MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)..."

Teguh Hermawan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris dn n kolom. Bilngn/fungsi ij diseut elemen-ny dengn i menunjukkn ris dn j kolom Mtriks tidk memiliki nili numerik Mtriks merupkn sutu cr sederhn untuk menyjikn sutu susunn (tel) dri ilngn-ilngn Pd stny () kn diseut mtriks [ ij ], m x n, tu mtriks A = [ ij ], m x n cukup menuliskn mtriks A sj Contoh : Berikut ini dlh mtriks () 7 () (c) ( 7) Mtriks () dpt dipndng segi mtriks koefisien dri sistem persmn liner x + y + 7z = x y + z = tu segi mtriks lengkp dri sistem persmn linier tk-homogen x + y = 7 x y =

2 Mtriks Bujur Sngkr Setip mtriks yng memiliki jumlh ris dn jumlh kolom yng sm (m = n) diseut mtriks ujur sngkr. Seuh mtriks ujur sngkr dengn m ris dn n kolom sering diseut mtriks ujur sngkr. Dlm sutu mtriks ujur sngkr, elemen-elemen,,..., nn diseut elemen digonl. Jumlh elemen-elemen digonl sutu mtriks ujur sngkr A diseut trce A Mtriks Sm Du mtriks A = [ ij ] dn B = [ ij ] diseut sm ( A = B) jik dn hny jik keduny erordo sm dn setip elemen yng seletk sm, yitu jik dn hny jik ij = ij (i =,,..., m; j =,,..., n) Mtriks Nol Mtriks yng semu elemenny nol diseut mtriks nol OPERASI MATRIKS JUMLAH MATRIKS Definisi Jik A = [ ij ] dn B = [ ij ] du mtriks m x n, mk jumlh (selisih)-ny, A ± B didefinisikn segi mtriks C = [c ij ], m x n, dengn tip elemen C dlh jumlh (selisih) elemen A dn B yng seletk. Jdi A ± B = [ ij ± ij ] Du mtriks erordo sm diseut ersesuin untuk penjumlhn tu pengurngn. Du mtriks erordo ered tidk dpt dijumlhkn tu dikurngkn.

3 Definisi: Jik k serng sklr mk ka = Ak dlh mtriks yng diperoleh dri A dengn cr menglikn setip elemenny dengn k. Dengn sumsi hw mtriks A, B, dn C dlh ersesuin untuk penjumlhn, kit nytkn: ) A + B = B + A (hukum komuttif) ) A + (B + C) = (A + B) + C (hukum sositif) c) k (A + B) = k A + k B d) Terdpt sutu mtriks D sedemikin sehingg A + D = B PERKALIAN Definisi: Jik A dlh mtriks m x r dn B dlh mtriks r x n mk hsil kli dlh mtriks m x n yng entri-entriny ditentukn segi erikut. Untuk mencri entri dlm ris i dn kolom j dri AB, pilihlh ris i dri mtriks A dn kolom j dri mtriks B. Kliknlh entri-entri yng ersesuin dri ris dn kolom terseut ersm-sm dn kemudin tmhknlh hsil kli yng dihsilkn Perhtiknlh opersiny dlh ris dengn kolom; tip elemen ris diklikn dengn elemen kolom pdnnny dn kemudin hsil kli itu dijumlhkn. Contoh 6: A B = = Hsilkli AB terdefinisi tu A ersesuin terhdp B untuk perklin, hny jik nykny kolom A sm dengn nyk ris B. Nmun ingt, B tidk perlu ersesuin terhdp A untuk perklin

4 Dengn nggpn hw A, B, dn C ersesuin untuk jumlh dn hsil kli yng ditunjukkn, kit mempunyi e) A (B + C) = AB + AC f) (A + B) C = AC + BC g) A (BC) = (AB) C Akn tetpi h) AB = BA i) AB = tidk perlu memwkn A = tu B = j) AB = AC tidk perlu memwkn B = C Mtriks Stun Mtriks ujur sngkr A yng elemen-elemenny ij = untuk i > j diseut segitug ts; mtriks ujur sngkr A yng elemen-elemnny ij = untuk i < j diseut segitig wh. Sedngkn mtriks yng dismping segitig ts jug segitig wh diseut mtriks digonl. Mtriks digonl kn seringkli ditulis segi D = dig (,,,..., nn ) D = nn Jik dlm mtriks digonl D dits = =... = nn = k, mk D diseut mtriks sklr. Jik k = mk diseut mtriks stun (mtriks identits) Dlm mtriks stun, jik ukurnny penting untuk diteknkn, mk kn dituliskn I n untuk mtriks stun n x n 4

5 Blikn Mtriks (Invers). Definisi: Dierikn mtriks ujur sngkr A. Jik terdpt mtriks ujur sngkr A - yng memenuhi huungn A - A = AA - = I, mk A - diseut invers kelikn dri A Teorem. Jik ik B mupun C dlh invers mtriks A mk B = C Teorem. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng dpt dilik dn yng ukurnny sm, mk ) AB dpt dilik ) (AB) - = B - A - Teorem. 4. Jik A dlh mtriks kudrt dn r sert s dlh ilngn ult, mk A r A s = A r + s (A r ) s = A rs Teorem. Jik A dlh seuh mtriks yng dpt dilik, mk: ) A - dpt dilik dn (A- ) - =A ) A n dpt dilik dn (A n ) - = (A - ) n untuk n =,,,... c) Untuk setip sklr k yng tksm dengn nol, mk ka dpt dilik dn (ka) - = /k (A - ) Teorem 6. Jik ukurn mtriks seperti opersi yng dierikn dpt dilkukn, mk ) (A t ) t = A ) (A+B) t = A t + B t c) (ka) t = ka t, dimn k dlh serng sklr d) (AB) t = B t A t Trnspose seuh hsil kli mtriks sm dengn hsil kli trnsposny dlm urutn keliknny

6 MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A - Definisi: Seuh mtriks n x n dinmkn mtriks elementer jik mtriks terseut dpt diperoleh dri mtriks stun (identits) n x n ykni I n dengn melkukn seuh opersi ris elementer tunggl Contoh 7. Di wh ini kit dftrkn empt mtriks elementer dn opersi-opersi yng menghsilknny (i) (ii) (iii) Klikn ris kedu I dengn - Pertukrkn ris kedu dn ris keempt dri I 4 Tmhkn tig kli ris ketig dri I pd ris pertm Teorem 7. Jik mtriks elementer E dihsilkn dengn melkukn seuh opersi ris tertentu pd I m dn jik A dlh mtriks m x n, mk hsil kli EA dlh mtriks yng dihsilkn il opersi ris yng sm ini dilkukn pd A. Contoh 8. Tinjulh mtriks A = Dn tinjulh mtriks elementer yng dihsilkn oleh penmhn kli ris pertm dri I ke ris ketig. 6

7 E = Hsil kli EA dlh EA = 4 4 yng persis sm seperti mtriks yng dihsilkn il kit menmhkn kli ris pertm dri A ke ris ketig 6 Jik opersi ris elementer diterpkn pd mtriks stun I untuk menghsilkn mtriks elementer E, mk terdpt opersi ris kedu yng il diterpkn pd E, kn menghsilkn kemli I. Mislny jik E kit peroleh dengn menglikn ris ke-i dengn konstnt c yng tk sm dengn nol, mk I dpt diperoleh kemli jik ris ke-i dri E diklikn dengn /c. Bergi kemungkinn didftrkn dlm tel erikut: Tel. Bergi kemungkinn pd Opersi Bris Elementer pd I Menghsilkn E dn selikny Opersi ris pd I yng menghsilkn E Opersi ris pd E yng menghsilkn I Kliknlh ris i dengn c Kliknlh ris i dengn /c Pertukrkn ris i dn ris j Tmhkn c kli ris i ke ris j Pertukrkn ris i dn ris j Tmhkn c kli ris i ke ris j Opersi-opersi di rus knn dri tel ini dinmkn opersi invers dri opersi-opersi yng ersesuin di rus kiri Teorem 8. Setip mtriks elementer dpt dilik, dn inversny dlh jug mtriks elementer 7

8 8 Teorem 9. Jik A dlh mtriks n x n, mk pernytn-pernytn erikut ekivlen, ykni semuny enr tu semuny slh ) A dpt dilik ) AX = hny mempunyi pemechn trivil c) A ekivlen ris terhdp I n. Contoh 9. Crilh invers dri = 8 A Perhitungn dlh segi erikut: Tmhkn kli ris kedu pd ris ketig Tmhkn - kli ris kedu pd ris pertm Tmhkn kli ris ketig pd ris kedu dn - kli ris ketig pd ris pertm Klikn ris ketig dengn - A -

9 Jik mtriks tidk dpt dilik, mk menurut gin (c) dri teorem 9, tidklh mungkin ekivlen ris pd I n ; errti mtriks terseut erentuk eselon ris tereduksi yng sedikit-dikitny mempunyi seuh ris ilngn nol. HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN Teorem. Jik A dlh mtriks n x n yng dpt dilik, mk untuk setip mtriks B yng erukurn n x, sistem persmn AX = B mempunyi persis stu pemechn, ykni, X = A - Contoh. Tinjulh sistem persmn liner x + x + x = x + x + x = x + 8x = 7 Dlm entuk mtriks, mk sistem ini dpt dituliskn segi AX = B, di mn x A =, X = x, B = 8 x 7 Dri contoh 9 telh diperlihtkn hw A dpt dilik dn A 4 = 6 9 Menurut teorem mk pemechn sistem terseut dlh 9

10 4 6 9 X = A B = = tu x =, x = -, x = 7 Teorem. Mislkn A dlh mtriks kudrt ) Jik B dlh kudrt yng memenuhi BA = I, mk B = A - ) Jik B dlh kudrt yng memenuhi AB = I, mk B = A - Teorem. Jik A dlh seuh mtriks n x n, mk pernytn-pernytn yng erikut ekivlen stu sm lin ) A dpt dilik ) AX = hny mempunyi pemechn trivil c) A ekivlen ris kepd I n d) AX = B konsisten untuk tip-tip mtriks B yng erukurn n x Contoh. Kondisi-kondisi pkh yng hrus dipenuhi oleh,, dn supy sistem persmn di wh ini konsisten? x + x + x = x + x = x + x + x = Pemechn. Mtriks yng diperesr untuk sistem terseut dlh

11 yng dpt direduksi terhdp entuk eselon ris segi erikut: Jelslh sekrng dri ris ketig di dlm mtriks terseut hw sistem terseut mempunyi seuh pemechn jik dn hny jik,, dn memenuhi kondisi: = tu = + Dengn cr lin, mk AX = B konsisten jik dn hny jik B dlh mtriks yng erentuk: + = B dimn dn serng Contoh. Kondisi p yng hrus dipenuhi oleh,, dn gr sistem persmn di wh ini menjdi konsisten: B B + (-) B B B + (-) B B (-) B B B + B

12 x + x + x = x + x + x = x + 8x = Pemechn. Mtriks yng diperesr dlh 8 Dengn mereduksi ini terhdp entuk eselon ris tereduksi kn menghsilkn (Buktikn): Dlm ksus ini tidk d pemtsn pd,, dn ; yitu hw sistem yng dierikn oleh AX = B mempunyi pemechn yng unik x = , x =, x = untuk semu B

dokumen-dokumen yang mirip

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.