Metode Numerik Muhtadin, ST. MT.
Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat 2
Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro 3
Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa. Kompetensi : Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan cara analitik. Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan algoritmaalgoritma dalam menyelesaikan persoalan sorting, searching, dan optimasi. 4
Pokok Bahasan Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas komputasi. Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier. Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi. Turunan dan integrasi numerik. Penyelesaian persamaan dierensial biasa dan persamaan dierensial parsial. Optimasi numerik. 5
Pustaka Utama : 1. Munir R., Metode Numerik, Inormatika Bandung, 25 Prasyarat : Pemrograman Komputer dan Kalkulus I. 6
Perlu belajar metode numerik? Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu melibatkan MODEL MATEMATIKA Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks Sulit untuk dipecahkan Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan metode analitis untuk menghasilkan Hasil Eact. Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model matematis menggunakan aljabar umum 7
Metode Numerik menggunakan Komputer Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun memerlukan proses panjang Menyebabkan perhitungan yang lambat dan rawan terhadap human errors. Perlu menggunakan Mesin Komputer. Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc. Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc. 8
ANALYTIC VS NUMERIC 9
1
Bungee-Jumping Sesuai Hukum kedua Newton Model Matematika : 11
Bungee-Jumping Analytic Seseorang mencoba Bungee-Jumping dengan berat 68.1 Kg. Hitunglah kecepatan untuk 12 detik pertama, dengan koeisien hambatan.25 kg/m 12
Bungee-Jumping Analytic 13
Bungee-Jumping Numeric 14
Bungee-Jumping Numeric Seseorang mencoba Bungee-Jumping dengan berat 68.1 Kg. Hitunglah kecepatan untuk 12 detik pertama, dengan koeisien hambatan.25 kg/m. Hitung kecepatan setiap selang 2 detik t=2 t=4 15
Bungee-Jumping Numeric 16
Accuracy vs Precision Akurasi mengacu pada seberapa dekat nilai dihitung dan diukur sesuai dengan nilai sebenarnya Presisi mengacu pada seberapa dekat nilai-nilai dihitung atau diukur secara individu sesuai dengan satu dan lainnya 17
Teorema Pendekatan Pada umumnya ungsi-ungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi ungsi hampiran / pendekatan Biasanya dalam bentuk polinomial Perhitungan dengan menggunakan ungsi yang sesungguhnya akan didapatkan hasil solusi eksak solusi sejati Perhitungan dengan menggunakan ungsi hampiran / pendekatan akan didapatkan hasil solusi hampiran solusi pendekatan Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relati Kesalahan Absolut : Ee = p p* Kesalahan Relati : ε = Ea / p 1% Untuk kasus-kasus yang tidak diketahui nilai eksaknya, biasanya iterasi dihentikan ketika memenuhi syarat : dimana :
Contoh Soal Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar eksak berturut-turut adalah 1. cm dan 1 cm, hitung kesalahan absolut dan relati : Jawab : Kesalahan absolut : Jembatan = 1 cm. Pensil = 1 cm. Kesalahan relati : Jembatan =.1 % Pensil = 1 % 19
ERROR ANALYSIS Error Pembulatan 2
Representasi Angka Karena kita memiliki 1 jari tangan dan 1 jari kaki, maka Representasi angka yang amilier bagi kita adalah base-1 desimal Terdiri dari angka s/d 9, dan gabungannya untuk menyatakan angka yang lebih besar Setiap digit, memiliki nilai yang berbeda tergantung posisinya Contoh angka : 8642.9 21
Representasi angka pada Komputer Menggunakan binary atau base-2 Contoh 11.1 2 Representasi integer pada komputer, biasanya menggunakan 1 bit sebagai penanda, contoh 173 : Representasi pada komputer 16 bit : 22
Representasi Floating point Representasi loating point pada base-1 dengan s = signiicand mantissa, b = basis, e = eponent pangkat Contoh, Representasi base-1 dengan menggunakan 5-digit: dengan s dan s 1 adalah penanda, d adalah magnitude dari pangkat, d 1 dan d 2 adalah magnitude dari signiicant digit 23
Contoh Contoh 1 : Representasi pada komputasi 5 bit adalah : atau.31 maka error pembulatannya adalah : Contoh 2 : Representasi adalah : error pembulatannya : 24
Deret Taylor & McLaurin 25
Overview Polynomial Deret Taylor Deret MacLaurin 26
Deret Taylor Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial error. Deinisi : Jika dan semua ungsi turunannya,,, kontinyu pada interval [a, b], maka dapat diperluas dalam deret Taylor : 2 m m ' ''... 1! 2! m!... Jika = Deret MacLaurin. 27
Pendekatan = sin menggunakan deret taylor disekitar = 1. Dengan asumsi 1 = h; sin sin1 hcos 1 h 2 2 sin1 h 6 3 cos 1... Pendekatan sin, e, cos menggunakan Deret McLaurin. sin 3 3! 5 5!... e 1 2 2! 3 3! 4 4!... cos 1 2 2! 4 4! 6 6!... 28
Contoh Deret Taylor Cari Deret Taylor dari ungsi = sin dengan titik pusat pada =! 29
Deret Taylornya Polinomial Taylor 3
Contoh Deret Taylor Contoh soal Hitung sin 5 menggunakan deret taylor Jawab : Sin = Karena 36 = 2rad, maka 1 rad = 18/ = 57,295 Jadi 5= 5 / 57,295 =,87266 Masukkan kedalam deret tailor sinus. 31
Contoh Deret Taylor 32
Contoh Deret Taylor Deret Taylornya : Polinomial Taylor 33
Contoh Deret Taylor 34
Deret Taylor yang Terpotong Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor Tak berhingga! Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah ungsi hingga n derajat tertentu yang tidak tak terhingga; Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series. 35
Deret Taylor yang Terpotong Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret Taylor 36! 2! 2 n n n
Contoh - Deret Taylor yang Terpotong Temukan deret taylor hingga order 3 dari ungsi berikut ini : cos2 Dengan titik pusat pada 4 37
Contoh - Deret Taylor yang Terpotong Untuk pendekatan hingga order 3 : Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan turunan ungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat. 38 3! 2! 3 2
Contoh - Deret Taylor yang Terpotong cos2 4 cos 2 2sin2 4 2sin 2 2 4cos2 4 4cos 2 8sin2 4 8sin 2 8 39
Contoh - Deret Taylor yang Terpotong 4 3! 4 8 2! 4 4 2 3! 2! 3 2 3 2 3 4 3 4 4 2
Quiz Diketahui suatu ungsi = 3 1 2 + 5, Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga; perkirakan ungsi tersebut pada titik i+1 = 5 berdasarkan ungsi pada titik i =. Bandingkan dengan nilai eksak untuk = 5 Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan nilai eksaknya? 41
TERIMA KASIH 42