BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Aalisis regresi merupaka metode aalisis data yag meggambarka hubuga atara variabel respo dega satu atau beberapa variabel prediktor. Aalisis regresi tersebut diracag utuk keadaa dimaa variabel respo diperkiraka memiliki hubuga dega variabel-variabel prediktor laiya. Adaika terdapat pegamata pasaga,,,,,, X Y X Y X Y sampel 1 1 2 2 dega X i adalah variabel prediktor da Y i adalah variabel respo, maka hubuga liear atara variabel respo dega variabel prediktor yag memeuhi model di bawah ii: Y i = r(x i ) + ε i, (1.1) dapat dicari. Dimaa ε i adalah radom error dega asumsi idepede, E(ε i )=0 da Var(ε i )=σ 2, da r(x i ) adalah fugsi regresi yag tidak diketahui da aka diestimasi. Dalam hal ii fugsi r(x i ) diasumsika kotiu da mempuyai tigkat kemulusa tertetu. Ada dua jeis pedekata yag diguaka utuk megestimasi fugsi regresi r(x i ) yaitu secara parametrik maupu oparametrik. Pedekata parametrik dilakuka jika ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ) megeai hubuga atara variabel respo da variabel prediktor, sedagka pedekata oparametrik dilakuka jika tidak ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ) da aka diestimasi berdasarka data pegamata dega megguaka tekik smoothig. Dalam hal ii, kurva regresi diasumsika termuat dalam suatu fugsi mulus yag mempuyai turua yag kotiu. Ada berbagai macam tekik smoothig yag diguaka dalam pedekata oparametrik atara lai histogram, estimator kerel, deret orthogoal, estimator splie, k-nn, deret fourier, da wavelet. Da salah satu tekik yag aka diguaka dalam tesis ii adalah estimator kerel. Meurut Timothy da Dimitris (2008) ada berbagai macam estimator kerel atara lai yag diusulka oleh Nadaraya da Watso, Gaseer da Muller, da estimator lokal poliomial. Pada 1
2 masig-masig metode tersebut, fugsi r(x i ) aka diestimasi dega megguaka rata-rata bobot lokal yag medekati x. Kemulusa fugsi r(x i ) da sifat-sifat dari bobot yag diguaka dalam rata-rata tersebut meetuka performace dari estimator. Meurut Hardle (1990) estimator Nadaraya-Watso didefiisika sebagai berikut: 1 h 1 h i1 rˆ x k 1 x Xi K Yi h x Xk K h (1.2) dega K(x) adalah fugsi kerel yag diguaka sebagai pembobot, sedagka h (badwidth) adalah parameter yag diguaka sebagai pemulus. Peyebut dari estimator di atas biasa kita sebut sebagai estimator desitas kerel atau biasa disimbolka dega ˆh f x. Meurut Hardle (1994) ketepata suatu pemulus kerel sebagai estimator dari r ditetuka oleh dua hal yaitu badwidth da fugsi kerel yag diguaka sebagai bobot. Badwidth h pada estimator di atas berfugsi utuk meyeimbagka atara bias da variasi dari fugsi tersebut. Badwidth yag terlalu kecil aka meyebabka fugsi yag diestimasi tersebut mejadi sagat kasar sehigga hubuga variasiya tiggi da memiliki potesi bias yag redah. Sebalikya jika badwidth yag terlalu besar meyebabka fugsi yag diestimasi aka sagat mulus sehigga hubuga variasiya redah da memiliki potesi bias yag besar. Oleh karea itu diperluka pemiliha badwidth yag optimum. Cross validatio, plug-i adalah beberapa metode yag diguaka utuk medapatka badwidth yag optimum. Pemiliha badwidth yag optimum dilakuka dega cara memperkecil tigkat kesalaha. Semaki kecil tigkat kesalahaya semaki baik estimasiya. Utuk megetahui ukura tigkat kesalaha suatu estimator dapat dilihat dari MSE (Mea Squared Error) atau MISE (Mea Itegrated Squared Error).
3 Sedagka kerel K berfugsi sebagai bobot yag ikut meetuka kemulusa fugsi r, ketepata pemulus kerel sebagai estimator, da juga dalam meetuka performace (bias, variasi da MSE) yag optimal secara asimtotik. Meurut Timothy da Dimitris (2003) jika kerel K mempuyai order v da fugsi kepadata r mempuyai turua kotiu sebayak k kali maka Bias ( ˆr x ) = C K,r (x) h + o(h ) (1.3) Dimaa =mi{v,k} da C K,r (x) adalah fugsi terbatas yag bergatug pada K, r, da turua fugsi r. Ketika fugsi r cukup mulus atau dapat dideferesialka sebayak k kali dimaa v k, maka bias ˆr x dapat direduksi mejadi o(h k ) dega secara tepat memilih kerel dega order yag lebih besar dari bayakya diferesial. Namu utuk megestimasi jumlah diferesial dari fugsi r tidaklah mudah, sehigga kita kesulita utuk meetuka order kerel berapakah yag harus dipilih agar bias estimator tersebut dapat direduksi mejadi o(h k ). Oleh karea itu ditetapka suatu kerel yag memiliki ifiite order. Kerel tersebut mampu mereduksi bias ˆr x dari o(h ) mejadi o(h k ) tidak peduli berapa besar k. Dalam tesis ii aka dicari performace (bias, variasi) dari peyebut da pembilag estimator Nadaraya Watso megguaka kerel berorder tak higga kemudia mecari sifat-sifat dari estimator tersebut secara asimtotik baik distribusiya maupu kekosisteaya. Kemudia dibadigka performace dari kerel berorder tak higga dega kerel berorder berhigga megguaka program R dega membadigka ilai MSE dari masig-masig kerel. 1.2 Tujua Peelitia Berdasarka apa yag telah diuraika pada latar belakag di atas maka tujua dari peulisa tesis ii adalah: 1. Mecari performace (bias da variasi) dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerel yaitu ifiite order Kerel secara asimtotik. 2. Meyelidiki kekosistea da distribusi dari estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerel secara asimtotik.
4 3. Melakuka studi kasus dari data rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebih dari 1000 km 2 melalui tekik pemulus kerel megguaka estimator Nadaraya-Watso kerel berorder berhigga da tak higga dega megguaka program R. 4. Membadigka performace atara estimator Nadaraya-Watso kerel berorder berhigga dega tak higga dilihat dari grafik da ilai MSE. 1.3 Mafaat Peelitia Mafaat yag diharapka diperoleh dari peulisa tesis ii adalah: 1. Bagi peulis diharapka dapat meambah pemahama megeai sifat-sifat asimtotis dari estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerelya. 2. Dapat memberika sumbaga terhadap perkembaga ilmu pegetahua da meambah wawasa pegetahua dalam bidag statistika terutama dalam mecari estimasi fugsi desitas dari regresi oprametrik dega tekik smoothig, da dalam memahami sifat-sifat estimator Nadaraya-Watso dega kelas kerel baru secara asimtotis. 3. Bagi pembaca sebagai motivasi utuk megembagka peemua baru dalam megestimasi fugsi dalam regresi oparametrik dega tekik smoothig. 1.4 Tijaua Pustaka Dalam juralya Kerel Estimators of Regressio Fuctio, Bieres (1985) meeliti megeai bagaimaa cara meetapka fugsi kerel da juga cara pemiliha badwidth. Selai itu, dalam juralya tersebut Bieres juga membahas megeai sifat-sifat asimtotik dari estimator Nadaraya-Watso dega kerel yag mempuyai fiite order. Sedagka Jiaqig Fa (2007) dalam juralya yag berjudul Desig Adaptive Noparametric Regressio membahas megeai performace diatara dua metode smoothig yaitu lokal liear da juga kerel. Estimator kerel yag diguaka oleh Jiaqig Fa adalah estimator Gasser Muller da juga Nadaraya-Watso. Timothy L McMurry da Dimitris N Politis (2003) dalam juralya yag berjudul Noparametric Regressio with Ifiite
5 Order Flat-Top Kerels juga meguji sifat-sifat asimtotik kerel, amu megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega order yag tak higga (ifiite) megguaka estimator Gasser-Muller. Peelitia yag hampir serupa juga perah diteliti oleh Timothy L McMurry da Dimitris N Politis (2008) dalam juralya yag berjudul Miimally Biased Noparametric Regressio ad Autoregressseio. Dalam juralya tersebut Timothy da Dimitris membahas megeai bias regresi da autoregresi oparametrik secara miimal dega megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega order tak higga, amum dalam tesis ii peulis haya aka membahas megeai regresi oparametrik dega megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega ifiite order, dimaa kerel tersebut dapat secara otomatis dapat mereduksi bias estimator r mejadi O(h k ) tapa peduli berapa kali turua kotiuya. 1.5 Metode Peelitia Metodologi yag diguaka dalam peelitia ii adalah studi literatur. Lagkah-lagkah yag dilakuka peulis adalah sebagai berikut: 1. Mecari da meetuka jural yag aka dijadika baha acua. 2. Megumpulka jural-jural lai yag releva dega materi dalam jural acua. 3. Mempelajari buku-buku pedukug yag berkaita dega topik permasalaha peelitia. 4. Mempelajari da membahas topik peelitia yag meliputi: teori regresi oparametrik, ide dasar smoothig, estimator kerel, estimasi fugsi dalam regresi oparametrik, sifat-sifat fugsi kerel, estimasi desitas kerel, fugsi estimator Nadaraya Watso, kerel dega ifiite order. 5. Mempelajari performace (bias da variasi) dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega ifiite order kerel serta melakuka simulasi dega software R. 6. Meyusu lapora peelitia sesuai dega buku petujuk peulisa tesis yag diberlakuka.
6 1.6 Sistematika Peulisa BAB I PENDAHULUAN : Pada bab ii membahas tetag latar belakag da permasalaha, tujua da mafaat peelitia, tijaua pustaka, metodologi peelitia, da sistematika peulisa. BAB II LANDASAN TEORI : Pada bab ii membahas tetag ide dasar smoothig, defiisi da teorema statistika yag terkait, estimasi desitas kerel utuk kerel berorder dua, estimasi desitas kerel utuk kerel berorder tiggi, estimator Nadaraya-Watso. BAB III PEMBAHASAN : Pada bab ii aka dijelaska cotoh fugsi kerel berorder tak higga, da juga aka dipaparka megeai performace dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kelas kerel baru tersebut serta kekosistea da distribusiya secara asimtotis. BAB IV STUDI KASUS : Pada bab ii aka dilakuka studi kasus dari data rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebih dari 1000 km 2 dega program R kemudia dibadigka performace atara estimator Nadaraya-Watso kerel order tak higga dega kerel order berhigga dari grafik maupu ilai MSEya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN : Bab ii berisi pembahasa megeai kesimpula yag diperoleh dari bab-bab sebelumya da sara utuk peelitia selajutya berdasarka apa yag telah dibahas pada bab-bab sebelumya.