RELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-12 dan 13)

Transkripsi

1 ELASI EKUIVALENSI (Minggu ke-1 dn 13)

2 1. elsi Ekuivlensi. Definisi 1. Dikethui A himpunn tidk kosong. elsi pd A (dri A ke A) diseut refleksif jik untuk setip nggot dri semestny erlku refleksif ( A).. Contoh: 1. elsi mencinti ntr orng-orng dlh relsi yng refleksif. elsi kesejjrn ntr gris-gris lurus dlh refleksif se sejjr dengn sendiri untuk setip gris. 3. elsi pd dengn 4. elsi F pd Z dengn definisi F jik ersift refleksif jik 7 merupkn relsi refleksif

3 Definisi. Dikethui relsi : S S. 1. elsi diseut non-refleksif : S. elsi diseut non-refleksif : S Contoh 1. elsi leih tinggi ntr orng-orng merupkn irrefleksif (non refleksif). Dikethui A = { } dn relsi pd S dengn dn. elsi nonrefleksif (tidk irrefleksif) 3. elsi F pd Z dengn definisi F 7 n merupkn relsi irrefleksif untuk 4 jik terdpt n N sehingg Teorem 1. Jik irrefleksif mk non refleksif

4 Definisi 3. elsi pd A diseut simetris jik untuk setip dri semestny erlku:. Notsi mtemtisny simetris ( A).. Contoh 1. elsi kesejjrn ntr gris-gris lurus.. elsi pd dengn jik 3. Dikethui n ilngn ult positif. elsi F pd Z dengn definisi F jik p Definisi 4. Dikethui relsi pd S. 1. non simetris : S. simetris : S 3. ntisimetris : S

5 Contoh 1. elsi pd himpunn kus P X dengn X merupkn relsi simetris.. elsi mencinti pd mnusi non simetris tpi tidk simetris 3. elsi pd Z dn N merupkn ntisimetris Teorem 3. simetris non simetris Definisi 5. elsi pd A diktkn trnsitif jik untuk setip tripel c di A erlku pil dn c mk c. Notsi mtemtisny Contoh 1. elsi pd Z dn N trnsitif ( cs). c c.. elsi pd himpunn kus P X dengn X

6 Definisi 6. Dikethui relsi pd himpunn S. 1. diktkn non-trnsitif : ( cs).( ) ( c) ( c). diktkn intrnsitif : ( cs).( ) ( c) ( c) Contoh: 1. Pd himpunn semu gris di 3 relsi tegk lurus ntr gris ersift non trnsitif tpi tidk intrnsitif. Pd himpunn semu gris di relsi tegk lurus ntr gris ersift intrnsitif Teorem 4. Semu relsi intrnsitif psti non trnsitif. Selikny jik non trnsitif mk elum tentu intrnsitif. Contoh: Pd himpunn semu gris di 3 relsi tegk lurus ntr gris ersift non trnsitif tpi tidk intrnsitif

7 Definisi 7. Sutu relsi yng sekligus memiliki sift refleksif simetris dn trnsitif diseut relsi ekuivlensi. Contoh : 1. elsi kesejjrn ntr gris gris lurus pd idng dtr.. elsi pd dengn jik 3. elsi kesengunn ntr segitig-segitg dlm idng dtr. 4. elsi pd himpunn kus P X dengn X 5. Dimil serng ilngn ult positif m > 1 dn relsi (kongruensi modulo) ntr ilngn-ilngn ult Z erikut ini: Didefinisikn relsi modulo m disingkt mod m didefinisikn segi erikut: (mod m) ( kz). = km

8 Keterngn: 1. Sift refleksif : - = 0.m sehingg (mod m).. Sift simetris : Jik = k.m mk = (-k)m (mod m) (mod m). 3. Sift trnsitif : Jik (mod m) dn c(mod m) mk = km dn c = lm k l Z Sehingg c = (k + l)m Jdi c(mod m). elsi modulo m diseut relsi kongruensi kren memenuhi: 1. (mod m) dn c d(mod m) + c + d(mod m). (mod m) dn c d(mod m) c d(mod m)

9 Definisi 8. Dikethui A himpunn tk kosong dn K = { H i i I } koleksi suhimpunn A. Koleksi K diseut prtisi A jik I H i A i dn i jh i H i I H i j Contoh 1. Mislkn A 1. Koleksi K = { (n n + 1 nn} merupkn prtisi A. Pd himpunn B = { c d g m} koleksi H = g c d m prtisi B Teorem 6. Serng relsi ekuivlensi ntr nggot-nggot himpunn A mengkitkn dny prtisi (penggolongn) di dlm A. Akit 7. Himpunn A tergi ts himpunn-himpunn gin (kels-kels) x A x A tidk kosong dn sling sing sehingg x A!. x A

10 Contoh Dimil relsi kongruensi modulo m ntr ilngn-ilngn ult. Untuk yitu : x x 0mod m x x mod m m m 0 m 0 m x x 1mod m m 1 m 11 m 1 m 1 1 Z x x m 1mod m m m 1 m m 1 m 1 m m 1 m 1 m 1 1 m 1 m 1 Kels-kels terseut : K 0 1 m 1