BAB IV INTEGRAL. 30. FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t)
|
|
- Sudirman Hadiman
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB IV INTEGRAL Integrl dlh sngt penting dlm mempeljri fungsi ernili kompleks Teori integrl yng kn dikemngkn dlm ini dlh terkenl dlm mtemtik moderen Teorem-teorem yng disjikn umumny singkt dn pdt sert uktiny sederhn FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t) Seelum memicrkn integrl dri f() terleih dhulu kn diperkenlkn turunn dn integrl tentu dri fungsi ernili kompleks w dri sutu vriel t Kit tulis () w(t) = u(t) + iv(t), dimn u dn v dlh fungsi ernili rel dri t dengn Turunn w (t), tu d w t dt () w (t) = u (t) + iv (t) slkn turunn u dn v d pd t Jdi,, dri fungsi () disutu titik t dlh didefinisikn Dri persmn (), untuk setip ilngn kompleks tk nol = x + iy, d dt d dt wt x iy u iv= xu yv iyu xv d dt d dt d dt d dt = x u y v i y u x v () wt w' t = (x u y v ) + i(y u + x v ) = (x + iy )(u + iv ) 8
2 Bergi sift yng telh dipeljri dlm klkulus, sift diferensil untuk penjumlhn dn perklin dri fungsi ernili rel t dpt digunkn Mellui sift pd persmn (), dpt diselidiki kitn fungsi ernili rel, dn uktiny dijdikn ltihn, yitu (4) d t t e e dt Kit dpt meneknkn, hw tidk semu sift turunn dlm klkulus dpt diwh kedlm fungsi tipe () Segi ilustrsi dpt diliht pd contoh erikut ONTOH Mislkn hw w(t) dlh kontinu pd intervl t, jdi komponen fungsi u(t) dn v(t) dlh kontinu pd intervl terseut Jik w (t) d dimn < t <, mk teorem nili rt-rt untuk turunn tidk dpt digunkn Jdi tidk sellu enr hw terdpt c dlm intervl < t < sehingg, w w w' c Untuk menunjukn ini, kit hny memutuhkn fungsi w(t) = e it pd intervl t it Kren ' t ie w, ini errti hw w (t) tidk pernh nol, dn w() w() = Definisi integrl dri fungsi pd tipe () pd intervl t dlh didefinisikn dengn (5) wt dt ut dt i vt dimn integrl msing-msing pd gin knn d Jdi (6) Re t dt Re wt dt dn Im wt dt Re wt w dt ONTOH Mellui sutu ilustrsi, yng serup dt t it dt i tdt i dt Tidk tept integrl dri w(t) pd intervl tk terts didefinisikn dengn cr 9
3 Keerdn integrl-integrl dri u dn v dlm definisi (5) dlh jels (ensured) jik fungsi terseut dlh kontinu titik demi titik pd intervl t Sehingg sutu fungsi dlh kontinu dimn-mn dlm intervl keculi mungkin disejumlh hingg titik-titik fungsi itu tidk kontinu, ykni hny memiliki limit stu rh Jels hw, hny mempunyi limit knn dititik dn hny mempunyi limit kiri dititik Dimn u dn v dlh kontinu titik demi titik, sehingg fungsi w diktkn kontinu titik demi titik Untuk mengntisipsi cr-cr untuk mengintegrlkn sutu konstntn kompleks dikli sutu fungsi w(t), untuk penjumlhn-penjumlhn integrl seperti fungsi-fungsi di ts, dn untuk mempertukrkn limit-limit dri integrl dlh enr Aturn-turn yng lin, dijelskn pd sift erikut dt wt dt wt dt w t c c Teorem dsr klkulus, dri nti turunn, dpt diperlus jug dlm integrl dri tipe (5) Khususny, mislkn hw fungsi w(t) = u(t) + iv(t) dn W(t) = U(t) + iv(t) dlh kontinu pd intervl t Jik W (t) = w(t) pd t, mk U (t) = u(t) dn V (t) = v(t) Jug, dri definisi (5), Jdi, dt U t iv t U iv U iv w t (7) wt dt W t W ( ) W ( ) ONTOH Kren (e it ) = ie it, mk 4 e it ie it 4 ie i 4 i
4 seutlh i = i i i Terkhir, sutu sift yng pling penting dlh nili mutlk dri sutu integrl, (8) w ( t) dt w( t) dt () Ketksmn ini jels enr jik nili dri integrl pd gin kiri dlh nol, khususny jik = Selnjutny, kn diselidiki dengn memislkn hw niliny dlh ilngn kompleks tk nol Jik r dlh modulus dn dlh sutu rgumen tertentu, mk Penyelesin untuk r, ditulis i wdt r e e i (9) r = wdt Sekrng gin kiri dri persmn (9) dlh ilngn rel, demikin jug hgin knn Selnjutny, dengn menggunkn kenytn hw gin rel dri ilngn rel dlh ilngn rel itu sendiri dn dengn menggunkn (6), mk persmn (9) dpt ditulis menjdi i e Persmn (9) diperoleh dengn entuk e i () r = Ree wdt Tetpi, dn jug dri persmn (), i i wdt = Re wdt = Ree wdt i i i e w e w e w w ; Re
5 r t w dt Kren r merupkn nili integrl gin kiri (8) dimn nili integrlny tk nol, mk pemuktin telh selesi erikut, Dengn sedikit modifiksi, sift di ts dpt digunkn untuk ketksmn () wt dt wt slkn nili integrl pd persmn () d dt LINTASAN-LINTASAN (ONTOURS) Itegrl dri fungsi ernili kompleks dri sutu vriel kompleks dlh didefinisikn pd kurv dlm idng kompleks, leih dri pd intervl pd gris rel Kels-kels dri kurv dlh cukup untuk dipeljri segi pendhulun dri integrl pd gin ini Sutu himpunn dri titik-titik = (x,y) dlm idng kompleks diktkn usur errh (rc) jik () x = x(t), y = y(t) (t), dimn x(t) dn y(t) dlh fungsi kontinu dengn prmeter rel t Definisi ini merupkn sutu pemetn kontinu dri intervl t kedlm idng xy, tu idng, dn titik-titik yngnny nik menurut urutn dri nili t Selnjutny kit, ik sekli menggmrkn titik-titik dri segi rti dri persmn () = (t) (t), dimn () (t) = x(t) + iy(t) Sift dsr geometri dri sutu rc sellu memerikn notsi yng ered untuk prmeter t dlm persmn () Kenytn ini, dpt diliht pd contoh di wh ini ONTOH Gris poligonl,
6 x ix, jik x, (4) x i, jik x, terdiri dri gris pth dri ke +i dn dri + i ke + i (gmr 6), dlh kurv sederhn y +i +i x Gmr 6 ONTOH Lingkrn stun (5) = e i () yng erpust dititik sl dlh kurv tertutup sederhn, erputr dengn rh erlwnn rh jrum jm Jug lingkrn (6) = + Re i (), dengn pust dengn jri-jri R (liht gin 5) dlh kurv tertutup sederhn ONTOH Busur (7) = e -i () dlh tidk sm dengn usur pd persmn (5) Himpunn dri titik-titikny dlh sm tetpi lingkrn sekrng dlh erputr serh jrum jm ONTOH 4 Titik-titik pd usur errh (8) = e i ()
7 dlh mempunyi entuk yng sm dengn usur errh pd (5) dn (7), nmun usur errh terseut ered kren lingkrn ini erputr senyk du kli dengn rh erlwnn dengn jrum jm Mislkn turunn x (t) dn y (t) dri komponen-komponen fungsi (), digunkn untuk menjelskn sutu usur errh, d dn kontinu sepnjng intervl t Sift seperti ini diseut usur erh yng terdiferensiel Dri sini, jik turunn dri (t) (liht gin ) dlh (9) (t) = x (t) + iy (t), fungsi ernili rel ' t x' t y' t dlh terintegrlkn pd intervl t, pnjng dri kurv dierikn dengn () L = ' t dt Persmn () dlh definisi pnjng usur dlm klkulus Prmeter yng digunkn untuk menjelskn dlh jels tidk tunggl, dn nili dri L yng dierikn pd () dlh tidk eruh dengn menggnti prmeter Khususny, mislkn hw () t =, dimn dlh fungsi ernili rel yng memetkn intervl pd intervl t Asumsikn hw dlh kontinu dn mempunyi turunn kontinu Jug ' > untuk setip, jels hw t nik mengikuti Dengn peruhn vriel pd persmn (), persmn () untuk pnjng dri usur diperoleh L = Jug, jik dinytkn segi ' d ' () = mk (liht ltihn ) Z, 4
8 () ' ' ' Z, dn kitny, persmn () menjdi L = d Z' Jdi pnjng dri dlh sm jik persmn () digunkn Jik persmn = (t) (t) menytkn rc yng terdiferensielkn dn (t) dimn-mn dlm intervl < t<, mk vektor rh stun T = ' ' t t Adlh terdefinisi dengn ik untuk semu t dlm intervl uk, dengn sudut dri inklinsi rg (t) Jug, jik T kontinu mellui prmeter t pd intervl <t< Rumus untuk T ini dlh telh dipeljri dlm klkulus dengn (t) menytkn sutu jri-jri vektor Sehingg sutu usur diktkn mulus Dri kemulusn usur = (t) (t), mk kit mendptkn turunn (t) kontinu pd intervl tutup t dn tk nol pd intervl uk <t< Sutu lintsn, tu usur mulus titik demi titik, dlh terdiri dri sejumlh hingg rc mulus yng dihuungkn secr ersmung Jug, jik persmn () menytkn lintsn, (t) dlh kontinu, dimn turunnny (t) dlh kontinu titik demi titik Gris poligon (4) dlh seuh contoh dri lintsn Jik hny nili wl dn nili khir dri (t) dlh sm, sutu lintsn diseut lintsn tertutup sederhn Segi contoh dlh lingkrn pd (5) dn (6), demikin jug segitig dn empt persegi pnjng dengn rh khusus Pnjng sutu lintsn tu lintsn tertutup sederhn dlh jumlh dri pnjng usur mulus yng digunkn untuk lintsn terseut Titik-titik pd setip kurv tertutup sederhn tu lintsn tertutup sederhn dlh titik-titik ts dri du derh yng ered, stu yng dimiliki dlh interior dri dlh terts, dn yng liny dlh eksterior dri yng tidk terts 5
9 Pemuktin pernytn ini dikethui mellui teorem kurv Jordn, secr geometri uktiny tidk terllu sulit LATIHAN Hitung integrl erikut : () i dt ; () t 6 e i t dt ; (c) e t dt (Re >) Tunjukkn hw jik m dn n dlh ilngn ult, e im e in jik m n jik m n Dri definisi (5) gin, dri integrl fungsi ernili kompleks dri sutu vriel rel, i x x e dx e cos xdx i x e sin xdx Hitung du integrl pd gin knn dengn menghitung integrl pd gin kiri dn identifiksi gin rel dn gin imjiner dri nili yng ditemukn 4 Buktikn diferensil erikut dengn cr yng ditentukn Gunkn turn yng erkitn dlm klkulus, untuk menunjukkn hw d dt wt wt w' t dimn w(t) = u(t) + iv(t) dlh fungsi ernili kompleks dri vriel rel t dn w (t) d t xt xt Gunkn entuk e e cos yt e sin yt, dimn = x + iy dlh ilngn kompleks tetp, untuk menunjukkn d t t e e dt 5 Gunkn ketksmn (8) gin, untuk menunjukkn hw semu nili dri x dlm intervl -x, fungsi 6
10 Pn n x x i x cos d (n =,,, ) memenuhi ketksmn x P n 6 Tunjukkn hw, jik w(t) = u(t) + iv(t) dlh kontinu pd intervl t, mk w tdt w d dimn wt dt w ' d, dlh fungsi dlm persmn () gin 7 Mislkn w(t) = u(t) + iv(t) menytkn fungsi ernili kompleks kontinu pd intervl -t Mislkn hw w(t) dlh fungsi genp, ykni w(-t) = w(t) untuk setip titik t dlm intervl yng dierikn Tunjukkn hw wt dt wt dt Tunjukkn hw, jik w(t) dlh fungsi gnjil, ykni w(-t) = -w(t) untuk w t setip titik t dlm intervl yng dierikn, mk dt 8 Mislkn w(t) dlh fungsi ernili kompleks dri vriel rel t yng kontinu pd intervl t Dengn memperhtikn ksus khusus dri w(t) = e it pd intervl t, tunjukkn hw tidk sellu enr terdpt ilngn c dlm intervl <t< sehingg wt dt wc Selnjutny, tunjukkn pul hw teorem nili rt-rt untuk integrl tentu dlm klkulus tidk dpt digunkn dlm fungsi ini (ndingkn contoh dlm gin ) 9 Mislkn menytkn setengh lingkrn = dengn rh erlwnn dengn jrum jm dn dinytkn dlm du entuk prmeter, ykni dn =() = e i 7
11 Z y Tunjukkn hw Z(y) = y 4 y iy (-y), dimn y y rctn rctnt 4 y Jug, tunjukkn hw fungsi ini mempunyi turunn positif, mellui syrt yng dierikn pd persmn () gin Tunjukkn persmn () gin, untuk turunn dri Petunjuk: Tulis Z x iy Z dn gunkn turn rnti fungsi ernili rel dri vriel rel Mislkn hw fungsi f() dlh nlitik dititik = (t ) pd usur errh mulus = (t) (t) Tunjukkn hw, jik w(t) = f[(t)], mk w (t) = f [(t)] (t) dimn t = t Mislkn y(x) dlh fungsi ernili rel yng didefinisikn pd intervl x dengn persmn y x x sin x jik x, jik x Tunjukkn hw persmn = x+iy(x) (x) menytkn sutu usur errh eririsn dengn sumu rel dititik-titik = /n (n =,,, ) dn =, seperti yng ditunjukkn pd gmr 7 y x Gmr 7 8
12 Tunjukkn hw usur errh dlm gin () dlh mulus Petunjuk : Selidiki kekontinun dri y(x) di x =, dn tunjukkn hw x sin x jik x> Dengn cr serup gunkn ini untuk menemukn y () dn tunjukkn hw y (x) continu di x = INTEGRAL LINTASAN Sekrng, kit kn mempeljri integrl dri fungsi ernili kompleks dri vriel kompleks Sutu integrl didefinisikn dlm entuk nili dri f() sepnjng lintsn, dri titik = smpi dengn titik = dlm idng kompleks Oleh kren itu, sutu integrl gris secr umum niliny ergntung pd lintsn sm dengn fungsi f Dn ditulis, f d tu f d, notsi terseut sering digunkn ketik nili dri integrl tidk ergntung pd pemilihn lintsn dintr du titik Integrl dpt didefinisikn secr lngsung mellui limit dri sutu jumlh, nmun dlm gin ini kit memilih definisi seperti dits yng erkitn dengn gin pendhulun (gin ) Mislkn persmn () = (t) (t) menytkn sutu lintsn dri titik = () ketitik = () Mislkn pul fungsi f() kontinu titik demi titik pd intervl t Kit definisikn integrl gris tu integrl lintsn dri f sepnjng, ykni : () f d f t t dt ' Segi cttn, kren dlh lintsn, mk (t) dlh kontinu titik demi titik pd intervl t, dn keerdn dri integrl pd persmn () dijmin 9
13 Nili dri integrl lintsn dlh invrint terhdp peruhn dlm menytkn lintsn jik peruhn terseut serup dengn persmn () gin Hl ini dpt ditunjukkn dengn cr yng serup seperti pd gin dlm menunjukkn invrint dri pnjng usur errh Dri definisi () dn sift dri integrl fungsi ernili kompleks w(t) yng telh dijelskn dlm gin () hw () f d f d, untuk setip konstnt kompleks, dn o (4) gd f d g f d Berhuungn dengn lintsn yng digunkn pd integrl (), lintsn dlh terdiri dri himpunn titik-titik yng sm dengn tetpi urutnny terlik Lintsn ergerk dri titik ketitik Lintsn mempunyi entuk prmeter = (-t) (-t-) Jdi f d f t t ' dt, dimn (-t) menytkn turunn dri (t) pd t yng dihitung di t Dengn peruhn dri vriel dlm integrl seelumny (liht ltihn 6(), gin ), kit peroleh (5) f d f d Mislkn hw lintsn terdiri dri lintsn dn lintsn, dengn lintsn dri titik ketitik dn dri titik ketitik, titik wl dri merupkn titik khir dri Mk terdpt ilngn rel c, dimn = (c), sehingg dlh dinytkn dengn = (t) (tc) dn dlh dinytkn dengn = (t) (ct) Mk hl ini menjelskn hw f d c f t t dt f t ' t ' dt, c 4
14 (6) d f f f Kdng-kdng lintsn diseut jumlh dri dn dn dinotsikn dengn + Jumlh dri du lintsn dn dlh terdefinisi dengn ik jik dn mempunyi titik khir yng sm, dn ditulis dengn - Terkhir, dri definisi () di ts dn sift (8), gin (), t t dt f d f ' Jug, untuk setip konstnt non negtif M sehingg nili dri f pd memenuhi ketksmn f M, t f d M ' dt Kren integrl pd gin knn menytkn pnjng L dri lintsn (liht gin ), dri sini hw modulus dri integrl f sepnjng tidk meleihi ML, (7) f d ML Hl ini jels hw ketksmn terjdi jik nili dri f pd, f M Segi cttn, semu gris tu gris edr tu jlur (pth) dri integrl dlh dipertimngkn segi lintsn dn yng diintegrlkn dlh fungsi yng kontinu titik demi titik yng didefinisikn pd lintsn-lintsn, sutu ilngn M yng ditmpilkn pd persmn (7) kn sellu d Ini disekn kren fungsi t dlh kontinu pd intervl tertutup dn terts t dimn f dlh kkontinu pd ; dn sehingg fungsi sellu mencpi mksimum yng ernili M pd intervl Jug f mempunyi sutu nili mksimum pd dimn f kontinu pd Sekrng, dengn cr serup jug enr untuk fungsi f yng kontinu titik demi titik pd f 4
15 Integrl tentu dlm klkulus dpt diinterprestsikn segi lus Keculi dlm ksus khusus, tidk erhuungn dengn interprestsi, goemetri tu fisik dlh disedikn untuk integrl dlm idng kompleks ONTOH-ONTOH ontoh rilh nili integrl () I = d dimn dlh setengh gin knn dri lingkrn =, dri = -i ke = i (gmr 8), ykni = e i Dri definisi () gin, i i I = e e ' d ; kren e e dn (e i ) =ie i, i i mk ini errti hw, I = i i e ie d 4i d 4i Segi cttn hw jik sutu titik pd lingkrn =, mk diperoleh hw = 4, tu d () i 4 Jdi hsil I = 4i dpt jug ditulis 4
16 y y i i A +i B x -i Gmr 8 Gmr 9 x ONTOH Dlm contoh ini, mislkn hw menytkn lintsn OAB seperti pd gmr 9 dn kn dihitung integrl () f d f d f OA dimn f() = y-x-ix (=x+iy) Segmen OA dpt dinytkn dlm entuk prmeter mellui = +iy (y); jdi x= dititik-titik pd segemen Nili dri f() dpt diwh kepersmn prmeter y dn diperoleh persmn f() = y (y) Akitny, OA f d yidy i Pd segmen AB, = x+i (x); dn jug Sehingg, persmn () kit peroleh AB d i ydy f AB (4) f d x ix dx xdx i x dx i i d Jik menytkn segmen OB dri gris y = x, dengn entuk prmeter = x+ix (x), 4
17 (5) f d ix idx i x dx i Jels hw integrl dri f() sepnjng du lintsn dn mempunyi nili yng ered wlupun merek mempunyi titik wl dn titik khir yng sm Selnjutny nili integrl dri f() ts lintsn tertutup sederhn OABO, tu, dlh i f d f d ONTOH Kit muli dengn memislkn segi rc mulus semrng = (t) (t) dri titik tetp ketitik tetp Secr terurut kit hitung integrl dri ltihn 4() gin, Jdi, t ' t dt I d, d dt t t ' t t I Tetpi () = dn () = ; dn jug Ini errti, hw nili dri integrlny hny ergntung pd titik-titik khir dri, dn dengn kt lin tidk ergntung pd rc yng dierikn, kit dpt menulis (6) d (ndingkn dengn contoh, dimn nili dri sutu integrl dri stu titik tetp ke yng lin ergntung pd segmen yng dierikn) 44
18 Persmn (6) dlh jug enr jik menytkn lintsn yng tidk perlu mulus dimn lintsn terseut terdiri dri sejumlh hingg usur errh yng mulus k (k =,,,n) yng dihuungkn secr ersmung (end to end) Secr umum, mislkn hw k ergerk dri k ke k+ Mk n n (7) d d k k n k k k dimn merupkn titik wl dri dn n merupkn titik khir dri Dri persmn (7) di ts hw integrl dri f() mengelilingi setip lintsn tertutup sederhn dlm idng mempunyi nili nol (ndingkn dengn contoh, dimn nili dri integrl dri fungsi dierikn mengelilingi segmen tertutup dlh tidk nol) Hl ini kn dijelskn pd gin selnjutny jik integrl dri lintsn tertutup sederhn mempunyi nili nol Pertnyn ini merupkn pust dri teori fungsi ernili kompleks ONTOH 4 Mislkn menytkn pth setengh lingkrn = e i () dri titik = ketitik = - (liht gmr ) Wlupun cng dri gin (6), i (8) f() = r e (r> <<) dri fungsi ernili nyk, integrl dlh tidk terdefinisi pd titik wl = dri lintsn (9) I d y - x Gmr 45
19 dri cng terseut d Untuk integrl dlh kontinu titik demi titik pd Kit kn tunjukn dengn menghitung () = e i, limit-limit knn dri gin rel dn gin imjiner dri fungsi f i e cos i sin (<) di = dlh dn msing-msing Jug f[()] dlh kontinu pd intervl tutup dimn nili = dlh didefinisikn segi Akitny, I i i e ie d i e d ; i dn Terkhir, mk i d e i i e = i I i ONTOH 5 Mislkn R dlh pth setengh lingkrn = Re i (), dn merupkn cng (8) dri kr fungsi kudrt yng digunkn dlm contoh 4 Tnp mencri nili dri integrl, dengn mudh dpt ditunjukkn hw () lim d R R i Jik =R>, i Re R dn R Akitny, titik-titik pd R dimn integrl terdefinisi, M R dimn R M R R Kren pnjng dri R dlh ilngn L = R, dn dri sift (7) gin, hw 46
20 R d M R L Tetpi M R R L R R R R dn jels hw gin knn entuk di ts menuju nol slkn R menuju tkhingg Ini errti () telh diuktikn LATIHAN Untuk fungsi f dn lintsn dlm ltihn smpi dengn 6, gunkn entuk R R, prmeter yng dierikn untuk, untuk menghitung f d f dn dlh setengh lingkrn = e i (); setengh lingkrn = e i () c lingkrn = e i () f() = - dn dlh usur errh dri = smpi = yng terdiri dri setengh lingkrn = + e i () Segmen x dri sumu rel f() = exp( ) dn dlh ts dri ujur sngkr dengn titik-titik sudut,, +i, dn i, orientsi erlwnn dengn rh jrum jm 4 f() dlh dinytkn dengn persmn f 4y jik y dn dlh jik y usur errh dri = --i smpi dengn = +i sepnjng kurv y = x 5 f() = dn semrng lintsn dri setip titk kesetip titik tetp dlm idng 47
21 6 f() dlh cng -+i =exp[(-+i)log ], rg dn dlh lingkrn stun dengn rh positif 7 Dengn menggunkn hsil pd ltihn nomor gin, hitunglh integrl m n d dimn m dn n dlh ilngn ult dn dlh lingkrn stun dengn rh erlwnn dengn jrum jm 8 Hitunglh integrl I dlm contoh gin dengn menggunkn entuk : 4 y iy (-y) (liht jug ltihn 9 gin ) 9 Mislkn dlh usur errh dri lingkrn dri = ke = i terletk dlm kudrn pertm Dengn tnp menghitung integrl, tunjukkn hw d Mislkn menytkn segmen gris dri = i ke = Dengn memperhtikn hw semu titik pd segmen gris, titik tengh dlh closest to origin, d tunjukkn hw 4 dengn tnp menghitung integrl 4 Tunjukkn hw jik dlh ts dri segitig dengn titik-titik sudut, i, dn 4, sert orientsiny erlwnn dengn rh jrum jm, mk e d 6 Mislkn dn menytkn lingkrn = Re i () dn = + Re i () msing-msing Gunkn entuk prmeter terseut untuk menunjukkn hw f d f d dimn f dlh kontinu titik demi titik pd 48
22 Mislkn menytkn lingkrn R erlwnn dengn jrum jm Gunkn entuk prmeter = + Re i (-) dri untuk menurunkn rumus integrl erikut d i n ; d n,, R c d i sin, dimn dlh ilngn rel yng leih esr dri nol dn dimn cng utm dri integrl dn nili utm dri R dlh dimil 4 ANTI TURUNAN Meskipun nili dri integrl lintsn dri sutu fungsi f() dri titik tetp ke titik tetp umumny ergntung pd pth yng dimil, nmun terdpt jug fungsi yng mempunyi integrl dri ke tidk tergntung dri pth (ingt contoh dn gin ) ontoh-contoh jug msih mengilustrsikn kenytn hw nili dri integrl pth tertutup dlh kdng-kdng nol, tetpi tidk sellu nol Teorem diwh ini sellu mempertimngkn kpn sutu integrl dlh tidk tergntung pd pth dn selin itu kpn sutu integrl sekitr pth tertutup mempunyi nili nol Dlm pemuktin teorem kit sellu menemukn sutu perlusn dri teorem dsr klkulus untuk mempermudh perhitungn ergi integrl lintsn Perlusn ini melitkn konsep dri sutu ntiturunn dri sutu fungsi kontinu f dlm sutu domin D, tu sutu fungsi F sedemikin sehingg F () = f() untuk semu dlm D Segi cttn hw sutu ntiturunn dlh diutuhkn sutu fungsi nlitik, nti turunn sutu fungsi f yng dierikn dlh tunggl keculi untuk penjumlhn konstnt kompleks Hl ini disekn kren dri pengurngn F() G() = dri du nti turunn F() dn G() dlh nol Dn erdsrkn teorem gin, sutu fungsi nlitik dlh konstn dlm domin D jik turunnny dlh nol seluruh D 49
23 Teorem Mislkn hw sutu fungsi f dlh kontinu pd domin D Jik stu dri pernytn erikut enr, mk pernytn yng lin jug enr f mempunyi ntiturunn F di D integrl dri f() sepnjng lintsn-lintsn yng terletk sepenuhny dlm D dn memnjng dri titik tetp ketitik tetp semuny mempunyi nili yng sm c Integrl dri f() sekitr lintsn tertutup yng terletk sepenuhny dlm D semuny mempunyi nili nol Segi cttn hw teorem terseut tidk mengklim hw setip pernytn dlh enr untuk semrng fungsi f dn domin D yng dierikn Yng dikethui dlh dri teorem di ts dlh enr semu tu tidk enr semu Untuk memuktikn teorem di ts cukup diuktikn hw pernytn () mengkitkn pernytn (), pernytn () mengkitkn pernytn (c), dn pernytn (c) mengkitkn pernytn () Sekrng, sumsikn hw pernytn () enr Jik sutu lintsn dri ke terletk dlm D dn enr-enr sutu rc yng mulus dengn entuk prmeter = (t) (t), kit kethui dri ltihn, gin hw d dt F t F' t ' t f t ' t (t) Kren teorem dsr klkulus dpt diperlus kedlm fungsi ernili kompleks dri vriel rel (gin ), mk t t dt Ft F F f d f ' Dimn () = dn = (), mk nili dri integrl lintsn di ts dlh F( )- F( ); dn niliny jels tidk tergntung dri lintsn sepnjng menuju dri ke dn terletk dlm seluruh D Jdi, 5
24 () f d F F F Hsil ini dlh jug enr untuk dlh semrng lintsn, tidk perlu mulus dn terletk dlm D Khususny, jik terdiri dri sejumlh hingg rc yng mulus k (k =,,,n), setip k ergerk sepnjng titik k ketitik k+, mk n n f d f d Fk Fk Fn F k k k (Bndingkn dengn contoh gin ) Kenytn ini hw pernytn () telh ditunjukkn Untuk memuktikn pernytn () mengkitkn pernytn (c), kit mislkn dn menytkn du titik pd lintsn tertutup yng terletk dlm D dn entuk du pth, dengn setip pth titik wlny dn titik khirny sehingg = - (gmr ) Asumsikn hw pernytn () enr, dn tulis () f d f () d f d, tu d f Jdi, integrl dri f() sekitr lintsn tertutup = - mempunyi nili nol y D x Gmr 5
25 Terkhir, kit kn tunjukkn pernytn (c) mengkitkn pernytn () Asumsikn hw pernytn (c) enr, dengn menggunkn keenrn pernytn () Mislkn dn menytkn semrng du lintsn yng terletk dlm D, dri titik ke dn dri pernytn (c), persmn () enr (liht gmr ) Selnjutny persmn () enr Oleh kren integrl tidk ergntung pd pth dlm D, mk kit dpt mendefinisikn fungsi F f sds pd D Untuk memuktikn teorem secr lengkp, tinggl ditunjukkn hw F () = f() untuk setip dlm D Kit ekerj disini dengn memislkn + semrng titik, ered dengn, terletk dlm sutu lingkungn dri yitu cukup kecil yng termut dlm D Mk F F f sds f sds f s dimn pth dri integrl dri ke + dpt dipilih mellui segmen gris (gmr ) Dimn ds (liht ltihn 5 gin ), kit dpt menulis dn dri sini hw f f ds F F f ; f s f Tetpi F kontinu dititik Jug untuk setip ilngn positif, terdpt ilngn positif sehingg s f slkn s - f ds ds, 5
26 Akitny, jik titik + dlh cukup dekt ke jug F F f ;, mk Jdi, tu F () = f() y F lim F f + s s D x Gmr 5 ONTOH-ONTOH ontoh-contoh erikut mengilustrsikn teorem dlm gin 4 dn khususny penggunn remus () di ts, yng mn merupkn perlusn teorem dsr klkulus ontoh Fungsi kontinu f() = mempunyi nti turunn F() = / sepnjng idng Jdi i i d untuk setip lintsn dri = ke = +i i i 5
27 ontoh Fungsi turunn dlm domin Akitny dlh kontinu disetip titik keculi dititik sl, mempunyi d (, ) d untuk setip lintsn dri ke dn tidk mellui titik sl Khususny dimn dlh lingkrn = e i (-) Segi cttn, integrl dri fungsi f() = / mengelilingi lingkrn yng sm tidk dpt dihitung dengn cr yng serup Untuk semu turunn dri setip cng F() dri log dlh / (gin (6)), F() tidk terdiferensiel, tu definisi yng sm sepnjng potongn cng Khususny, jik sudut = dri titik sl digunkn untuk potongn cng, F () lemh untuk keerdn titik dimn sudut irisn lingkrn Jdi tidk terletk dlm sutu domin yng dimiliki seluruh F () = /, dn kit tidk dpt menggunkn secr lngsung dri sutu nti turunn ontoh Mislkn D domin, Arg, terdiri dri seluruh idng yng memut titik sl dn sumu rel negtif ng utm Log dri fungsi logritm ernili nyk mellui sutu nti turunn dri fungsi kontinu seluruh D Jug dpt ditulis i d Log i Logi Log i ln i ln i i i i dimn pth pengintegrln dri i smpi i, untuk hl lin, rc i re dri lingkrn dlm contoh (ndingkn contoh gin, dimn dimn integrl ini telh dihitung dengn menggunkn entuk prmeter untuk rc) ontoh 4 Mislkn kit menggunkn sutu nti turunn untuk menghitung integrl 54
28 () d dimn yng diintegrlkn dlh cng i () re r, dri fungsi kr kudrt dn dimn dlh sutu lintsn dri = - ke =, keculi untuk titik khir, terletk di ts sumu x (liht gmr ) Seluruh pengintegrln dlh kontinu titik demi titik pd, dn oleh kren itu integrlny d, cng () dri yng lin, dlh tidk terdefinisi pd sudut =, khususny dititk = Tetpi cng f re i r, - dlh terdefinisi dn kontinu dimn-mn pd Nili dri f () disemu titik pd keculi = sm dengn mengitegrlkn (); jug pengitegrln dpt dignti kemli dengn f () Dimn sutu nti turunn dri f () dlh fungsi Kit dpt menulis kemli i F r re r, - i d F i e e i d f (ndingkn dengn contoh 4 gin ) 55
29 y - x Gmr Integrl () ts lintsn dri = - ke = diwh sumu x mempunyi nili yng lin Dlm ksus ini, kit mengintegrlkn kemli dengn cng i 5 f re r,, yng mempunyi nili terletk dlm cng () diwh hlf plne Fungsi nlitik F i r dlh sutu nti turunn dri f () Jdi re 5 r, i d F i e e i d f Perlu dictt hw integrl dri fungsi () mengelilingi lintsn tertutup mempunyi nili i 4 i 6 TEOREMA AUHY-GOUSTRAT Dlm gin 4, kit telh mengethui hw jik sutu fungsi kontinu f mempunyi sutu nti turunn dlm sutu domin D, integrl dri f() mengelilingi semrng 56
30 lintsn yng seluruhny terletk dlm D mempunyi nili nol Dlm gin ini kit hdirkn sutu teorem yng memerikn sift yng lin pd sutu fungsi f 57
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Lebih terperinciIntegral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
Lebih terperinciHendra Gunawan. 30 Oktober 2013
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciLUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
Lebih terperinciINTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
Lebih terperinci(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
Lebih terperinciIntegral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)
Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6
Lebih terperinciPEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()
Lebih terperinci7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
Lebih terperinciMateri IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Lebih terperinciINTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
Lebih terperinciMATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinciselisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
Lebih terperinciINTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN. Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi
FUNGSI TRANSENDEN I. Pendhulun. Pokok Bhsn Logritm Fungsi Eksponen.2 Tujun Mengethui entuk fungsi trnsenden dlm klkulus. Mengethui dn memhmi entuk fungsi trnseden itu logritm dn fungsi eksponen sert dlm
Lebih terperinciMATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Lebih terperinci14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
Lebih terperinci15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciVEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
Lebih terperinciVektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
Lebih terperinciINTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
Lebih terperinciBab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
Lebih terperinciPENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Lebih terperinci6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Lebih terperincimatematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Lebih terperinci12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperinciA x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Lebih terperinciIntegral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Lebih terperinciE-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
Lebih terperinciGEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciTiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L
Tir Ariqoh Bwindputri 500008 TIP / kels L INTEGRAL Integrl Tk tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C Untuk
Lebih terperinciFungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperinci7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
Lebih terperinciTeorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
Lebih terperinciOSN 2015 Matematika SMA/MA
Sol 5. Mislkn,, c, d dlh ilngn sli sehingg c d dn d c. Buktikn hw () (cd) mx{,}. Jw: Klim hw c. Jik = 1 mk jels memenuhi pernytn. Mislkn p prim dn = p t s dengn p s. Untuk menunjukkn hw c cukup kit tunjukkn
Lebih terperinciELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
Lebih terperinciE. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
Lebih terperinci(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat.
Bb 4 Integrl Bb 4 ini direncnkn kn dismpikn dlm 4 kli pertemun, dengn perincin sebgi berikut: (1) Pertemun I: Fungsi bernili kompleks, lintsn, dn integrl lintsn. (2) Pertemun II: Antiderivtif dn Teorem
Lebih terperinciBAB VI PEWARNAAN GRAF
85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.
Lebih terperinciTEORI DEFINITE INTEGRAL
definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI DEFINITE INTEGRAL Definisi : Jik y = f(x) dlh fungsi kontinu dn terdefinisi dlm intervl tertutup [,] sehingg lim n n i= f ( xi). Δxi d (mempunyi nili), mk definite
Lebih terperinciINTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Lebih terperinciSuku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
Lebih terperinciSMA Santa Angela. Bandung. 1 P a g e
Persmn Gris Singgung SMA Snt Angel Bndung P g e P g e Persmn Gris Singgung pd Ellips Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips
Lebih terperinciBAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Lebih terperinciBAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Lebih terperinciHITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1
HITUNG INTEGRA BAB.Integrl tk tentu (tnp ts). Rumus-rumus ) ) n n n d c, n ) d c n n n. d c, n ). Sift-sift Integrl Contoh :... ) k. f ( ) d k. f ( ) d d d ln c ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d c ( ) ( ) d ( ) d
Lebih terperinciINTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu
INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C
Lebih terperinciLOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik
Lebih terperinciMATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
Lebih terperinciTujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinciDefinisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
Lebih terperinci1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
Lebih terperinciIntegral Numerik. Sunkar E. Gautama, 2013
Integrl Numerik Sunkr E. Gutm, 2013 http://prdoks77.logspot.com Integrl numerik ilh metode untuk menghitung nili integrsi sutu fungsi dlm sutu selng tnp mempedulikn fungsi hsil integrlny dengn menggunkn
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunn dn Integrl Tk Tentu Persmn Diferensil Sederhn Notsi Sigm dn Lus Derh di Bwh Kurv Integrl Tentu Teorem Dsr Klkulus Sift-sift Integrl Tentu Leih Lnjut Sustitusi dlm Penghitungn
Lebih terperinciVektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1992
Mtemtik EBTANAS Thun 99 EBT-SMA-9-0 Grfik fungsi kudrt yng persmnny y = x 5x memotong sumu x. Slh stu titik potongny dlh (, 0), mk nili sm dengn EBT-SMA-9-0 Persmn x px + 5 = 0 kr-krny sm. Nili p 0 tu
Lebih terperinciVEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
Lebih terperinciVEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan definisi definisi, istilah istilah dan teoremateorema. yang berhubungan dengan penelitian ini.
II. LANDASAN TEORI Dlm ini kn didiskusikn definisi definisi, istilh istilh dn teoremteorem yng erhuungn dengn penelitin ini. 2.1 Anlitik Geometri Definisi 2.1.1 Titik dlh unsur yng tidk memiliki pnjng,
Lebih terperinciBAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
Lebih terperinciMETODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperinciTujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendr Gunwn Semester II 2016/2017 31 Mret 2017 Kulih yng Llu 12.1 Fungsi du tu leih peuh 12.2 Turunn Prsil 12.3 Limit dn Kekontinun 12.4 Turunn ungsi du peuh 12.5 Turunn errh dn grdien
Lebih terperinciRANGKUMAN INTEGRAL. Di Susun Oleh : Syaiful Hamzah Nasution, S.Si., S.Pd.
Generted y Foxit PDF Cretor Foxit Softwre http://www.foxitsoftwre.om For evlution only. RANGKUMAN INTEGRAL Di Susun Oleh : Syiful Hmzh Nsution, S.Si., S.Pd. Di dukung oleh : Portl eduksi Indonesi Open
Lebih terperinciHendra Gunawan. 15 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Lebih terperinciTEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN
Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinciPREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN - Mt Peljrn Progrm : Mtemtik (MA) : IPA Petunjuk : Pilihlh slh stu jwn yng pling tept!. Dikethui: 5. Dikethui log = dn log = y. Nili log P : Hri tidk hujn tu Rudi
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Lebih terperinciIntegral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar
Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: www.wllpperse.com Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny?
Lebih terperinciA. Pengertian Integral
A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
Lebih terperinciBAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI
Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm
Lebih terperinciALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Lebih terperinciPROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Lebih terperinciIAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2
GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.
Lebih terperinciBAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
Lebih terperinciErna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Lebih terperinci