INTEGRAL HENSTOCK-STIELTJES FUNGSI BERNILAI VEKTOR

Transkripsi

1 Integrl Henstock-Stieltjes... (Ui Mhnun Hnung) INTEGRAL HENSTOCK-STIELTJES FUNGSI BERNILAI VEKTOR Ui Mhnun Hnung dn Ch. Rini Indrti Jurusn Mtetik FMIPA UGM, Yogykrt, Indonesi Astrct This pper discusses out the generliztion of the Henstock-Stieltjes integrl for vector-vlued functions which re defined on closed intervl, R. The generliztion hs een done up to the existnce of this integrl. Key words: Henstock-Stieltjes integrl, vector-vlued function nd ounded function. PENAHULUAN Teori integrl epunyi pernn penting dl enyelesikn slh keteknikn dn idng teknologi. Kren itulh, teori integrl nyk engli perkengn sejk pert kli diperkenlkn oleh Newton ( ), terleih lgi setelh diperkenlkn integrl Rienn pd thun Teori integrl Rienn keudin eicu perkengn teori integrl dn slh stuny dilkukn oleh Stieltjes ( ) yng eodifiksi integrl Rienn dn integrl hsil odifiksi terseut dikenl dengn integrl Rienn-Stieltjes. Seentr itu, integrl Rienn epunyi kelehn, yitu fungsi yng terintegrl Rienn hny fungsi terts dn kontinu hpir din-n pd derh integrsi (Gordon, 1994). Kelehn pd integrl Rienn diperiki oleh Leesgue yng engun integrl ellui pengertin dn sift-sift ukurn. Ternyt setip fungsi terintegrl Rienn kn terintegrl Leesgue pd intervl yng s, selikny elu tentu rlku. Integrl Leesgue epunyi pernn penting dl pengengn ilu, khususny di idng tetik (Che, 1995). Nun deikin integrl ini epunyi kelehn pul, di n d fungsi yng tidk terintegrl Leesgue. Adpun contohny yitu fungsi f yng terdefinisi pd [0,1] dengn ruus: f x = 2x sin 1 x 2 2 x cos 1 x 2, x 0,1 0, x = 0 45

2 Vol. 5, No. 2, eseer 2009: tidk terintegrl Leesgue pd [0,1]. Selnjutny, slh yng tiul di dl integrl Leesgue diselesikn oleh enjoy, Perron dn Henstock yng erturut-turut endefinisikn pengertin integrl enjoy Khusus (restricted enjoy integrl) pd thun 1912, integrl Perron pd thun 1914, dn integrl Henstock-Kurzweil (dikenl jug segi integrl Henstock) pd khir thun Integrl Henstock terseut endpt perhtin dri pr peneliti untuk enggli sift-sift dn pekinny sert engengknny sehingg rung lingkupny leih lus. Slh stu entuk pengengnny dilkukn oleh Li dkk (1998), dn Hnung dn rwijy (2005) dengn enggenerlissi integrl Henstock erdsrkn pengertin integrl Stieltjes, dn integrl terseut dinkn integrl Henstock-Stieltjes. Prinsip dri integrl Henstock-Stieltjes yitu disping fungsi f (yng diseut integrnd) jug elitkn fungsi positif (fungsi yng enjin dny prtisi Perron -fine) dn fungsi (yng diseut integrtor). Adpun peredn ntr penelitin yng dilkukn oleh Li dkk (1998) dn Hnung dn rwijy (2005) terletk pd fungsi integrtor. in, fungsi integrtor pd integrl Henstock-Stieltjes yng didefinisikn oleh Li dkk (1998) erupkn fungsi nik onoton (incresing function), sedngkn fungsi integrtor pd integrl Henstock-Stieltjes yng didefinisikn oleh Hnung dn rwijy (2005) erup fungsi ervrisi terts (ounded vrition function). Segin kit kethui ers hw perslhn enghitung lus re erupkn slh stu topik integrl yng enrik di dl rung Euclide erdiensi-n. engn deikin, pehsn integrl tidk hny erd pd gris lurus sj, tetpi jug pd rung Euclide erdiensi-n. i n pd uuny, penyelesin slh di dl rung Euclide erdiensi-n dilkukn dengn enggenerlissi pengertinpengertin yng d pd gris lurus. Peruun telh erhsil dilkukn engingt pengertin pd gris lurus erupkn kejdin khusus pengertin yng ersesuin di dl rung Euclide erdiensi-n. Oleh kren itu, dengn eperhtikn pengertin pd gris lurus segi kejdin khusus k dilkuknlh pengengn integrl Henstock ke rung Euclide erdiensi-n (yitu pengengn integrl Henstock untuk fungsi f: R n R). Pengengn integrl Henstock pd idng (rung Euclide) telh dilkukn oleh Ostszweski (1986), Lee (1989), Pfeffer (1993), Lee (1996/1997), dn 46

3 Integrl Henstock-Stieltjes... (Ui Mhnun Hnung) Indrti (2002). Hsil penelitin eerp iluwn di ts yng engengkn integrl Henstock untuk fungsi f: R n R, eerikn ide untuk engengkn integrl Henstock-Stieltjes untuk fungsi yng niliny dl rung Euclide tu is dikenl fungsi ernili vektor (ditulis f: R R n ). HASIL AN PEMBAHASAN l pper ini dihs eerp definisi dn sift dsr integrl Henstock Stieltjes fungsi ernili vektor yng terdefinisi pd [, ] R. Eksistensi prtisi Perron -fine pd [,] esert sift-siftny erupkn dsr pengengn integrl Henstock-Stieltjes fungsi ernili vektor. Oleh kren itu, di dl pendefinisin integrl Henstock-Stieltjes fungsi ernili vektor engcu pd pengertin integrl Henstock- Stiletjes fungsi ernili rel disping eperhtin sift-sift yng diiliki oleh rung R n. efinisi 2.1 ierikn fungsi terts φ: [, ] R. Fungsi ernili vektor f terdefinisi pd [, ] (tu is ditulis f = f 1, f 2,, f n : [, ] R n ) diktkn terintegrl Henstock-Stiletjes terhdp pd [, ] jik terdpt vektor L R n dengn sift untuk setip ilngn ε > 0 terdpt fungsi positif δ: [, ] R sehingg untuk setip prtisi Perron -fine = u i, v i, x i f pd [,] erlku x i φ u i, v i L dengn φ u i, v i = φ v i φ u i untuk 1 i. < ε Vektor L dl efinisi 2.1 diseut nili integrl Henstock-Stieltjes fungsi f terhdp fungsi pd [, ], dn dituliskn dengn L = HS f dφ. Fungsi f diseut integrnd dn fungsi φ diseut integrtor. Jik fungsi f terintegrl Henstock-Stieltjes (terintegrl-hs) terhdp φ pd, k vektor L dl efinisi 2.1 dlh tunggl, hl ini dpt dinytkn dl Teore

4 Vol. 5, No. 2, eseer 2009: Teore 2.2 Jik f : [, ] R n terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, k vektor L pd efinisi 2.1 dlh tunggl. Bukti. Ktkn d du vektor K dn L yng sing-sing erupkn nili integrl-hs fungsi f terhdp integrtor φ pd,. Jdi, enurut efinisi 2.1, untuk serng ilngn ε > 0 (1) d fungsi positif δ 1 :, R sehingg jik 1 = u i, v i, x 1 i prtisi Perron δ 1 fine pd [, ] k erlku 1 1 f x i φ u i, v i K < ε 2, (2) d fungsi positif δ 2 :, R sehingg jik 2 = u i, v i, x 2 i prtisi Perron δ 2 fine pd [, ] k erlku 2 2 f x i φ u i, v i L < ε 2. ientuk fungsi positif δ:, R dengn ruus δ x = in δ 1 x, δ 2 x, diperoleh δ x δ i x i = 1,2 untuk setip x,, yng errti setip prtisi Perron δ fine pd [, ] erupkn prtisi Perron δ i fine i = 1,2 pd [, ]. Oleh kren itu, untuk setip prtisi Perron δ fine = dn iperoleh, K L K f x i φ u i, v i engn kt lin terukti hw K = L. f x i φ u i, v i K f x i φ u i, v i L u i, v i, x i < ε 2, < ε 2. pd [, ] erlku + f x i φ u i, v i L < ε. 48

5 Integrl Henstock-Stieltjes... (Ui Mhnun Hnung) Huungn ntr fungsi ernili vektor terintegrl-hs dn fungsi ernili rel terintegrl-hs dierikn dl Teore 2.3 di wh ini. Teore 2.3 Fungsi ernili vektor f = f 1, f 2,, f n terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, jik dn hny jik fungsi ernili rel f j terintegrl-hs φ pd, untuk setip j = 1,2,, n. Bukti. (Syrt perlu) Kren f = f 1, f 2,, f n terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, k terdpt vektor L = L 1, L 2,, L n R n dengn sift untuk setip ilngn ε > 0 terdpt fungsi positif δ:, R sehingg untuk setip prtisi Perron δ fine = u i, v i, x i tu dpt ditulis segi Hl ini erkit untuk setip j = 1,2,, n. pd [, ] erlku x 1 j n f x i φ u i, v i L < ε f j x i φ u i, v i L j < ε. f j x i φ u i, v i L j < ε, (Syrt perlu) ierikn serng ilngn ε > 0. ikethui f j :, R terintegrl- HS terhdp integrtor φ pd [, ] untuk setip j = 1,2,, n; hl ini errti untuk ilngn ε > 0 terseut di ts terdpt ilngn rel L j dn fungsi positif δ j :, R sehingg untuk setip prtisi Perron δ j fine j = u i, v i, x j i pd [, ] erlku f j x i φ u i, v i L j < ε, untuk setip j = 1,2,, n. idefinisikn fungsi positif δ:, R enurut ruus δ x = in δ j x : j = 1,2,, n. Oleh kren δ x δ j x untuk setip j = 1,2,, n, k setip prtisi Perron δ fine = u i, v i, x i setip j = 1,2,, n. engn deikin erlku pd [, ] erupkn prtisi Perron δ j fine pd, untuk f j x i φ u i, v i L j < ε, 49

6 Vol. 5, No. 2, eseer 2009: untuk setip j = 1,2,, n. Hl ini erkit f x i φ u i, v i L = x 1 j n f j x i φ u i, v i L j < ε, dengn L = L 1, L 2,, L n R n. Teore 2.4 ierikn δ, ψ:, R fungsi-fungsi terts. (i) Jik f terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn α R k αf terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd,, f terintegrl-hs terhdp integrtor αφ pd, dn HS αf dφ = α HS fdφ = HS fd αφ. (ii) Jik fdn g sing-sing terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, k f + g terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn HS f + g dφ = HS fdφ + HS g dφ. (iii)jik f terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn f terintegrl-hs terhdp integrtor ψ pd, k f terintegrl-hs terhdp integrtor φ + ψ pd, dn HS fd φ + ψ = HS fdφ + HS fdψ. Bukti. ierikn ilngn ε > 0 serng. (i) ikethui f terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn α R errti untuk ilngn ε > 0 terseut di ts terdpt fungsi positif δ:, R dengn sift untuk setip prtisi Perron δ fine = u i, v i, x i pd [, ] erlku f x i φ u i, v i HS fdφ < ε α

7 Integrl Henstock-Stieltjes... (Ui Mhnun Hnung) Oleh kren itu, untuk prtisi Perron δ fine pd [, ] terseut di ts diperoleh αf x i φ u i, v i α HS fdφ = α f x i φ u i, v i HS fdφ Jug, untuk prtisi Perron δ fine pd [, ] terseut di ts diperoleh f x i αφ u i, v i α HS fdφ = α f x i φ u i, v i HS fdφ (ii) ikethui f dn g sing-sing terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd [, ], errti untuk ilngn ε > 0 terseut di ts (1) terdpt fungsi positif δ 1 :, R dengn sift untuk setip prtisi Perron δ 1 fine 1 = u i, v i, x 1 i pd [, ] erlku 1 1 f x i φ u i, v i HS fdφ (2) terdpt fungsi positif δ 2 :, R dengn sift untuk setip prtisi Perron δ 2 fine 2 = u i, v i, x 2 i pd [, ] erlku 2 2 f x i φ u i, v i HS g dφ < ε 2 < ε 2. ientuk fungsi positif δ:, R dengn ruus δ x = in δ 1 x, δ 2 x, k diperoleh δ x δ i x i = 1,2 untuk setip x,. Akitny, jik = u i, v i, x i < ε. < ε. prtisi Perron δ fine pd [, ] k jug erupkn prtisi Perron δ i fine i = 1,2 pd [, ] sehingg erlku f x i φ u i, v i HS fdφ < ε 2, 51

8 Vol. 5, No. 2, eseer 2009: dn g x i φ u i, v i HS g dφ < ε 2. engn deikin untuk prtisi Perron δ fine pd [, ] di ts erlku f + g x i φ u i, v i HS fdφ + HS g dφ f x i φ u i, v i HS fdφ + g x i φ u i, v i HS g dφ (iii) ikethui f terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd [, ] errti untuk ilngn ε > 0 terseut di ts terdpt fungsi positif δ 1 pd [, ] dengn sift untuk setip prtisi Perron δ 1 fine 1 = 1 < ε. u i, v i, x 1 i pd [, ] erlku 1 f x i φ u i, v i HS fdφ ikethui f terintegrl-hs terhdp integrtor ψ pd [, ] errti untuk ilngn ε > 0 terseut di ts terdpt fungsi positif δ 2 pd [, ] dengn sift untuk setip prtisi Perron δ 2 fine 2 = 2 u i, v i, x 2 i pd [, ] erlku 2 f x i ψ u i, v i HS fdψ ientuk fungsi positif δ:, R dengn ruus δ x = in δ 1 x, δ 2 x, k diperoleh δ x δ i x i = 1,2 untuk setip x,. Akitny, jik = u i, v i, x i < ε 2 < ε 2. prtisi Perron δ fine pd [, ] k jug erupkn prtisi Perron δ i fine i = 1,2 pd [, ] sehingg erlku f x i φ u i, v i HS fdφ < ε 2, 52

9 Integrl Henstock-Stieltjes... (Ui Mhnun Hnung) dn f x i ψ u i, v i HS fdψ < ε 2. engn deikin untuk prtisi Perron δ fine pd [, ] di ts erlku f x i φ + ψ u i, v i HS fdφ + HS fdψ f x i φ u i, v i HS fdφ + f x i ψ u i, v i HS fdψ < ε. Berdsrkn Teore 2.4 ((i) dn (ii)) di ts diperoleh hw kelurg seu fungsi ernili vektor yng terintegrl Henstock-Stieltjes terhdp integrtor φ pd [, ], ditulis HS(,[,]), erupkn rung liner ts R. Teore 2.4 ikethui φ: [, ] R fungsi terts dn f fungsi ernili vektor yng terdefinisi pd [, ]. Jik f = 0 hpir din-n pd [, ], k f terintegrl- HS terhdp integrtor φ pd [, ] dn HS fdφ = 0. Bukti. ikethui f = 0 hpir din-n pd [, ], ini errti terdpt hipunn A [, ] dengn μ A = 0 sehingg f = 0 erlku pd hipunn Selnjutny dientuk hipunn A k dengn k N segi erikut, A. A k = x A: k 1 < f k, 53

10 Vol. 5, No. 2, eseer 2009: k diperoleh k=1 A k = A dn μ A = 0 untuk setip k. Selnjutny, dierikn serng ilngn ε > 0 dn didefinisikn fungsi positif δ:, R enurut ruus Jik = u i, v i, x i δ x = f x i φ u i, v i 0 ε k. 2 k+1, jik x A k 1, jik x A k. prtisi Perron δ fine pd [, ] k diperoleh = f x i φ u i, v i = f x i φ u i, v i x A + f x i φ u i, v i x A = f x i φ u i, v i x A = f x i φ u i, v i x A + 0φ u i, v i < x A k=1 2kε = ε. k. 2k+1 Teore 2.5 di ts sekligus enunjukkn eksistensi fungsi ernili vektor yng terintegrl Henstock-Stieltjes. Berdsrkn Teore 2.5 jug dpt diuktikn Teore 2.6 di wh ini. Teore 2.6 Jik fungsi f : [, ] R n terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn f = g hpir din-n pd,, k g terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn HS g dφ = HS fdφ. 54

11 Integrl Henstock-Stieltjes... (Ui Mhnun Hnung) Bukti. ikethui g f = 0 hpir din-n pd,, k erdsrkn Teore 2.5 diperoleh g f terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn HS g f dφ = 0. Oleh kren g = g f + f dn f terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd,, k jels g terintegrl-hs terhdp integrtor φ pd, dn enurut Teore 2.4 diperoleh HS g dφ = HS g f dφ + HS fdφ = 0 + HS fdφ = HS fdφ. AFTAR PUSTAKA Che, B Leesgue Integrtion, Second edition. New York: Springer-Verlg. Gordon, B.G The Integrl of Leesgue, enjoy, Perron nd Henstock. Aericn Mtheticl Society. Indrti, Ch.R Integrl Henstock-Kurzweil di l Rung Euclide Berdiensi-n, isertsi. Yogykrt: Universits Gdjh Md. Li, J.S., Yoon, J.H. & Eun, G.S On Henstock-Stieltjes Integrl. Kngweon- Kyungki Mthetics Journl, 6: Ostszweski, K.M Henstock Integrtion in the Plne. Meoirs of AMS 67. Lee, P.Y Lnzhou Lectures on Henstock Integrtion.World Scientific. Lee, P.Y The Rdon Nikody Theore for the Henstock Integrl in Eucliden Spce. Rel Anlysis Exchnge, 22: Lee, P.Y. & Vyorny, R Integrl: An Esy Approch fter Kurzweil nd Henstock. New York: Cridge University Press. Hnung, U.M. & rwijy, S Integrl Henstock-Stieltjes. Prosiding Seinr Nsionl, FMIPA Universits Gdjh Md, Yogykrt. 55

12 Vol. 5, No. 2, eseer 2009: Hnung, U.M Soe Convergence Theores for the Henstock-Stieltjes Integrl. Proceeding of the 5th SEAMS-GMU Interntionl Conference on Mthetics nd Its Applictions, FMIPA-Gdjh Md University, Yogykrt, Indonesi, 24th - 27th July Pfeffer, W. F The Rienn Approch to Integrtion. New York: Cridge University Press. 56