KETAKSAMAAN CHEBYSHEV DAN PERUMUMANNYA. Pangeran B.H.P Institut Teknologi Bandung

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hl KETAKSAMAAN CHEBYSHEV DAN PERUMUMANNYA Pngern B.H.P Institut Teknologi Bndung pngernhp@yhoo.com Hendr Gunwn Institut Teknologi Bndung hgunwn@mth.it.c.id ABSTRACT. We study Cheyshev s Inequlity nd exmple of its ppliction on the expecttion of continuous rndom vrile. In ddition, we lso discussed the inequlity on determinnt form. Keywords: Cheyshev s Inequlity, expecttion, continuous rndom vrile, mtrix determinnt ABSTRAK. Dlm mklh ini kn dihs mengeni Ketksmn Cheyshev dn contoh penggunnny pd ekpektsi dri sutu peuh ck kontinu. Segi tmhn, dihs jug ketksmn dlm entuk determinn mtriks. Kt Kunci: Ketksmn Cheyshev, ekspektsi, peuh ck kontinu, determinn mtriks 1. PENDAHULUAN Mislkn f terdefinisi pd sutu himpunn H. Kit ktkn hw f nik pd H pil untuk setip x, y H dengn x < y erlku f(x) f(y). Jik ketksmn < erlku, mk kit ktkn hw f nik sejti pd H. Definisi serup dpt dirumuskn untuk fungsi turun dn turun sejti pd H. Fungsi nik tu turun diseut fungsi monoton.

2 218 Pngern BHP dn Hendr Gunwn Teorem 1.1. (Ketksmn Cheyshev). Jik f, g [, ] R dlh fungsi dengn kemonotonn yng sm mk 1 f(x)g(x)dx ( 1 f(x)dx ) ( 1 g(x)dx ) (1) Arh ketksmn dilik il f, g fungsi dengn kemonotonn yng ered. Bukti dpt diliht pd (Niculescu dn Pecrie, 2010). 2. PEMBAHASAN 2.1 Ketksmn Cheyshev dengn fungsi oot Teorem 2.1. (Mitrinuvie, dkk., 1993). Jik f, g [, ] R dlh fungsi dengn kemonotonn yng sm, p positif dn terintegrlkn Riemnn pd [, ] mk p(x)dx p(x)f(x)g(x)dx p(x)f(x)dx p(x)g(x)dx (2) Bukti nlogi seperti pd (Niculescu dn Pecrie, 2010) ykni menggunkn fkt hw untuk setip x, y [, ] erlku p(x)p(y)(f(x) f(y))(g(x) g(y)) Ekspektsi Mislkn p [, ] R R + merupkn fungsi pdt pelung dri peuh ck X dn dlh ekpektsi dri peuh ck X. E(X) = xp(x)dx 2.3 Penggunn Ketksmn Cheyshev pd Ekspektsi

3 Ketksmn Chyshev dn Perumumnny 219 Dengn menggunkn Teorem 2.1, nlogikn p(x) segi fungsi pdt pelung dri sutu peuh ck kontinu X kren p [, ] R R + dn segi kit p(x) merupkn fungsi pdt pelung mk p(x)dx = 1. Berdsrkn (2) diperoleh E[ f(x)g(x)] E[ f(x)]e[ g(x)] Untuk f, g [, ] R dlh fungsi dengn kemonotonn yng sm. Seperti pd ksus seelumny, rh ketksmn dilik il f, g fungsi dengn kemonotonn yng ered. 2.4 Perumumn dengn entuk determinn Segi lngkh wl, tinju (f(x) f(y))(g(x) g(y)) 1 1 = f(y) f(x) 1 1 g(y) g(x) Hl ini ingin mengtkn hw Ketksmn Cheyshev dpt dinytkn dlm entuk determinn mtriks. Ketksmn Cheyshev dlm entuk determinn Teorem 2.2. (Mitrinuvie, dkk., 1993). Jik f 1, f 2,, f n dn g 1, g 2,, g n fungsi yng terintegrlkn Riemnn pd [, ] dn mk f 1 (x 1 ) f 1 (x n ) g 1 (x 1 ) g 1 (x n ) 0 f n (x 1 ) f n (x n ) g n (x 1 ) g n (x n ) f 1 (x)g 1 (x)dx f 1 (x)g n (x)dx 0 f n (x)g 1 (x)dx f n (x)g n (x)dx

4 220 Pngern BHP dn Hendr Gunwn Ide pemuktin kn dimuli dri ksus determinn mtriks 2 2. Jik f i dn g i fungsi yng terintegrlkn Riemnn pd [, ] dn dengn x 1, x 2 [, ] mk Bukti. f 1(x)g 1 (x)dx f 1(x 1 ) f 1 (x 2 ) f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 ) g 1(x 1 ) g 1 (x 2 ) g 2 (x 1 ) g 2 (x 2 ) 0 f 1 (x)g 1 (x)dx 0 g 1 (x 1 ) g 2 (x 1 ) = f 1 (x 1 ) dx f 2 (x 2 )g 1 (x 2 )dx f 2 (x 2 )g 2 (x 2 )dx 1 = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) g 1(x 1 ) g 2 (x 1 ) g 1 (x 2 ) g 2 (x 2 ) dx 1dx 2 = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) g 1(x 1 ) g 1 (x 2 ) g 2 (x 1 ) g 2 (x 2 ) dx 1dx 2 Dilin pihk, f 1(x)g 1 (x)dx ( ) = f 2 (x 1 ) f 1(x 2 )g 1 (x 2 )dx f 1 (x 2 )g 2 (x 2 )dx dx 1 g 1 (x 1 ) g 2 (x 1 ) = f 2 (x 1 )f 1 (x 2 ) g 1(x 2 ) g 2 (x 2 ) g 1 (x 1 ) g 2 (x 1 ) dx 1dx 2 = f 2 (x 1 )f 1 (x 2 ) g 1(x 1 ) g 1 (x 2 ) g 2 (x 1 ) g 2 (x 2 ) dx 1dx 2 ( )

5 Ketksmn Chyshev dn Perumumnny 221 mk dri ( ) dn ( ) didpt f 1(x)g 1 (x)dx = 1 (f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f 2 (x 1 )f 1 (x 2 )) g 1(x 2 ) g 2 (x 2 ) 2 g 1 (x 1 ) g 2 (x 1 ) dx 1dx 2 = 1 f 1(x 1 ) f 1 (x 2 ) 2 f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 ) g 1(x 2 ) g 2 (x 2 ) g 1 (x 1 ) g 2 (x 1 ) dx 1dx 2 0 erdsrkn sift positif integrl. Llu dengn cr yng sm untuk mtriks f (x)g (x)dx 1 1 f 1 (x)g n (x)dx f n (x)g 1 (x)dx f n (x)g n (x)dx f 1 (x 1 ) f 1 (x n ) g 1 (x 1 ) g 1 (x n ) = 1 dx n! 1 dx n f n (x 1 ) f n (x n ) g n (x 1 ) g n (x n ) Hl ini dikrenkn d n! cr dlm pengmiln f i KESIMPULAN DAN SARAN Ketksmn Cheyshev merupkn ketksmn yng memndingkn perklin du integrl fungsi dengn integrl dri perklin du fungsi dengn syrt fungsi terseut merupkn fungsi monoton. Ketksmn Cheyshev dengn fungsi oot dpt digunkn dlm ekspektsi sutu peuh ck kontinu dengn fungsi ootny erpern segi fungsi pdt pelung. Leih lnjut, syrt Ketksmn Cheyshev dpt diperlemh ykni dengn menytkn ketksmn dlm entuk determinn.

6 222 Pngern BHP dn Hendr Gunwn DAFTAR PUSTAKA Cerone P. dn Drgomir S.S, (2011), Mthemticl Inequlities: A Perspective, Tylor nd Frncis Group, LLC. Mitrinovic D. S., Pecric J. E. dn Fink A. M., (1993), Clssicl nd New Inequlities in Anlysis, Kluwer, Dordrecht, Niculescu C. P. dn Pecric J. E., (2010), The equivlence of Cheyshev's inequlity with the Hermite-Hdmrd inequlity. Mth. Reports, 12 (62), No. 2, pp Wlpole R.E., (2007), Proility & Sttistics for Engineers & Scientists 8 th edition. Person Eduction Interntionl.