A. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN SIFAT OPERASI HITUNG BAB I BILANGAN 1. Sifat Komutatif ( Pertukaran ) a + b = b + a a x b = b x a Sifat komutatif hanya berlaku pada penjumlahan dan perkalian. 1) 30 + 50 = 50 + 30 2) 35 x 23 = 23 x 35 80 = 80 805 = 805 Komutatif tidak berlaku pada pengurangan dan pembagian. 1) 32-67 67-32 2) 50 : 2 2:50-35 35 25 0,04 2. Sifat Asosiatif ( Pengelompokan ) a + b + c = (a + b) + c a x b x c = (a x b) x c = a + (b + c) = a x (b x c) Contoh asosiatif pada penjumlahan: 1) (10+ 20) + 40 = 10 + (20 + 40) 30 + 40 = 10 + 60 70 = 70 Contoh asosiatif pada perkalian: 2) (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) 6 x 5 = 2 x 15 30 = 30 Sifat asosiatif tidak berlaku pada pengurangan dan pembagian, contoh: 1) (5 2) - 3 5 (2-3) 2) (12 : 6) : 2 12 : (6 : 2) 3-3 5 (-1) 2 : 2 12 : 3 0 6 1 4 3. Sifat Distributif ( Penyebaran ) a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) ( a + b ) : c = ( a : c ) + ( b : c ) a x ( b c ) = ( a x b ) - ( a x c ) ( a b ) : c = ( a : c ) - ( b : Contoh perkalian terhadap penjumlahan: 1) 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5) 3 x 9 = 12 + 15 27 = 27 Contoh pembagian terhadap pengurangan: 2) (50-30) : 2 = (50 : 2) - (30 : 2) 20 : 2 = 25-15 10 = 10 Untuk pembagian hanya berlaku dari sebelah kanan, dan tidak berlaku dari sebelah kiri. 60 : (12 + 3 ) (60 : 12) + (60 : 3) 60 : 15 5 + 20 4 25 1
B. PEMBULATAN DAN PENAKSIRAN 1) Pembulatan Aturan pembulatan : 1) Perhatikan angka di sebelah kanan dari angka yang dibulatkan 2) Bulatkan ke atas jika angka di sebelah kanannya 5 atau lebih dari 5 3) Bulatkan ke bawah jika angka di sebelah kanannya kurang dari 5. Dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 18.284 Dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 18.280 18.283,7 Ingat...ingat..aturan pembulatan yaa...!!! Dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 18.300 Dibulatkan ke ribuan terdekat menjadi 18.000 Dibulatkan ke puluh ribuan terdekat menjadi 20.000 2) Penaksiran Taksiran ada 2, yaitu : 1. Taksiran tinggi, yaitu dilakukan pembulatan ke puluhan, ratusan, atau ribuan di atasnya. 2. Taksiran rendah, yaitu dilakukan pembulatan ke puluhan, ratusan, atau ribuan di bawahnya. Untuk mendapatkan taksiran terbaik, lakukan pembulatan ke puluhan, ratusan, atau ribuan terdekat. Tentukan taksiran dari: a. 24 x 56 = Taksiran rendah : 20 x 50 = 1.000 Taksiran tinggi : 30 x 60 = 1.800 Taksiran terbaik : 20 x 60 = 1.200 b. 5.675 + 4.325 = Taksiran rendah : 5.000 + 4.000 = 9.000 Taksiran tinggi : 6.000 + 5.000 = 11.000 Taksiran terbaik : 6.000 + 4.000 = 10.000 C. MENGENAL BILANGAN BULAT 1) Perhatikan gambar di bawah ini! negatif..... -2-1 0 1 2 netral positif Kita ingat lagi bilangan bulat yuuuk.! Bilangan bulat terdiri dari: 1. Bilangan bulat negatif, contoh: -1, -2, -3,. 2. Bilangan netral, yaitu 0 3. Bilangan bulat positif, contoh: 1, 2, 3, 4,. Bilangan bulat positif terkecil = 1 Bilangan bulat positif terbesar = (positif tak terhingga) Bilangan bulat negatif terkecil = - (negatif tak terhingga) Bilangan bulat negatif terbesar = -1 2
D. LAWAN BILANGAN BULAT Lawan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif. -5 adalah lawan dari 5 9 adalahlawan dari -9 E. PENGGUNAAN BILANGAN BULAT a. Penggunaan bilangan bulat negatif Ciri-ciri kalimat yang menggunakan bilangan bulat negatif biasanya terdapat kata : hutang, di bawah permukaan air, di bawah 0 0, mundur, kalah, turun, ke kiri, dan sebagainya. 1. Suhu udara di kutub utara 7 0 C di bawah 0. Ditulis -7 0 C. 2. Sebuah kapal selam ada di kedalaman 35 m di bawah permukaan air. Ditulis -35 m. b. Penggunaan bilangan bulat positif Ciri-ciri kalimat yang menggunakan bilangan bulat positif biasanya terdapat kata : piutang, di atas permukaan air, di atas 0 0, maju, menang, naik, ke kanan, dan sebagainya. 1. Seekor ulat menaiki tanaman sejauh 3 m di atas permukaan tanah. Ditulis 3 m. 2. Sinta naik ke lantai 3 sebuah gedung. Ditulis lantai 3. F. MEMBANDINGKAN BILANGAN BULAT Untuk membandingkan bilangan bulat kita dapat menggunakan garis bilangan, yaitu : Bilangan yang letaknya di sebelah kanan selalu lebih besar dari bilangan yang ada di sebelah kirinya. Bilangan yang ada di sebelah kiri selalu lebih kecil dari bilangan yang ada di sebelah kanannya. 2 lebih kecil dari 5-4 lebihbesar dari -10 G. MENGURUTKAN BILANGAN BULAT 1. Urutkan bilangan -5, 4, -2, 3, -1, 0 mulai dari yang terkecil! 2. Urutkan bilangan 3, 1, 4, -3, 2, -1 mulai dari yang terbesar!.............. - 4-3 - 2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Berdasarkan garis bilangan di atas, maka : 1. Urutan bilangan mulai dari terkecil adalah -5, -2, -1, 0, 3, 4. 2. Urutan bilangan mulai dari terbesar adalah 4, 3, 2, 1, -1, -3. H. OPERASI PADA BILANGAN BULAT 1. Penjumlahan bilangan bulat menggunakan garis bilangan contoh: Bagaimana ya, cara kita 1) 3 + 2 =. menyelesaikan operasi hitung 5 bilangan bulat? 2 Kita pelajari yuuk! 3...... 0 1 2 3 4 5 Jadi 3 + 2 = 5 2) -3 + 5 =....... -3-2 -1 0 1 2 Jadi -3 + 5 = 2 3
2. Pengurangan bilangan bulat menggunakan garis bilangan 1) 5-4 =....... 0 1 2 3 4 5 Jadi 5 4 = 1 2) -3-5 =.......... -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 Jadi -3 5 = -8 3) -2 + (-4) =........ -6-5 -4-3 -2-1 0 Jadi -2 + (-4) = -2 4 = -6 4) 3 (-4) = sama artinya dengan menambah 3 dengan lawan -4, yaitu 3 + 4......... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Jadi 3 (-4) = 3 + 4 =7 a. Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat Aturan dalam perkalian dan pembagian bilangan bulat : + x + = + x + = + x - = x - = + + :+ = + : + = + : - = : - = + 1) 3 x (-2) = -6 2) -3 x (-7) = 21 3) -12 : (-3) = 4 4) -15 : 3 = -5 c. Bagaimana ya, cara menyelesaikan Operasi Hitung campuran Bilangan Bulat? Ini sering keluar lho, di ujian,.. Qta pelajari lagi yuk...! 4
Operasi hitung campuran pada bilangan bulat berlaku konsep KABATAKU (kali, bagi, tambah, kurang) dimana kali (x) dan bagi (:) lebih kuat daripada tambah (+) dan kurang (-), jadi kali (x) dan bagi (:) dikerjakan terlebih dahulu. Akan tetapi kali (x) dan bagi (:) sama kuat, tambah (+) dan kurang (-) sama kuat, maka perhitungannya mulai dari kiri. 1) 405 127 + 87 = 278 + 87 = 365 2) 27 : 3 x 4 = 9 x 4 = 36 3) 12 + 18 : 2 x 9 = 12 + 9 x 9 Bila pada soal terdapat tanda kurung, maka dahulukan operasi hitung yang berada dalam tanda kurung. 4) 12 x (8 + 10) 15 = 12 + 81 = 93 = 12 x 18 15 = 201 Langkah-langkah mudah penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat: 1) Jika bilangan yang dioperasikan tandanya sama (keduanya positif atau keduanya negatif), maka : a) kedua bilangan tersebut dijumlahkan b) jika keduanya positif, maka hasilnya juga pasti positif c) jika keduanya negatif, maka hasilnya juga pasti negatif 3 + 5 = 8-3 - 5 = -8 2) Jika bilangan yang dioperasikan tandanya berbeda (satu positif, yang lainnya negatif), maka: a) bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil b) jika bilangan yang bernilai negatif lebih besar daripada bilangan yang bernilai positif maka hasilnya pasti negatif (tambahkan tanda ( ) pada hasil operasi hitung tersebut) c) jika bilangan yang bernilai positif lebih besar daripada bilangan yang bernilai negatif maka hasil operasinya pasti positif 3) Jika dalam sebuah soal ada dua operasi (+ dan -) berturutturut, maka kedua operasi tersebut dijadikan satu, dimana aturannya sebagai berikut: + (-) = - - (-) = + 3-5 = -2-3 + 5 = 2 7 + (-5) = 7-5 = 2 7 (-5) = 7 + 5 = 12 I. SOAL CERITA BILANGAN BULAT Untuk menyelesaikan soal cerita bilangan bulat, yang perlu diperhatikan adalah : 1. Bacalah soal dengan teliti, tentukan apa yang ditanya dan diketahui dari soal. 2. Tentukan tanda positif dan negatif dari masing-masing unsur yang diketahui. 3. Kata-kata yang melambangkan bilangan bulat positif misalnya : jumlah, maju, di atas permukaan air, piutang, menang, naik, dll. 4. Kata-kata yang melambangkan bilangan bulat negatif misalnya : selisih, mundur, di bawah permukaan air laut, hutang, kalah, turun, dll. 5
5. Telitilah dalam menyelesaikan operasi hitung yang ditanyakan. Suhu di dalam kulkas -5 0 C sedangkan suhu di ruangan 27 0 C. Perbedaan suhu di dalam kulkas dan di ruangan adalah... Pembahasan : Diketahui : suhu di dalam kulkas = -5 0 C Ditanya : perbedaan suhu Jawab : Perbedaan suhu = selisih suhu Selisih = bilangan yang besar bilangan yang kecil Perbedaan suhu = suhu ruangan suhu di dalam kulkas = 27 0 C (-5 0 C) = 27 0 C + 5 0 C = 32 0 C suhu ruangan = 27 0 C Ini sering keluar lho, di ujian SOAL EVALUASI BAB 1 Selesaikan soal-soal di bawah ini ya...!! 1. Rara mengikuti lomba gerak jalan. Pada setengah jam pertama ia telah berjalan 2.425 meter. Pada setengah jam kedua ia berjalan 2.178 meter. Pada 1 jam berikutnya ia berjalan sejauh 3.816 meter. Berapa ribu meter kira-kira jarak yang telah ia tempuh? 2. Suhu maksimum di sebuah kota adalah 25 0 C, sedangkan suhu minimumnya adalah - 2 0 C. a. Berapa selisih suhu maksimum dan suhu minimum? b. Bila suhu sekarang adalah 10 0 C. Berapa derajat kenaikan atau penurunan suhu yang dibutuhkan untuk mencapai : i) suhu maksimum? ii) suhu minimum? 3. Intan sedang menyelam. Dari permukaan laut ia turun 15 meter. Setelah beberapa saat, ia berenang kembali menuju ke permukaan laut sejauh 7 meter. Berapa meter posisi Intan sekarang dari permukaan air? TAHUKAH KAMU??? Bilangan-bilangan bulat positif dan negatif dikenal pada zaman Cina kuno. Bangsa Cina mempunyai dua set pengukuran untuk perhitungan: merah untuk bilangan-bilangan positif dan hitam untuk bilangan-bilangan negatif. Bilangan-bilangan negatif tidak begitu biasa ditemukan di luar Cina sampai abad ke-16, tetapi sekarang telah digunakan secara meluas. 6
BAB II F P B & K P K A. KELIPATAN BILANGAN Kelipatan Bilangan 1 x 2 = 2 3 x 2 = 6 5 x 2 = 10 2 x 2= 4 4 x 2 = 8 6 x 2 = 12 Bilangan 2, 4, 6, 8, 10,12,. merupakan hasil perkalian bilangan 2 dengan bilangan asli yaitu 1, 2, 3, 4, 5,. Jadi, bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12,. B. FAKTOR, FAKTOR PRIMA, DAN FAKTORISASI PRIMA Faktor suatu bilangan adalah bilangan - bilangan yang habis membagi bilangan itu. Misalnya : 2 adalah faktor dari 6, karena 6 habis dibagi 2. Tetapi 4 bukanlah faktor dari 6, karena 6 tidak habis dibagi oleh 4. Faktor dari 9 adalah 1, 3, dan 9, ya Bu? Aku juga bisa kok Bu, Faktor dari 12 itu adalah 1,2,3,4,6,dan 12 12 1 12 2 3 6 4 9 1 9 3 3 - Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang tepat memiliki 2 buah faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya 5 adalah bilangan prima, karena memiliki tepat dua buah faktor, yaitu 1 dan 5. sedangkan 4 bukanlah bilangan prima, karena 4 memiliki lebih dari dua buah faktor, yaitu 1, 2, dan 4. Yang termasuk bilangan prima diantaranya 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dst. Masih ingat, kan Faktor prima dan faktorisasi prima? - Faktor prima adalah bilangan-bilangan prima yang habis membagi bilangan tersebut - Faktorisasi prima disebut juga perkalian bilangan prima berpangkat. Untuk mencari faktor prima dan faktorisasi prima bisa menggunakan pohon faktor. Bilangan yang akan dicari faktornya dibagi dengan bilangan prima terkecil. Bila hasil pembagian tersebut masih bisa dibagi dengan bilangan prima, maka harus dibagi lagi sampai hasilnya berupa bilangan prima. 7
2 150 75 Faktor prima dari 150 adalah 2, 3, dan 5 Faktorisasi prima dari 150 adalah 2 x 3 x 5 2 3 25 5 5 C. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) Tentukan KPK dan FPB dari 30 dan 40! Jawab: 1. Cara I : faktorisasi prima 30 2 15 3 5 40 2 20 2 10 2 5 30 = 2 x 3 x 5 40 = 2³ x 5 KPK = 2³ X 3 x 5 = 120 FPB = 2 x 5 =10 Kalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, gunakan faktor prima yang memiliki pangkat terbesar Kalikan faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil dari bilangan-bilangan tersebut 2. Cara II : tangga faktor 2 30 40 2 15 20 2 15 10 3 15 5 5 5 5 1 1 Jadi, KPK= 2 3 x 3 x 5 = 120 FPB = 2 x 5 = 10 D. SOAL CERITA Bagilah bilangan 30 dan 40 dengan bilangan prima terkecil yang mungkin, jika bilangan prima tersebut bisa membagi kedua bilangan, maka diberi tanda bulatan Untuk menentukan KPK, kalikan semua bilangan prima tersebut Untuk menentukan FPB, kalikan semua bilangan prima yang diberi tanda bulatan. 1) Icha berenang setiap 4 hari sekali, Nabila berenang setiap 6 hari sekali, dan Rara berenang setiap 8 hari sekali. Jika mereka berenang bersama - sama pada tanggal 14 Agustus 2010, maka mereka akan berenang bersama-sama lagi pada tanggal. Jawab: KPK dari 4, 6, dan 8 adalah 24 Artinya, mereka akan berenang bersama-sama lagi 24 hari kemudian setelah tanggal 14 Agustus 2010. 14 Agustus + 24 hari = 38 31 (Agustus 31 hari) = 7 September 2010 Jadi, mereka akan berenang bersama-sama lagi pada tanggal 7 September 2010 2) Rizky membeli 9 kg cat merah, 6 kg cat putih, dan 3 kg minyak cat. Jika Rizky ingin mencampur ketiga cat tersebut sama banyak ke dalam kaleng, maka jumlah kaleng yang dibutuhkan oleh Rizky adalah buah Jawab: FPB dari 9, 6, dan 3 adalah 18. Jadi jumlah kaleng yang dibutuhkan oleh Rizky adalah 18 buah 8
SEJARAH BILANGAN PRIMA Bilangan prima adalah bilangan bulat >1 yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Tulang Ishango memiliki 3 baris takik. Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik, yang merupakan bilangan - bilangan prima antara 10 hingga 20. Meskipun sedikit sekali manfaat yang diketahui, namun di awal masehi orang tetap mencari dan membuktikan bahwa suatu bilangan merupakan bilangan prima. Cara yang paling efisien untuk mencari bilangan prima kecil (misalkan kurang dari 107) adalah dengan menggunakan metode Seive of Eratosthenes (240 SM) sebagai berikut : Daftarkanlah semua bilangan bulat antara 2 hingga n. Hapuslah semua bilangan kelipatan bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan n. Maka bilangan yang masih tersisa adalah bilangan prima. Sebagai contoh, untuk mencari semua bilangan prima 30, pertama-tama didaftarkan semua bilangan bulat antara 2 hingga 30. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Bilangan pertama (= 2) adalah bilangan prima. Hapuskan semua bilangan kelipatan 2. Didapat 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29. SOAL EVALUASI BAB 2 Selesaikan soal-soal di bawah ini yyaaa...!!!!! 1. Bu cinta akan mengadakan pesta ulang tahun untuk putranya yang bernama Kevin. Untuk keperluan pesta, Bu Citra membeli 15 kg buah jeruk, 24 kg buah anggur, dan 18 kg buah stroberry. Semua buah akan diletakkan dalam beberapa keranjang yang isinya sama banyak. Berapa keranjang terbanyak yang dibutuhkan Bu Citra? 2. Ani berenang tiap 6 hari sekali, Fina tiap 5 hari, dan Rina tiap 4 hari sekali. Pada hari Senin mereka akan berenang bersama-sama, pada hari apa lagi mereka akan berenang bersama-sama? 3. Ada 45 siswa laki-laki dan 50 siswa prempuan. Seluruh siswa akan ikut wisata ke Dufan menggunakan beberapa bus. Berapa banyak peserta wisata tiap kelompok bis? 9
BAB III PANGKAT & AKAR A. PENGKUADRATAN DAN PENARIKAN AKAR PANGKAT DUA 1. Pengkuadratan Pengkuadratan atau perpangkatan dua sebagai perkalian berulang 1 2 = 1 x 1= 1 ;dibaca satu kuadrat atau satu pangkat dua 2 2 = 2 x 2 = 4 6 2 = 6 x 6 = 36 3 2 = 3 x 3 = 9 7 2 = 7 x 7 = 49 4 2 = 4 x 4 = 16 8 2 = 8 x 8 = 64 5 2 = 5 x 5 = 25 9 2 = 9 x 9 = 81 10 2 = 10 x 10 = 100 Hasil suatu bilangan berpangkat dua disebut bilangan kuadrat. Jadi 1, 4, 9, 16,... disebut bilangan kuadrat. Ayo, kita pelajari lagi materi ini, soalnya sering keluar di ujian 2. Akar Kuadrat atau akar pangkat dua 4 2 = 4 x 4 = 16, maka akar pangkat dua dari 16 = 4 atau 16 = 4 25 = 5, karena 5 2 = 5 x 5 = 25 9 9 = 3 x 3 = 9 2,25 = 225 100 = 15 10 = 1,5 Cara mencari akar kuadrat atau akar pangkat dua Info buat kamu. Akar kuadrat suatu bilangan adalah suatu bilangan lain yang bila dipangkatkan dua menghasilkan bilangan semula. Akar kuadrat dilambangkan dengan. 1) Cara bersusun contoh: 169 1 69 1 x 1 = 1-69 23 x 3 = 69-0 Jadi 169= 13 Pisahkan tiap dua angka mulai dari belakang Carilah hasil kali dua bilangan sama yang hasilnya 1, yaitu 1 x 1 = 1 Jumlahkan kedua bilangan pada langkah ke 2, yaitu (1 + 1 = 2) Carilah bilangan yang memenuhi 2 x = 69 (bilangan yang dicari harus sama) akhirnya diperoleh bilangan 23 x 3 = 69 Gabungkan bilangan yang diberi tanda bulatan, sehingga diperoleh 169 = 13 2) Cara faktorisasi prima 225 3 75 3 25 225 = 225 = 2 2 3 5 = 3 (2 : 2) (2 : 2) x 5 = 3 x 5 = 15 5 5 Jadi 225 =15 10
3) Memperkirakan hasil penarikan akar pangkat dua 5 =. Langkah-langkahnya: 5 4 = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 =2 9 = 3 9 4 = 5 Kemungkinan hasil dari 5 berada diantara 2 dan 3. Jadi, 5 2 5 1 2,2 B. OPERASI HITUNG BILANGAN KUADRAT 1. 625 : 5 2 + 676 = n, nilai n adalah Cara : 625 = 25 5 2 = 5 x 5 = 25 676 = 26 2 x 2 = 4-2 x 2 = 4-225 276 45 x 5 = 225-46 x 6 = 276-0 0 Jadi 625 : 5 2 + 676 = 25 : 25 + 26 = 27 2. Denny melukis di atas sebuah kanvas persegi seperti gambar di samping. Jika luas kanvas tersebut 576 cm 2, maka panjang sisi kanvas tersebut adalah cm Jawab : sisi = 576 = 24 Jadi, panjang sisi kanvas adalah 24 cm Ayo, diingat lagi materi ini, soalnya sering keluar di ujian 11