Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri teori integrl. Limit fungsi risn fungsi yng terintegrl Riemnn pd sutu intervl elum tentu fungsi terseut jug terintegrl Riemnn pd intervl itu. Dengn demikin diperlukn syrt lin gr limit fungsi jug terintegrl Riemnn. Tulisn ini ertujun memhs syrt cukup gr limit fungsi dri risn fungsi yng konvergenn di mn-mn jug terintegrl Riemnn. Selnjutny, dihs jug syrt cukup gr limit fungsi dri risn fungsi yng konvergen hmpir di mn-mn jug terintegrl Riemnn. Kt kunci : Integrl Riemnn, terintegrl serentk, konvergen hmpir di mnmn. 1. PENDAHULUAN Dierikn himpunn ilngn rsionl { 1, 2, 3, } yng termut di dlm intervl tertutup [0,1]. Didefinisikn risn fungsi pd [0,1] dengn rumus segi erikut : f n (x) = 1 untuk x { 1, 2,, n } dn f n (x) = 0 untuk nili x lin. Jels hw risn { f 1, f 2, f 3, } merupkn risn fungsi yng terintegrl Riemnn pd [0,1]. Tetpi limit fungsiny, yitu : f(x) = 1 untuk x rsionl dn f(x) = 0 untuk x irrsionl, tidk terintegrl Riemnn pd [0,1]. Limit fungsi dri risn fungsi yng terintegrl Riemnn elum tentu terintegrl Riemnn. Bullen dn Vyorny (1996), memuktikn kesmn limit di wh tnd kn erlku, jik limit fungsi terseut terintegrl Riemnn dn risn fungsiny terts sergm. Persoln kn leih menrik pil syrt cukup limit fungsiny terintegrl Riemnn dihilngkn. Apkh kesmn limit di wh tnd kn erlku? Lee peng-yee (2000) memuktikn hw limit fungsi kn terintegrl Riemnn pil risn fungsi terseut terts sergm. 45
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 45-51, Desemer 2004, ISSN : 1410-8518 2. INTEGRAL RIEMANN Dierikn ilngn positif δ, koleksi D = { = 1, 2,, n = / x 1, x 2,, x n }, dengn x i elemen di dlm [,], dinmkn prtisi-δ pd [,] jik untuk setip i erlku x i [ i-1, i ] (x i δ, x i + δ). Untuk selnjutny, prtisi-δ, D = { = 1, 2,, n = / x 1, x 2,, x n }, pd [,] ditulis singkt prtisi-δ D = { (x,[u,v]) } pd [,]. Fungsi f:[,] R yng dimksud dlm mklh ini dlh fungsi terts. Fungsi f:[,] R diktkn terintegrl Riemnn pd [,] jik terdpt ilngn dengn sift : untuk setip ilngn positif ε terdpt ilngn δ > 0 sedemikin hingg untuk setip D = { (x,[u,v]) } pd [,] erlku (D) f(x) (v-u) - < ε. Koleksi semu fungsi yng terintegrl Riemnn pd intervl tertutup merupkn rung liner (Lee peng yee & Vyorny R, 2000). 3. BARISAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Brisn fungsi terintegrl Riemnn { f n / n=1, 2, } diktkn terintegrl Riemnn serentk (equiintegrle) pd [,] jik untuk setip ilngn ε > 0 terdpt δ > 0 ( tidk ergntung n ) sedemikin hingg untuk setip prtisi-δ D = { (x,{u,v]) } pd [,] erlku (D) f n (x) (v-u) - B n < ε untuk setip n, dengn B n menytkn nili integrl Riemnn fungsi f n pd [,]. 46 Teorem 3. 1. Dierikn risn fungsi { f n / n=1, 2, } yng terintegrl Riemnn dn pd [,]. Jik risn { f n / n=1, 2, } memenuhi syrt-syrt : (i). lim f n (x) = f(x) pd [,], (ii). { f n / n=1, 2, } terintegrl Riemnn serentk mk fungsi f terintegrl Riemnn pd [,] dn Bukti. dx = lim f n (x) dx Bilngn B n menytkn nili integrl Riemnn f n pd [,] untuk setip n.
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) Dri syrt (ii) mk untuk setip ilngn ε > 0 terdpt ilngn δ > 0 (tidk ergntung pd n) sedemikin hingg untuk setip prtisi-δ D = { (x,[u,v]) } pd [,] erlku (D) f n (x) (v-u) - B n < ε/6 (1) untuk setip n = 1, 2,. Dri syrt (i) mk untuk ilngn ε > 0 yng sm dn x [,] terdpt ilngn sli N sedemikin hingg untuk setip n, m > N erlku f n (x) f m (x) < ε/3(-) (2) f n (x) f(x) < ε/6(-) (3) Dri (1) dn (2) diperoleh (D) f n (x) (v-u) - (D) f m (x) (v-u) (D) f n (x) - f m (x).(v-u) (4) < ε/3(-) (D) (v-u) = ε/3 Kren B n - B m (D) f n (x) (v-u) - B n + (D) f m (x) (v-u) - B m + (D) f n (x) (v-u) - (D) f m (x) (v-u) mk B n - B m < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, slkn n, m > N. Ini memuktikn hw risn { B n / n = 1, 2, } merupkn risn Cuchy di dlm R. Oleh kren R rung metrik lengkp mk risn terseut merupkn risn konvergen, ktkn lim B n = B. Jdi untuk ilngn positif ε terdpt ilngn sli N 1 sedemikin hingg untuk n > N 1 erlku B n B < ε/3 (5) 47
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 45-51, Desemer 2004, ISSN : 1410-8518 Selnjutny kn diperlihtkn B = prtisi-δ pd [,]. Mengingt (1), (3), dn (5) diperoleh dx. Amil serng D* = {(x,[u,v]} B - (D*) f(x) (v-u) B n B + (D) f n (x) (v-u) - B n + slkn n > mks{n,n 1 }. (D) f n (x) - f(x).(v-u) < ε/3 + ε/6 + ε/6(-) (D) (v-u) = ε/3 + ε/6 + ε/6 = ε Terukti hw f terintegrl Riemnn pd [,] dn B = lin, dx. Dengn kt lim f n (x) dx = f(x) dx. Bukti selesi. Teorem erikut memperlihtkn hw limit fungsi dri risn fungsi terintegrl Riemnn yng konvergen hmpir di mn-mn merupkn fungsi yng terintegrl Riemnn. Leih lnjut, kesmn limit di wh tnd jug msih diperthnkn. Teorem 3. 2 Dierikn risn fungsi {f n / n=1, 2, } yng terintegrl Riemnn dn terts sergm pd [,]. Jik risn { f n / n=1, 2, } memenuhi syrt-syrt : (i). lim f n (x) = f(x) hmpir di mn-mn pd [,], (ii). { f n / n=1, 2, } terintegrl Riemnn serentk mk fungsi f terintegrl Riemnn pd [,] dn Bukti. n. dx = lim f n (x) dx. Bilngn n menytkn nili integrl Riemnn f n pd [,] untuk setip Tulis M > mks { f n (x), f(x) } untuk setip n dn setip x [,]. 48
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) Dri syrt (ii) diperoleh : untuk setip ilngn ε > 0 terdpt ilngn δ > 0 (tidk ergntung n ) sedemikin hingg untuk setip prtisi-δ D = { (x,[u,v]) } pd [,] erlku (D) Σ f n (x)(v-u) n < ε/6 (1) Dri syrt (i) mk terdpt himpunn erukurn nol S [,] sedemikin hingg lim f n (x) = f(x) pd [,] \ S. Hl ini erkit, terdpt ilngn sli N 1 sedemikin hingg untuk setip n, m > N 1 dn x [,] \ S erlku f n (x) f m (x) < ε (6 6) 1 (2) f n (x) f(x) < ε (6 6) 1 (3) Kren S himpunn erukurn nol mk untuk ilngn ε / (6M+6) > 0 terdpt koleksi intervl teruk { I p / p=1,2, } di dlm [, ] sedemikin hingg S I p dn Σ l(i p ) < ε / (6M+6). Amil serng prtisi D = { (x,[u,v]) } pd [,]. Untuk x [,] \ S dipilih [u,v] ( x δ, x + δ), sedngkn untuk x S dipilih [u,v] yng termut di dlm I p. Jik D* = { (x,[u,v]) } serng prtisi-δ* pd [,], dengn δ*=min{δ,ε / (6M+6)} mk mengingt (2), diperoleh (D*) Σ f n (x)(v-u) (D*) Σ f m (x)(v-u) ( D*) Σ f n (x) f m (x) (v u) + x [, ]\ S f n (x) f m (x) (v u) ε (6 6) 1 ( D*) Σ (v u) x [, ]\ S + 2M (v u) < ε (6 6) 1.(-) + 2M. Σ l(i p ) < ε/6 + 2M. (ε / (6M+6)) < ε (4) Oleh kren n m n s n + s m s n + m s m dengn s p = (D*) Σ f p (x)(v-u) dn mengingt (1) dn (4), mk n m < 3ε. Ini errti risn { n / n=1, 2, } merupkn risn Cuchy. 49
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 45-51, Desemer 2004, ISSN : 1410-8518 Kren R lengkp mk risn { n / n=1, 2, } konvergen, ktkn lim n = A. Dengn demikin, untuk ilngn ε > 0 terdpt ilngn sli N 2 sedemikin hingg untuk setip n > N 2 erlku n A < ε/6 (5) Selnjutny kn diperlihtkn hw A = dx. Amil serng prtisi-δ* D* = { (x,[u,v]) } pd [,]. Mengingt (1), (3), dn (6) mk A (D*) Σ f(x)(v-u) n A + (D*) Σ f n (x)(v-u) n + f n (x) f(x) (v u) ( D*) Σ f n (x) f(x) (v u) + x [, ]\ S < ε/6 + ε/6 + ε (6 6) 1 ( D*) Σ (v u) x S [, ]\ + 2M (v u) < ε/3 + ε (6 6) 1. ( ) + 2M. (ε / (6M+6)) < ε, slkn n > mks { N 1, N 2 }. Terukti hw A = f x) ( dx dn dx = lim f n (x) dx. Bukti selesi. 4. KESIMPULAN Telh terukti hw limit fungsi dri risn fungsi terintegrl Riemnn jug ter integrl Riemnn, slkn risn fungsi terseut ersift terintegrl serentk. Selnjutny limit fungsi dri risn fungsi yng konvergen hmpir di mn-mn jug terintegrl Riemnn, pil ditmhkn syrt lin, ykni : risn fungsi yng terts sergm. 50
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) 5. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucpkn terim ksih kepd Prof. Dr. Peter S. Bullen dri British Colomi University, Vncouver-Cnd, yng telh memerikn ilmuny ik erup pper mupun konsultsi jrk juhny. DAFTAR PUSTAKA Bullen PS & Vyorny R, Arzel s dominted convergence theorem for the Riemnn integrl, Bulletino UMI, 1996, p.347-353. Lee Peng-yee, The Integrl Riemnn Revisited, Clcutt Lectures, 2000, p.1-8. Lee-Peng Yee & Vyorny, R., Integrl : An Aesy Approch After Kurzwiel And Henstock, Cmridge University Press, UK, 2000. Soedijono, B., Beerp Teorem Kekonvergenn pd Integrl AH, Berkl Ilmih MIPA, FMIPA-UGM, Yogykrt, 1994, No.1 Thn.V 51