MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI"

Suparman Sugiarto
7 tahun lalu
Tontonan:

1 MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol, seperti pd mbr 1. Model potensil ini dn beberp model potensil yng kn kit bhs selnjutny hnylh sutu model potensil khyln, dn tidk dijumpi bentuk potensil seperti ini di lm., << ()=, yng lin () m mbr 1. Prtikel dlm sumur potensil tk berhingg Tugs kit dlh mencri fungsi gelombng dri prtikel tersebut. Oleh kren potensil di lur sumur tk berhingg mk prtikel hny berd di dlm sumur, dn tidk dpt kelur. Probbilits menemukn prtikel di dlm sumur sm dengn stu sedngkn probbilits menemuknny di lur sumur sm dengn nol. Dengn metode seprsi vribel, fungsi gelombng dri prtikel tersebut berbentuk Ψ(,)=() /ħ (1) Solusi bergntung wktu (), diperoleh dengn memechkn persmn Schrödinger tk bergntung wktu. Persmn Schrödinger tk bergntung wktu bentuk stu dimensi dlh ħ! # $! +()()= () Pd derh <<, ()= mk persmn Schrödinger tk bergntung wktu menjdi

2 ħ! # $! = () () $! = # () (3) ħ! Dengn mendefinisikn '!!) ħ *, dengn ' dlh bilngn rel positif mk persmn (3) menjdi $! = '! () (4) Persmn (4) dlh persmn diferensil orde du dengn kr-kr bilngn kompleks yng berlinn, solusiny dlh ()=, -. +/ -. (5) Syrt bts (boundry condition) untuk fungsi gelombng pd dinding-dinding sumur dlh bernili nol kren dinding sumur tebl dengn potensil tk hingg. l ini mirip dengn gelombng pd tli, bhw pd ujung terikt kn terjdi simpul (simpngnny nol). Dengn menerpkn syrt bts pd = ()= mk, +/ = /=, Sehingg persmn (5) berubh menjdi ()=, -., -. ()=, ()= 5,sin' dengn menuliskn 5, sebgi konstnt bru, mislny 7 mk diperoleh ()=7sin' (6) Kemudin menerpkn syrt bts pd dinding sumur yng linny, = ()=

3 ()= 7sin'= Konstnt 7 tidk boleh nol, jik tidk mk ()= untuk semu, mk sin'= '=,±:,±:,±3:, Nmun jik '= mk ()= untuk semu. Selin itu, solusi negtif tidk memberikn sesutu yng berbed. Mengingt sin( )= sin, dn tnd minus dri solusi k dpt diserp ke 7. Jdi solusi yng berbed untuk k dlh ' < = =: dengn ==1,,3, (7) Persmn (6) kemudin menjdi () < ()=7sinA =: B (8) Dengn mensubstitusikn '!!) ke persmn (7), diperoleh ħ * # ħ! =A=: B! < = =! :! ħ! #! (9) Ternyt energi dri prtikel dlm sumur berbentuk diskrit dn bertingkttingkt, bukn kontinue seperti energi pd prtikel klsik. Selin itu, energi terendh yng dpt dimiliki prtikel jug tidk nol. Energi untuk ==1 disebut energi pd kedn dsr (ground stte) sedngkn energi untuk ==, 3, 4, dn seterusny disebut energi pd kedn tereksitsi (ecited sttes). Untuk memperoleh konstnt 7, kit lkukn normlissi terhdp fungsi < () pd persmn (8). E ()! $ =1 7! E sin! A =: B $=1

4 7! E I 1 1 cos=: L $=1 7! M 1 4=: sin=: M =1 7! =1 7=N/ Dengn demikin, fungsi < () ternormlissi dlh < ()=N/ sina =: B (1) Tmpk bhw persmn Schrödinger tk bergntung wktu menghsilkn sekumpuln solusi, < () untuk n = 1,, 3,... beberp dintrny O ()=N/ sina : B (11)! ()=N/ sini : L (1) P ()=N/ sini 3: L (13) Q ()=N/ sini 4: L (14) sedngkn grfik dri beberp fungsi < () diberikn pd mbr. O ()! () P () Q () mbr. rfik beberp fungsi < ()

5 l-hl penting yng diperoleh dri < () dlh 1. Ortonormlits fungsi < () Ortonormlits dlh gbungn dri istilh ortogonlits dn normlissi. fungsi < () merupkn fungsi yng ortogonl kren R ) () < ()$=,untuk# = (15) sedngkn fungsi < () merupkn fungsi yng ternormlissi kren E < ()! $=1 Kedu sift ini dpt digbung menjdi stu, yitu ortonormlits. Fungsi < () diktkn bersift ortonorml kren E ) () < ()$ =X )< (16) dengn X )< disebut delt Kronecker, dimn,jik # = X )< = 1,jik #== Jik #== mk hsil integrl persmn (16) jels sm dengn stu kren fungsi ternormlissi sedngkn hsil integrl untuk # = yitu E ) () < ()$=E Z sina#: B Z sina=: B$ E ) () < ()$= E sina#: B sina=: B$ Dengn menggunkn hubungn mk persmn di ts menjdi sincos[=cos( [) cos(+[) E ) () < ()$= 1 E \cosa# = :B cosi #+= :L] $ = 1 E cosa# = :B$ 1 E cosi#+= :L$ = 1 : # =^sina# = :B^ 1 : #+= MsinI#+= :LM

6 = 1 :(# =) sin(# =): 1 :(#+=) sin(#+=): = sin(# =): :(# =) = sin(#+=): :(#+=) Jik # = mk hsil integrl sm dengn nol kren sinus dri keliptn bilngn bult positif tu pun negtif dri : sellu sm dengn nol.. Kombinsi liner dri < () untuk semu n _()=` < < () =N/` < sina =: B (17) Solusi bergntung wktu tu yng disebut dengn kedn stsioner (persmn 1) kemudin menjdi Ψ c (,)= < () d/ħ Ψ c (,)=N/ sina =: B <* e * ħ!) * (18) Solusi pling umum dri persmn Schrödinger bergntung wktu, Ψ(,) dlh kombinsi liner dri semu solusi, yitu Ψ(,)=` < N/ sina =: B <* e * ħ!) * (19) Jik fungsi gelombng wl Ψ(,) dikethui mk koefisien ekspnsi < dpt diperoleh dengn menggunkn trik Fourier. Dri persmn (19), bentuk Ψ(,) dlh Ψ(,)=` < Ψ(,)=` < N/ sina =: B < () () Menglikn persmn () dengn ) () llu mengintegrlknny, diperoleh

7 E ) () Ψ(,) $ =E ) () ` < < ()$ N/E sina #: B Ψ(,) $=` < E ) () < ()$ Oleh kren sift ortogonlits fungsi < () mk R ) () < ()$ hny puny nili pd st ==#, dn R ) () ) ()$=1 (ternormlissi), mk N/E sina #: B Ψ(,) $= ) tu < =N/E sina =: B Ψ(,) $ (1) Contoh Bgimn bentuk fungsi gelombng tk bergntung wktu dri prtikel dlm sumur potensil tk hingg jik energiny () nol, dn (b) negtif? Solusi Jik energi prtikel sm dengn nol mk persmn Schrodinger di dlm sumur dengn ()= dlh ħ! # $! = $! = $() $ =, sutu konstnt ()=,+/ Dengn menerpkn syrt bts pd = ()= mk ()= /=

8 sehingg fungsi gelombng menjdi ()=, Dengn menerpkn syrt bts pd = ()= mk ()=,= sehingg fungsi gelombng menjdi ()= Solusi ini tidk dpt dinormlissi sehingg tidk merepresentsikn fungsi gelombng dri sutu prtikel Kemudin jik prtikel berenergi negtif mk persmn Schrodingerny dlh ħ! # $! = () $! = # ħ! () Dengn mendefinisikn '!!), dengn ' dlh bilngn rel positif mk ħ * persmn (3) menjdi $! ='! () Persmn ini dlh persmn diferensil orde du dengn kr-kr rel yng berlinn, solusiny dlh ()=, -. +/ -. Syrt bts pd = ()= mk ()= /=, sehingg fungsi gelombng menjdi ()=,( ) Syrt bts pd = ()= mk ()= - =, -

9 sehingg fungsi gelombng menjdi ()= sil ini sm dengn hsil yng diperoleh sebelumny

dokumen-dokumen yang mirip

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn