ANALISIS VEKTOR
9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity
Vektor Notasi Huruf kecil tebal Contoh: a, v Huruf kecil dengan panah Contoh: a, v Titik awal Pangkal vektor Titik akhir Ujung vektor
Vektor Panjang vektor (norm) Panjang vektor dari titik awal sampai titik ujung Notasi: a Vektor satuan Vektor dengan panjang satu
Definisi Persamaan Vektor Dua buah vektor a dan b dikatakan sama, ditulis a = b, jika keduanya mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama.
Arah vektor
Komponen Vektor Misal a vektor dengan titik awal P: x 1, y 1, z 1 dan titik akhir Q: x 2, y 2, z 2. Maka tiga beda koordinat a 1 = x 2 x 1 a 2 = y 2 y 1 a 3 = z 2 z 1 Disebut komponen dari vektor a terhadap sistem koordinat, dinotasikan dengan a = a 1, a 2, a 3 Panjang a dari vektor a adalah a = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2
Definisi Penjumlahan Vektor Jumlahan a + b dari dua buah vektor a = a 1, a 2, a 3 dan b = b 1, b 2, b 3 diperoleh dengan menjumlahkan masing-masing komponen yang bersesuaian, yaitu a + b = a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3
Sifat Dasar Penjumlahan a + b = b + a a + b + c = a + b + c a + 0 = 0 + a a + a = 0
Definisi Perkalian Skalar Perkalian vektor a = a 1, a 2, a 3 dengan skalar c adalah vektor yang diperoleh dengan cara mengalikan masing-masing komponen dengan skalar, yaitu ca = ca 1, ca 2, ca 3
Sifat Dasar Perkalian Skalar c a + b = ca + cb c + k a = ca + ka c ka = ck a 1a = a
9.2. Definisi Dot Product Dot product a b dari dua buah vektor a = a 1, a 2, a 3 dan b = b 1, b 2, b 3 diperoleh dari perkalian panjang masing-masing vektor dengan cosinus sudut keduanya a b = a b cos γ a b = 0 jika a 0, b 0 jika a = 0 atau b = 0 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
Dot Product Sudut dua buah vektor
Teorema 1 Ortogonalitas Dot product dua buah vektor taknol adalah 0 jika dan hanya jika dua vektor tersebut saling tegak lurus
9.3. Definisi Perkalian Vektor Cross Product Perkalian vektor a b dari dua buah vektor a dan b adalah vektor v = a b dimana jika a dan b mempunyai arah yang sama atau arah yang berlawanan, atau jika a = 0 atau b = 0, maka v = a b = 0. Selain itu v = a b mempunyai panjang v = a b = a b sin γ. γ adalah sudut antara kedua vektor. Arah v adalah tegak lurus terhadap vektor a dan b.
Cross Product
Cross Product v = a b = i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 2 a 3 b 2 b i a 1 a 3 3 b 1 b j + a 1 a 2 3 b 1 b k 2 = a 2 b 3 a 3 b 2 i a 1 b 3 a 3 b 1 j + a 1 b 2 a 2 b 1 k = a 2 b 3 a 3 b 2, a 1 b 3 a 3 b 1, a 1 b 2 a 2 b 1
Teorema 1 Untuk setiap skalar l la b = l a b = a lb Hukum distributif Antikomutatif Tidak asosiatif a b + c = a b + a c a + b c = a c + b c b a = a b a b c a b c
Scalar Triple Product Scalar Triple Product dari tiga vektor a, b, c didefinisikan sebagai a b c = a b c
Fungsi Fungsi skalar Fungsi dengan daerah hasil himpunan skalar. Contoh: f x, y, z = xyz 2 + 2xz Fungsi vektor Fungsi dengan daerah hasil himpunan vektor Contoh: F x, y, z = xyz 2, 2xz, yz
Grad (gradien dari fungsi skalar) Gradien dari fungsi skalar f x, y, z dinotasikan grad f atau f (dibaca nabla f) dan didefinisikan f = f x, f y, f z = f x i + f y j + f z k
Div (divergensi dari fungsi vektor) Misal diketahui fungsi v = v 1, v 2, v 3. Fungsi div v = v 1 x + v 2 y + v 3 z disebut divergensi dari v. Notasi lain div v = v = x, y, z v 1, v 2, v 3
Curl (curl dari fungsi vektor) Curl dari fungsi vektor v didefinisikan sebagai i j k curl v = v = = x y z v 1 v 2 v 3 = y z i x z j + v 2 v 3 v 1 v 3 x y k v 1 v 2
Sifat-sifat dasar Analisis Vektor f + g = f + g cg = c f fg = f g + g f f g f f g = g g 2 div fv = fdiv v + v f div f g = f 2 g + f g 2 f = div f 2 fg = f 2 g + 2 f g + g 2 f
Sifat-sifat dasar Analisis Vektor curl fv = f v + fcurl v div u v = v curl u u curl v curl f = 0 div curl v = 0
Contoh Soal 1 Diketahui dua buah fungsi F x, y, z = 2xz, xyz, y 3 xz f x, y, z = x 2 yz Hitunglah nilai dari a. f b. div F c. curl F d. F f e. F f f. F f g. div curl F
Solusi no 1a. f x, y, z f = = x 2 yz f x, f y, f z turunan fungsi f terhadap x, sehingga y dan z dianggap konstanta = x2 yz x, x2 yz y, x2 yz z = 2xyz, x 2 z, x 2 y
Solusi no 1b. F x, y, z = F 1, F 2, F 3 = 2xz, xyz, y 3 xz div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z 2xz xyz = + x y = 2z + xz + xy 3 + y3 xz z
Solusi no 1c. curl F = i j k x y z 2xz xyz y 3 xz = y z i x z j + x y xyz y 3 xz 2xz y 3 xz 2xz xyz = 3y 2 xz xy i y 3 z 2x j + yz 0 k = 3y 2 xz xy, y 3 z 2x, yz k
Solusi no 1d. F x, y, z = F 1, F 2, F 3 = 2xz, xyz, y 3 xz f = 2xyz, x 2 z, x 2 y F f = i j k 2xz xyz y 3 xz 2xyz x 2 z x 2 y = xyz y3 xz x 2 z x 2 y i 2xz y3 xz 2xyz x 2 y 2xz xyz j + 2xyz x 2 z k
Solusi no 1e. F x, y, z = F 1, F 2, F 3 = 2xz, xyz, y 3 xz f = 2xyz, x 2 z, x 2 y F f = 2xz, xyz, y 3 xz 2xyz, x 2 z, x 2 y = 4x 2 yz 2 + x 3 yz 2 + x 3 y 4 z
Solusi no 1f. F f = 4x 2 yz 2 + x 3 yz 2 + x 3 y 4 z F f = 8xyz 2 + 3x 2 yz 2 + 3x 2 y 4 z, 4x 2 z 2 + x 3 z 2 + 4x 3 y 3 z, 8x 2 yz + 2x 3 yz + x 3 y 4
Solusi no 1g. curl F = 3y 2 xz xy, y 3 z 2x, yz div curl F = 3y2 xz xy + y3 z 2x x y = 3y 2 z y + 3y 2 z + y + yz z