ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB

Transkripsi

1 ALJABAR LINIER Rung Hsil Kli Dlm Dosen Pengmpu : DARMADI, S.Si, M.Pd Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syrswri ( ) 2. Chndr Andmri ( ) 3. Mei Citr D.A ( ) 4. Nur Alfin Lil ( ) 5. Triwiyti Nurnis ( ) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2011 Rung Hsil Kli Dlm Pge 1

2 RUANG HASIL KALI DALAM Seuh Hsil kli dlm (inner product) pd rung vektor riil dlh fungsi yng mengsosisikn ilngn riil u,v dengn msing msing psngn vektor u dn v pd V sedemikin rup sehingg ksiom ksiom erikut dipenuhi untuk semu vektor u, v, dn w di V dn jug untuk semu sklr k. 1. u,v = v,u ( ksiom simetri ) 2. u+v,w = u,w + v,w ( ksiom penmhn ) 3. ku,v = k v,u ( ksiom kehomogenn ) 4. v,v 0 ; dn v,v = 0 ( ksiom kepositifn ) jik dn hny jik v = 0 Rung vektor yng memenuhi keempt sift Hsil Kli Dlm diseut segi Rung Hsil Kli Dlm. Seuh rung vektor riil dengn seuh hsil kli dlm dinmkn rung hsil kli dlm riil (rel product spce). Hsil kli dlm euclides merupkn hsil kli dlm yng sngt penting pd R n. Akn tetpi, d eerp penerpn yng diinginkn untuk memodifiksi hsil kli dlm Euclidis dengn pemootn suku sukuny secr diferensil. Leih jelsny, jik w 1, w 2,, w n dlh ilngn riil positif yng kit nmkn oot, jik u=,, u n dn v= v 1, v 2, v n dlh vektor pd R n, mk rumus u,v = w 1 v 1 + w 2 v w n u n v n Didefinisikn segi hsil kli dlm pd R n ; hl ini kit nmkn hsil kli dlm Euclidis yng diooti dengn oot w 1, w 2,, w n. Contoh 1 Mislkn : u =, dn v = (v 1, v 2 ) dlh vektor vektor pd R 2. Buktikn : hsil kli dlm Euclidis yng diooti u,v = 6 v v 2 merupkn Rung hsil kli dlm! Bukti : Perhtikn hw jik u dn v dipertukrkn dlm persmn ini, mk rus knn seleihny kn sm. Sehingg, u,v = v,u Rung Hsil Kli Dlm Pge 2

3 Jik w = (w 1, w 2 ), mk u+v,w = 6 +v 1 w v 2 w 2 = 6 w w 2 + 6v 1 w 1 + 2v 2 w 2 = u,w + v,w Selnjutny, ku,v = 6k v 1 + 2k v 2 Akhirny, = k 6 v v 2 = k u,v v,v = 6v 1 v 1 + 2v 2 v 2 = 6v v 2 Jels hw, v,v = 6v v Selnjutny, v,v = 6v v 2 2 = 0 jik dn hny jik v 1 = v 2 = 0 ; ykni, jik dn hny jik v = (v 1, v 2 ) = 0. Jdi, keempt ksiom terseut terpenuhi. Hsil kli dlm Euclidis dn hsil kli dlm yng diooti merupkn ksus khusus dri kels yng umum mengeni hsil kli dlm pd R n, yng kn kit hs kini. Mislkn u = u n v = v 1 v 2 v n dlh vektor vektor pd R n (nytkn segi mtriks n x 1), dn mislkn A dlh mtriks (n x n) yng dpt dilik. Jik u v dlh hsil kli dlm Euclides pd R n, mk rumus u,v = Au Av mendefinisiknseuh hsil kli dlm; ini dinmkn Hsil kli dlm pd R n yng dientuk oleh A. Dengn mengingt kemli hw hsil kli dlm Euclidis u v dpt ditulis segi hsil kli mtriks v t u, erikutny dpt kit tulis dlm entuk lterntif u,v = Av t Au tu secr ekivlen u,v = v t A t Au Rung Hsil Kli Dlm Pge 3

4 Contoh 2 Hsil kli dlm pd R n yng dientuk oleh mtriks identits n n dlh hsil kli dlm Euclidis, kren dengn menyulihkn A = I kedlm rumus u,v = Au Av, menghsilkn u,v = Iu Iv = u v Hsil kli dlm Euclidis yng diooti u,v = 6 v v 2 pd contoh 1 dlh hsil kli dlm pd R 2 yng dientuk oleh A = 6 0 v t A t Au kn menghsilkn, kren dengn menyulihkn mtriks ini ke dlm rumus u,v = u,v = v 1 v = v 1 v = 6 v v Contoh 3 Mislkn p = p(x) dn q = q(x) dlh du polinomil pd P n dn definisiknlh p,q = p x q x dx, di mn dn dlh serng ilngn riil yng tetp sehingg <. Kini kn kit perlihtkn hw rumus ini mendefinisikn hsil kli dlm pd P n. 1. p,q = p x q x dx = q x p x dx = q,p Aksiom 1 erlku. 2. p+q,s = p x + q x s(x)dx = p x s x dx + q x s x dx = p,s + q,s Aksiom 2 erlku. 3. kp,q = kp x q x dx = k q x p x dx = k p,q Aksiom 3 erlku. 4. Jik p = p(x) dlh serng polinomil pd P n, mk p 2 x 0 untuk semu x ; mk, p,p = p 2 x dx 0, kren p 2 x 0 dn kren polinomil dlh fungsi kontinu, mk p 2 x dx 0 jik dn hny jik p x = 0 untuk semu x yng memenuhi x. Rung Hsil Kli Dlm Pge 4

5 Mk p,p = p 2 x dx = 0 jik dn hny jik p = 0. Aksiom 4 erlku. Jik u, v, dn w dlh vektor vektor pd rung hsil kli dlm riil dn k serng sklr, mk ) 0,v = 0,v = 0 ) u,v+w = u,v + u,w c) u,kv =k u,v d) Bukti. Untuk gin ) 0,v = v,0 (dengn kesimetrin) = v,0v (dengn perklin) = 0v,v (dengn kesimetrin) = 0 v,v (dengn kehomogenn) = 0 (dengn kepositifn) Bukti. Untuk gin ) u,v+w = v+w,u (dengn kesimetrin) = v,u + w,u (dengn penmhn) = u,v + u,w (dengn kesimetrin) Bukti. Untuk gin c) u,kv = kv,u (dengn kesimetrin) = k v,u (dengn kehomogenn) = k u,v (dengn kesimetrin) Rung Hsil Kli Dlm Pge 5