Deret Fourier. (Pertemuan X) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Transkripsi

1 TKS 47 Mtemtik III Deret Fourier (Pertemun X) Dr. AZ Jurusn Teknik Sipil Fkults Teknik Universits Brwijy Pendhulun Deret Fourier ditemukn oleh ilmun Perncis, Jen Bptiste Joseph Fourier (768-83) yng menytkn bhw semu bentuk fungsi/sinyl periodik dpt direpresentsikn ke dlm Deret Fourier yng merupkn deret Sinusoidl (sinus & cosinus). Perhtikn gmbr sinyl berikut :

2 Pendhulun (lnjutn) Gelombng = Getrn = Sinyl = Fungsi (model mtemtikny) mengkibtkn teknn molekul udr di sutu derh menjdi tinggi & derh lin rendh. Jik teknn diukur sebgi fungsi dri t, mk kn diperoleh fungsi periodik f(t). Cttn :. Jik sutu bentuk sinyl/fungsi tertentu kn berulng dengn bentuk yngg sm dlm setip periode, mk sinyl tersebut diktkn sebgi sinyl periodik.. Gelombng sur merupkn gelombng sinus murni dengn frekwensi tertentu. Pendhulun (lnjutn) 3. Frekwensi resultn gelombng sur merupkn sejumlh nd dengn frekwensi, 3, 4,... kli frekwensi dsr. 4. Frekwensi lebih tinggi berrti periode lebih pendek. 5. Jik sin ωt dn cos ωt = ferkwensi dsr, mk sin nωt dn sin nωt = nd hrmonik yng lebih tinggi. 6. Kombinsi ntr frekwensi dsr & hrmonikny membentuk fungsi periodik dengn periode dsr. 7. Setip sinyl periodik dpt dinytkn sebgi penjumlhn dri sinyl-sinyl hrmonik. 8. Penjumlhn sinyl-sinyl hrmonik dri sutu sinyl periodik dinytkn dlm Deret Fourier.

3 Fungsi/Sinyl Periodik Fungsi f(x) diktkn puny periodik T tu f(x) periodik dengn periode T, jik untuk setip x berlku : f x + T = f x T = konstnt positif (T > ), nili terkecil T dinmkn periode terkecil tu disingkt f(x). Grfik sutu sinyl/fungsi dengn periode T didpt dengn menggmbrkn grfik fungsi dsrny secr berulng seperti gmbr berikut : Fungsi/Sinyl Periodik (lnjutn). Periode dri f x = cos x dlh. Periode dri f x = sin x dlh 3. Periode dri f x = tg x dlh 3

4 Deret Fourier (lnjutn) Andikn f(x) dlh sebuh fungsi periodik dengn periode T yng terdefinisikn dlm selng dsr < x < + T, ykni f(x) = f(x + T), mk fungsi f(x) dpt diurikn dlm deret Fourier sebgi berikut : f x = + n cos x + b n sin x n= Dengn koefisien-koefisien, n, dn b n yng disebut sebgi koefisien-koefisien Fourier, ditentukn oleh fungsi f(x) mellui hubungn integrl sebgi berikut : Deret Fourier (lnjutn) = n = +T +T +T f x dx f x cos x dx b n = f x sin x dx dengn T = periode dn = ½ periode. 4

5 Contoh Dikethui fungsi f(x) sebgi berikut :, < x < f x =, < x < Periodik dengn periode, sehingg f x ± = f(x), urikn fungsi tersebut dlm deret Fourier! Penyelesin : Periode T =, sehingg = ½ T =, intervl dsrny x, jdi =. Ekspnsi f(x) dlm derh kiri dn knn sumbu x dpt diliht pd gmbr berikut : Contoh (lnjutn) Koefisien-koefisien Fourier dicri sebgi berikut : +T = = dx = f x dx f x dx = ()dx = x = + ()dx 5

6 Contoh (lnjutn) n = = +T f x cos x dx f x cos x dx = = cos x dx = sin x = = cos x dx + sin sin cos x dx Contoh (lnjutn) b n = = +T f x sin x dx f x sin x dx = sin x dx + = sin x dx = cos x = cos cos = =, n gnjil, n genp sin x dx n 6

7 Contoh (lnjutn) Dengn demikin deret Fourier untuk fungsi f(x) dlh : f x = + k= sin x dlm hl ini n = k = + sin πx + sin 3πx + sin5 πx + π 3π 5π = + π sin πx + 3 sin 3πx + sin5 πx + 5 Syrt Dirichlet Persyrtn sebuh fungsi f(x) gr dpt dinytkn dlm deret Fourier ditentukn oleh syrt Dirichlet sebgi berikut : Jik () f(x) periodik dengn periode T (b) bernili tunggl sert kontinu bgin demi bgin dlm (c) intervl dsrny : x + T, dn +t f(x) dx niliny berhingg, Mk deret Fourier di rus knn konvergen ke nili : 7

8 Syrt Dirichlet (lnjutn) f(x) di semu titik kekontinun f(x) dn ½ lim f x + lim f x + di setip titik ketkkontinun x (pd derh lomptn). Contoh : Pd contoh sebelumny (perhtikn gmbr), tentuknlh konvergen ke nili berp deret fourier tersebut di titik-titik kekontinun x =, 3, 3, 5 dn di titik-titik ketkkontinun x = 4,,, -3. Syrt Dirichlet (lnjutn) Penyelesin : Menurut syrt Dirichlet, mk : - Di titik-titik kekontinun : x = konvergen ke x = 3 4 konvergen ke x = 3 konvergen ke x = 5 konvergen ke - Di titik-titik ketkkontinun : x = konvergen ke ½ ( + ) = ½ x = konvergen ke ½ ( + ) = ½ x = konvergen ke ½ ( + ) = ½ x = -3 konvergen ke ½ ( + ) = ½ 8

9 tihn Dikethui fungsi f(t) sebgi berikut : 3, < t < f t = 5, < t < Periodik sehingg f t + 4 = f(t), urikn fungsi tersebut dlm deret Fourier dn gmbrkn bentuk gelombngny! Terim ksih dn Semog ncr Studiny! 9