin x DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y = f(g(x)) maka y = f (g(x)). g (x) Dari rumus y = f(g(x)) y = f (g(x)). g (x) du Jika g(x) = u g (x) = dan f(g(x)) = f(u) y = f(u) dx du dy = f (u) = f (g(x)) Maka f (x) = f (g(x)). g (x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

dy dy du. dx du dx Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka: dy dy du dv.. dx du dv dx Conto 5: Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari : a. y = (x x) 4 b. y = cos 5 ( x ) Jawab: a. y = (x x) 4 missal : u = x x Seingga : y = u 4 du dx = x dy 4 u du 4 ( x x) = dy dy du 4. = ( x x).(x ) dx du dx 8 = 4 x x x b. y = cos 5 ( Misal: v = x ) x dv = - dx XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

u = cos v y = u 5 dy du du dv = - sin v = - sin ( = 5u 4 = 5(cos v) 4 x Seingga : dy dy du dv. = 5(cos v) 4. - sin ( x dx du dv dx ). - = 0 (cos v) 4 sin ( x ) = 0 (cos( x ) ) ) 4 sin ( x Latian soal :. Dengan rumus turunan y = f ( g(x)) adala f (x) = f (g(x) ). g (x) Tentukan turunan dari: a. y = ( 4x + 5) b. y = sin ( x -. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut : a. y = ( 6 x ) b. y = cos ( 4x - ) c. y = sin - (x + ) ) ) XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

GARIS SINGGUNG PADA KURVA. Gradien garis singgung y Peratikan gambar di bawa ini Gradien garis AB adala y y m = x x f ( a ) f ( a) = ( a ) a f ( a ) f ( a) = y=f(x) B(a+),f(a+) AB A(a,f(a) g x=a x=a+ x Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A ( 0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient f ( a ) f ( a) mg lim 0 m f '( a) g XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 4

Seingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x,y) adala y y = m (x x) Conto 6: Diketaui kurva y = x x + 4 dan titik A (,4) a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. Jawab: y = x x + 4 y = x a. Gradien di titik A (,4) m = y x= =. = 6 = b. Persamaan garis singgung di titik A (,4) y y = m (x x) y 4 = (x ) y 4 = x 9 y = x 5 Latian soal. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: a. y = x 6x di titik (-,7) b. y = sin x di titik (, ). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y = x x di titik (,) b. y = x -x di titik dengan absis c. y = (-x)(x +) di titik dengan ordinat 8. Suatu garis singgung pada kurva y = + x x sejajar dengan garis 4x + y =, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 5

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN y f(x) y f(x) f(x) f(x) x x x 0 x x 0 Gb. gb.. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a x b, jika untuk setiap x dan x dalam interval a x b berlaku : x > x f(x) > f(x) (gb. ). Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a x b, jika untuk setiap x dan x dalam interval a x b berlaku : x > x f(x) < f(x) (gb. ). Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f (a) > 0 4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f (a) < 0 Conto 7 : Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x + 9x + 5x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 6

Jawab: f(x) = x + 9x + 5x + 4 f (x) = x + 8x + 5 a. Syarat fungsi naik f (x) > 0 x + 8x + 5 > 0 x + 6x + 5 > 0 (x+) (x+5) > 0 Harga batas x = -, x = -5 a. Syarat fungsi turun f (x) < 0 x + 8x + 5 < 0 x + 6x + 5 < 0 (x+) (x+5) < 0 Harga batas x = -, x = -5 Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > - Latia soal. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. a. f(x) = x 6x b. f(x) = -5 - x + 4x 0x + -5 - Jadi fungsi naik pada interval -5 < x < - c. f(x) = (x -) (x+). Tunjukkan bawa fungsi f(x) = x 6x + x + 6 tidak perna turun. XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 7

NILAI STASIONER y A B D C 0 x=a x=b x=c x=d x Peratikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f (x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai nilai stasioner. Jenis jenis nilai stasioner. Nilai stasioner di titik A. Pada : x < a diperole f (x) > a x = a diperole f (x) = a x > a diperole f (x) < a + + 0 Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.. Nilai stasioner di titik B dan D. a. Pada : x < b diperole f (x) < 0 x = b diperole f (x) = 0 x > b diperole f (x) < 0-0 - b a XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 8

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok. b. Pada : x < d diperole f (x) > 0 x = d diperole f (x) = d x > d diperole f (x) > d + 0 + fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok Pada titik B atau D sering anya disingkat nilai stasioner belok.. Nilai stasioner di titik E Pada : x < e diperole f (x) < 0 x = e diperole f (x) = 0 x > e diperole f (x) > 0 d - 0 + e Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum. Conto 7: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x + x XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 9

Jawab : f(x) = x + x f (x) = x + = (x + ) Nilai stasioner didapat dari f (x) = 0 (x + ) = 0 x = - f(-) = (-) + (-) = - Jadi diperole titik stasioner (-,-) x ( x + ) f (x) Bentuk grafik x = - - - - + - 0 + - 0 + Titik balik minimum Latian. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut : a. f(x) = x 6x b. f(x) = x 9x + x c. f(x) = 4 4 x x d. f(x) = x 4 8x -9 e. f(x) = ( x ) x 4 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 0

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langka sebagai berikut :. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika muda ditentukan ), yaitu diperole dari y = 0.. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperole dari x = 0.. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. 4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative. Conto 8: Diketaui persamaan y = f(x) = x x, tentukan : a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y. b. Nilai stasioner dan titik stasioner. c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative. d. Titik Bantu Jawab: a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. Y = 0 = x x 0 = x ( x ) 0 = x ( - x ) ( + x) Titik potong sumbu x adala (0,0), (,0), (-,0) ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = x x y =.0-0 y = 0 titik potong sumbu y adala (0,0) b. Syarat stasioner adala : f (x) = 0 f (x) = x ( - x ) ( x) ( + x) x =, x = - XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

untuk x =, f() = () () = x = -, f(-) = (-) (-) = - nilai stasionernya : y = dan y = - titik stasioner : (,) dan (-,-) c. y = x x, untuk nilai x besar maka bilangan dapat diabaikan teradap x, seingga y = -x. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif. d. Titik Bantu x - -, y - 8-8 y - - - XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

Soal latian Gambarla grafik :. y = x + 9. y = x 4 x. y = (x ) 4. x (8 x) XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05

XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 4