6 LINGKRN Sumber: Jendela Iptek, 00 Sejak zaman abilonia, manusia sudah terkagum-kagum oleh bangun matematika yang dinilai sebagai bentuk yang sempurna, yaitu lingkaran. Kita semua pasti tidak asing lagi dengan beragam lingkaran. terjadi secara alami di alam semesta, mulai dari riak air sampai lingkar cahaya bulan. i alam, lingkaran sering kali terbentuk apabila permukaan datar dipengaruhi oleh suatu gaya yang bekerja merata ke segala arah. Misalnya, saat sebuah kelereng jatuh ke dalam air dan menghasilkan gelombang yang menyebar rata ke segala arah sebagai serangkaian riak yang berbentuk lingkaran. Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran; dapat menemukan nilai phi; dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran; dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama; dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama; dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng; dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah. Kata-Kata Kunci: unsur-unsur lingkaran keliling dan luas lingkaran sudut pusat dan sudut keliling panjang busur, luas juring, dan luas tembereng
i tingkat sekolah dasar, kalian telah diperkenalkan dengan bangun lingkaran. oba kalian ingat kembali materi tersebut. gar kalian mudah memahami materi pada bab ini, kalian harus menguasai mengenai sudut, segitiga, dan faktorisasi suku aljabar.. LINGKRN N GIN-GINNY (Menumbuhkan kreativitas) Perhatikan lingkungan di sekitarmu. Temukan 5 buah benda berbentuk lingkaran. Rabalah permukaan benda-benda tersebut. Menurutmu, unsurunsur apa sajakah yang menyusun sebuah lingkaran? eritakan temuanmu secara singkat di depan kelas. Gambar 6. Gambar 6.3. Pengertian alam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-benda yang permukaannya berbentuk lingkaran, seperti tampak pada Gambar 6. berikut. Gambar 6. ari Gambar 6. di atas, apakah yang dapat kalian ceritakan mengenai lingkaran? apatkah kalian menyebutkan unsur-unsur lingkaran? gar kalian memahami pengertian lingkaran, perhatikan Gambar 6. di samping. adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Gambar 6. di samping menunjukkan titik,,, dan yang terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga = = = = jari-jari lingkaran (r). Titik disebut pusat lingkaran. Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.3 di samping. Panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran tersebut disebut keliling lingkaran, sedangkan daerah arsiran di dalamnya disebut bidang lingkaran atau luas lingkaran. 38 Matematika Konsep dan plikasinya
. agian-agian Perhatikan Gambar 6.4 di samping agar kalian mudah memahami mengenai unsur-unsur lingkaran. busur Titik disebut titik pusat lingkaran.,,, dan disebut jari-jari lingkaran, yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada keliling lingkaran. disebut garis tengah atau diameter, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran. Karena diameter = +, di mana = = jari-jari (r) lingkaran, sehingga diameter (d) = jari-jari (r) atau d = r. disebut tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran. E tali busur dan F tali busur disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran. Garis lengkung,, dan disebut busur lingkaran, yaitu bagian dari keliling lingkaran. usur terbagi menjadi dua, yaitu busur besar dan busur kecil (Gambar 6.5).. usur kecil/pendek adalah busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.. usur besar/panjang adalah busur yang lebih dari setengah keliling lingkaran. aerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, dan serta busur disebut juring atau sektor. Juring terbagi menjadi dua, yaitu juring besar dan juring kecil (Gambar 6.6). aerah yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya disebut tembereng. Gambar 6.7 menunjukkan bahwa terdapat tembereng kecil dan tembereng besar. F E Gambar 6.4 busur besar busur kecil Gambar 6.5 Gambar 6.6 tembereng juring kecil tali busur juring besar Gambar 6.7 juring apotema tembereng besar tembereng kecil (Menumbuhkan inovasi) Sediakan sebuah jam weker. nggaplah titik pertemuan antara jarum menit dan jarum detik sebagai titik pusat lingkaran. Tunjukkan unsur-unsur lingkaran dengan menggunakan jam weker tersebut. eritakan secara singkat di depan kelas. 39
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Pada gambar di bawah ini sebutkan garis yang merupakan a. jari-jari, b. garis tengah, c. tali busur, E F d. apotema.. isebut apakah daerah arsiran yang ditunjukkan pada gambar berikut? (a) (b) (c) (d) (e) 3. Sebutkan nama unsur-unsur lingkaran yang ditunjukkan oleh nomor,, 3, 4, dan 5 pada gambar di bawah ini. 5 4 4. enar atau salahkah pernyataan berikut? a. adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. b. Jari-jari suatu lingkaran saling berpotongan di satu titik. c. Garis tengah merupakan tali busur yang terpanjang. d. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan tali busur. 3. KELILING N LUS LINGKRN Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda? Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian tepi lingkaran dengan huruf. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik kembali ke titik lagi. Lintasan yang dilalui roda dari sampai kembali ke lagi disebut satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai (pi).. Menemukan Pendekatan Nilai (pi) Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan nilai (pi). 40 Matematika Konsep dan plikasinya
KEGITN a. uatlah lingkaran dengan jari- jari cm,,5 cm, cm,,5 cm, dan 3 cm. b. Ukurlah diameter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris. c. Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris. d. uatlah tabel seperti di bawah ini dan hasil pengukuran yang telah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut. iameter Keliling Keliling iameter erjari-jari cm......... erjari-jari,5 cm......... erjari-jari cm......... erjari-jari,5 cm......... erjari-jari 3 cm......... oba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yang diperoleh teman-temanmu. pa yang dapat kalian simpulkan? pakah kamu mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dan diameter untuk setiap lingkaran adalah sama (tetap)? Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai keliling akan memberikan nilai yang mendekati 3,4. diameter Untuk selanjutnya, nilai ( dibaca: pi). keliling diameter Keliling iameter disebut sebagai konstanta oba tekan tombol pada kalkulator. pakah kalian mendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang? entuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan pecahan. leh karena itu, bukan bilangan pecahan, namun bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan (Menumbuhkan kreativitas) engan adanya teknologi komputer, nilai dapat dicari sampai puluhan tempat desimal. oba carilah nilai dengan menggunakan komputer di sekolahmu. Mintalah petunjuk gurumu. eritakan pengalamanmu secara singkat di depan kelas. 4
Untuk memudahkan dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jari-jari atau diameter lingkaran, gunakan, jika jari-jari 7 atau diameternya kelipatan 7; = 3,4 jika jari-jari atau diameternya bukan kelipatan 7. dalam bentuk pecahan biasa a. ilangan irasional berupa desimal b tak berulang dan tak berhingga. Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai = 3,4 59 6535 897934836... Jadi, nilai hanyalah suatu pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk adalah 3, 4. oba bandingkan nilai dengan pecahan 7. ilangan pecahan jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 7 3,485743. Jadi, bilangan dapat dipakai sebagai pendekatan 7 untuk nilai. 3,4 atau 7. Menghitung Keliling Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada keliling (K) setiap lingkaran nilai perbandingan diameter ( d) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut. Karena K, sehingga didapat K = d. d Karena panjang diameter adalah jari-jari atau d = r, maka K = r. Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r) adalah K d atau K r 4 Matematika Konsep dan plikasinya
Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui a. diameter 4 cm; b. jari-jari 35 cm. Penyelesaian: a. d = 4 cm sehingga K d 4 7 44 Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm. b. r = 35 cm sehingga K r 35 7 0 Jadi, keliling lingkaran = 0 cm. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Sediakan mata uang logam Rp00,00, Rp00,00, dan Rp500,00. Ukurlah panjang diameter dan keliling mata uang tersebut. uatlah tabel seperti berikut dan isikan hasil pengukuranmu pada tabel tersebut. Mata uang iameter Keliling Keliling iameter Rp00,00......... Rp00,00......... Rp500,00......... 3. Hitunglah panjang tali yang diperlukan untuk melilitkan sebuah drum berjari-jari 3 cm sebanyak lima putaran. 4. Hitunglah keliling daerah yang diarsir pada gambar berikut. 8 cm (i) 4 cm 0 cm (ii) ari tabel tersebut, tentukan nilai sampai tiga tempat desimal.. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui a. jari-jari 49 m; f. diameter 70 cm; b. jari-jari m; g. diameter,8 cm; c. jari-jari 5 cm; h. diameter 5 m; d. jari-jari cm; i. diameter 50 m; e. jari-jari 0,5 cm; j. diameter,4 cm; cm cm (iii) 0 cm (iv) 43
5. li ke sekolah naik sepeda menempuh jarak 706,5 m. Ternyata sebuah roda sepedanya berputar 500 kali untuk sampai ke sekolah. atatan: Gunakan kalkulator untuk membantumu mengerjakan soal di atas. a. Hitunglah panjang jari-jari roda. b. Tentukan keliling roda itu. KEGITN 3. Menghitung Luas Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah-langkah berikut. (i) (ii) Gambar 6.8 a. uatlah lingkaran dengan jari-jari 0 cm. b. agilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian. c. agilah lingkaran tersebut menjadi bagian sama besar dengan cara membuat juring sama besar dengan sudut pusat 30 o (Gambar 6.8 (i)). d. agilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar. e. Gunting lingkaran beserta juring tersebut. f. tur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang, seperti pada Gambar 6.8 (ii) di samping. erdasarkan Gambar 6.8 (ii), diskusikan dengan teman sebangkumu untuk menemukan luas lingkaran. Hasilnya bandingkan dengan uraian berikut. Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar 6.8 (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran 3,40 cm 3,4 cm dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (0 cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 0 cm = luas persegi panjang dengan p = 3,4 cm dan l = 0 cm. = p l = 3,4 cm 0 cm = 34 cm 44 Matematika Konsep dan plikasinya
engan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang r dan lebar r, sehingga diperoleh L rr L r Karena r d, maka L d d 4 L d 4 Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jarijari r atau diameter d adalah L r atau L d 4 (Menumbuhkan kreativitas) arilah 4 buah benda di sekitarmu yang berbentuk lingkaran. Ukurlah keliling benda-benda tersebut menggunakan benang. Kemudian, luruskan benang tersebut pada penggaris untuk memperoleh kelilingnya. engan menggunakan rumus keliling, hitunglah panjang jari-jari atau diameternya. Kemudian, hitunglah luas setiap benda tersebut. Gunakan kalkulator untuk membantu pekerjaanmu. Hitunglah luas lingkaran jika a. jari-jarinya 7 cm; b. diameternya 0 cm. Penyelesaian: a. jari-jari = 7 cm, maka r = 7 L r 7 7 7 54 Jadi, luas lingkaran = 54 cm. b. diameter = 0 cm, maka d = 0 L d 4 3,400 4 3,4 400 4 34 Jadi, luas lingkaran = 34 cm. 45
0 cm Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan panjang jari-jari berikut ini. a. cm d. 70 m b. 5 cm e. 3,5 m c. 49 cm. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan diameter berikut ini. a. 50 m d. 5 cm b.,4 m e. 8 cm c. 35 m 3. Tentukan luas daerah arsiran pada bangun berikut. 4 cm 0 cm (a) (b) 0 cm 7 cm 0 cm 4 cm (c) (d) 4. ua buah lingkaran berjari-jari 5 cm dan 5 cm. Hitunglah perbandingan a. kedua kelilingnya; b. selisih kelilingnya; c. kedua luasnya; d. selisih luasnya. 5. i pusat sebuah kota rencananya akan dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter 56 m. i dalam taman itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran berdiameter 8 m. Jika di luar kolam akan ditanami rumput dengan biaya Rp6.000,00/m, hitunglah seluruh biaya yang harus dikeluarkan untuk menanam rumput tersebut. Sebuah satelit mempunyai kecepatan edar 7.500 km/jam dan mengorbit mengelilingi bumi selama 6 jam dalam satu putaran penuh. Jika jari-jari bumi 6.400 km, tentukan a. panjang lintasan satelit tersebut; b. jarak satelit ke pusat bumi; c. tinggi lintasan satelit dari permukaan bumi. 4. Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Jika Jari-Jari erubah Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) = r d 4 dan keliling (K) = r d. pabila nilai r atau d kita ubah, 46 Matematika Konsep dan plikasinya
maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. agaimana besar perubahan itu? Perhatikan uraian berikut. Misalkan lingkaran berjari-jari r, diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r, dengan r > r. Jika luas lingkaran semula adalah L dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L maka selisih luas kedua lingkaran adalah L L r r r r r rr r Jika keliling lingkaran semula adalah K dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K maka selisih keliling kedua lingkaran adalah K K r r r r Kalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut. L : L r : r r : r dapun perbandingan kelilingnya adalah K : K r :r r : r ari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjarijari r, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r dengan r > r, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut. L L = r rr r K K = r r L : L = r : r (Menumbuhkan inovasi) iskusikan dengan teman sebangkumu. Misalkan lingkaran berjari-jari r diperkecil sehingga jarijarinya menjadi r dengan r < r. Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling kedua lingkaran tersebut. uatlah kesimpulannya. Kemukakan hasilnya secara singkat di depan kelas. K : K = r : r 47
Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari cm dan 4 cm. Penyelesaian: berjari-jari cm, maka r =. berjari-jari 4 cm, maka r = 4. ) Selisih luas L L r rr r 44 6 cm ) Selisih keliling K K r r 4 4 cm ) Perbandingan luas L :L r : r 4 : 6: 4 4: ) Perbandingan keliling K :K r: r 4: : Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. iketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi a. dua kalinya; b. (r + ) cm.. iketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas lingkaran setelah jari-jarinya a. diperbesar tiga kalinya; b. diperkecil kalinya. 48 Matematika Konsep dan plikasinya
3. Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 36 : 64. Hitunglah a. perbandingan keliling kedua lingkaran; b. selisih keliling kedua lingkaran; c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran; d. selisih jari-jari kedua lingkaran. 4. Jari-jari dua buah lingkaran masingmasing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 8 cm, tentukan a. nilai a; b. perbandingan luas dan kelilingnya; c. selisih luas dan kelilingnya.. HUUNGN NTR SUUT PUST, PNJNG USUR, N LUS JURING. Hubungan Sudut Pusat, Panjang usur, dan Luas Juring Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar 6.9 di samping, = adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung disebut busur dan daerah arsiran disebut juring. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran. Untuk menentukan hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring lakukan kegiatan berikut. KEGITN Gambar 6.9 30 o. uatlah lingkaran dengan pusat di berjari-jari 5 cm.. Pada lingkaran tersebut buatlah sudut pusat = 30 o dan = 60 o (Gambar 6.0 (i)). 60 o 3. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan (i) 30 o 60 o (ii) Gambar 6.0 (iii) panjang busur, ukurlah dan dengan menggunakan benang. agaimana hubungan panjang dan? 4. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan luas juring, jiplaklah juring dan potong sekeliling juring. Kemudian ukurlah juring dengan menggunakan juring (Gambar 6.0 (ii) dan (iii)). pakah besar juring dua kali besar juring? 5. Tentukan besar perbandingan antara kedua sudut pusat, panjang kedua busur, dan luas kedua juring. pakah menghasilkan perbandingan yang sama? 49
Jika kegiatan ini kalian lakukan dengan teliti maka akan diperoleh bahwa besar panjang luas juring. besar panjang luas juring Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya. (i) r / Sekarang perhatikan Gambar 6. (i). ari gambar tersebut diperoleh besar panjang luas juring. besar panjang luas juring Sekarang, misalkan = satu putaran penuh = 360 o maka keliling lingkaran = r, dan luas lingkaran = r dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar 6. (ii), sehingga diperoleh (ii) Gambar 6. panjang luas juring o 360 r r engan demikian, diperoleh rumus panjang busur, luas juring, dan luas tembereng pada Gambar 6. adalah panjang busur r 360 luas juring r 360 luas tembereng = luas juring luas. Perhatikan Gambar 6.. iketahui panjang jari-jari = 0 cm. Jika besar = 60 o, hitunglah a. panjang ; b. luas juring ; c. luas tembereng. Penyelesaian: a. Panjang r 360 60 3,40 360 6,8 6 0, 47cm b. luas juring r 360 60 3,40 360 Gambar 6. 50 Matematika Konsep dan plikasinya
34 6 5,33cm c. Karena besar = 60 o, maka sama sisi dengan panjang sisi 0 cm, sehingga s keliling segitiga abc 0 0 0 30 5 luas s sa sb sc 5 5 0 5 0 5 0 5 5 5 5.875 43,30cm luas tembereng = luas juring luas = (5,33 43,30) cm = 9,03 cm.. Menyelesaikan Masalah yang erkaitan dengan Hubungan Sudut Pusat, Panjang usur, dan Luas Juring Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi tersebut. Pelajari contoh berikut. Perhatikan gambar berikut. R Q 45o P Penyelesaian: a. i depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut. besar PQ panjang PQ, sehingga diperoleh besar QR panjang QR Gambar 6.3 5
Pada gambar di atas, diketahui panjang busur PQ = 6,5 cm, panjang busur QR = cm, dan besar PQ = 45 o. a. Hitunglah besar QR. b. Hitunglah panjang jarijari P. c. Tentukan luas juring PQ dan QR. o 45 6,5 besar QR 33 o 45 x o 45 33 x 44 o 44 45 x 60 33 Jadi, besar QR = 60 o. b. besar QR Panjang QR = r o 360 o 60 r o 360 7 r 6 7 67 r Jadi, panjang jari-jari P = cm. c. Luas juring PQ = o 45 o o 60 o o PQ r o 360 360 7 73,5 cm QR Luas juring QR = r o 360 360 7 3 cm Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Pada suatu lingkaran dengan pusat dan = diketahui titik,,, dan pada keliling lingkaran, sehingga = 35 o 4 cm, hitunglah panjang 40o. Jika panjang =. 5 Matematika Konsep dan plikasinya
. Pada gambar di samping, luas juring = 50 cm. Hitunglah 75 a. luas juring PQ; 60 b. jari-jari lingkaran; Q P c. luas lingkaran. 3. Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 0 cm. Hitunglah a. panjang busur di hadapan sudut 30 o ; b. luas juring di hadapan sudut 45 o. 4. Q Pada gambar di samping diketahui panjang P P = 8 cm dan PQ = 7,6 cm. Hitung luas juring PQ. 5. Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut. 45 (a) 6 cm 5 cm 0 cm 60 (b) 6. Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 4 cm. a. 7 o 0 cm b. a. panjang busur besar PQ; b. luas juring besar PQ. P 60 7. R Pada gambar di samping, Q panjang busur 45 o P PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar PQ = 45 o. Hitunglah besar Q QR. 8. Pada gambar di samping, besar PQ = 7 o dan panjang jari-jari P = 0 cm. Hitunglah. SUUT PUST N SUUT KELILING LINGKRN. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwa sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusatnya. dapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran. Pada Gambar 6.4 di samping, dan berpotongan di membentuk sudut pusat, yaitu. dapun tali busur dan berpotongan di titik membentuk sudut keliling. Gambar 6.4 53
Sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur r yang sama, yaitu. Sekarang, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Perhatikan Gambar 6.5. di samping berpusat di titik dan mempunyai jari-jari = = = = r. Misalkan = dan =, maka = +. Perhatikan. pelurus bagi, sehingga = 80 o. Gambar 6.5 segitiga sama kaki, karena = = r, sehingga o 80 = =. Karena = 80 o, maka diperoleh o o 80 (80 ). Sekarang perhatikan. pelurus bagi, sehingga = 80 o. adalah segitiga sama kaki, karena = = r, sehingga 80 8080 engan demikian, besar atau besar = besar. Karena adalah sudut pusat dan adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap, maka dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = besar sudut keliling. 54 Matematika Konsep dan plikasinya
Gambar 6.6 Pada lingkaran di atas, jika = 5 o dan = o, hitung besar. Penyelesaian: merupakan sudut keliling dan merupakan sudut pusat, sehingga diperoleh sudut keliling = + = 5 o + o = 7 o sudut pusat = sudut keliling = 7 o = 54 o. esar Sudut Keliling yang Menghadap iameter Kalian telah mempelajari bahwa besar sudut pusat lingkaran adalah dua kali besar sudut kelilingnya, jika menghadap busur yang sama. agaimana besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran? Perhatikan Gambar 6.7. Sudut pusat menghadap busur. Perhatikan bahwa sudut keliling dan sudut keliling menghadap busur, sehingga diperoleh atau 80 80 90 80 80 90 ari Gambar 6.6 tampak bahwa adalah sudut lurus, sehingga besar = 80 o. esar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90 o (sudut siku-siku). Gambar 6.7 55
iketahui = 65 o dengan diameter lingkaran. Hitunglah besar. Gambar 6.8 65 Penyelesaian: Ruas garis adalah diameter lingkaran. Karena adalah sudut keliling yang menghadap diameter, maka besar = 90 o. Perhatikan bahwa adalah segitiga sama kaki, karena = = r, sehingga = = 65 o. engan demikian diperoleh 9065 5 Karena sama kaki ( = = r), maka = = 5 o. 3. Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap usur yang Sama Untuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, perhatikan Gambar 6.9 di samping. E Gambar 6.9 Pada gambar tersebut adalah sudut pusat yang menghadap =, sedangkan,, dan E adalah sudut keliling yang menghadap. E Jadi, besar = = E. ari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. esar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau sudut pusatnya. 56 Matematika Konsep dan plikasinya
E 60 Gambar 6.0 50 Perhatikan Gambar 6.0. iketahui besar = 50 o dan E = 60 o. Hitunglah besar,, dan. Penyelesaian: ari Gambar 6.0 tampak bahwa dan sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu, sehingga besar = = 50 o. Perhatikan E. = 80 o ( E + E) = 80 o ( E + ) = 80 o (60 o + 50 o ) = 70 o Sudut dan adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu, sehingga besar = = 70 o. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Pada gambar berikut, hitunglah nilai x dan y. x o 80 y o x o (a) (b) x o 35o y o 5 E F. Pada gambar di atas diketahui besar = 0 o. Hitunglah besar a. ; b. ; c.. (c) 57
3. 5. 55 iketahui besar = 5 o dan = 5 o. Hitunglah besar a. ; c. ; b. ; d.. 4. P Pada gambar di samping PR adalah x diameter lingkaran. Hitunglah a. nilai x; x R Q b. besar PRQ. 6. iketahui besar = 55 o. Hitunglah besar a. ; b. sudut refleks ; c. dan. Q P R T S iketahui besar PQR = 48 o dan QRS = 0 o. Hitunglah besar a. PST; c. QTS. b. QPR; E. SEGI EMPT TLI USUR (PENGYN). Pengertian Segi Empat Tali usur gar kalian memahami mengenai segi empat tali busur, perhatikan Gambar 6.. Pada gambar tersebut titik adalah titik pusat lingkaran dan titik,,, serta terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis,,, dan adalah talitali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empat, dan selanjutnya disebut segi empat tali busur. Gambar 6. Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran.. Sifat-Sifat Segi Empat Tali usur Perhatikan Gambar 6.. Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur adalah dengan dan dengan. 58 Matematika Konsep dan plikasinya
Perhatikan sudut keliling dan. engan demikian diperoleh 360 80 Sekarang, perhatikan sudut keliling dan. engan demikian, diperoleh 360 80 Jadi, + = 80 o dan + = 80 o. Gambar 6. Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 80 o. Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.3. Pada gambar di samping, QS adalah diameter lingkaran sekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena QPS dan QRS adalah sudut keliling, maka besar QPS = QRS = 90 o. Segi empat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku. R Q P S Gambar 6.3 59
Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku. Perhatikan Gambar 6.4. K N Gambar 6.4 L M Pada gambar tersebut, KM dan LN adalah diameter lingkaran, KLM dan KNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter KM, sedangkan LKN dan LMN adalah sudut keliling yang menghadap diameter LN. engan demikian, KLM = KNM = LKN = LMN = 90 o. Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya KL // NM, KN // LM, KL = NM, dan KN = LM, dengan KM dan LN adalah diagonal-diagonal segi empat KLMN. engan kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang. Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang. Gambar 6.5 Selanjutnya, bagaimanakah jika kedua diagonal segi empat tali busur merupakan diameter lingkaran dan saling berpotongan tegak lurus? angun apakah yang terbentuk? pakah terbentuk bangun persegi panjang? gar kalian dapat menjawabnya, perhatikan Gambar 6.5. Pada Gambar 6.5, dan adalah diameter lingkaran dengan. Karena,,, dan adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter, besar = = = = 90 o. Sekarang, perhatikan. Jika kita putar sejauh 90 o berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik sebagai titik putar maka diperoleh,,dan. engan demikian, atau. nalog dengan cara di atas, dapat ditunjukkan bahwa, sehingga. engan kata lain, segi empat adalah bangun persegi. Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi. 60 Matematika Konsep dan plikasinya
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Perhatikan gambar di bawah. 4. adalah segi empat tali busur dengan = 80 o dan = 00 o. Tentukan a. besar ; b. besar.. H G 3. 75 o E F Perhatikan gambar di atas. a. Jika EF = 75 o, tentukan besar sudut yang lain. b. pakah jenis FG? c. angun apakah EFGH? Q P 35 o S R Perhatikan gambar di atas. iketahui PR dan QS adalah diameter lingkaran. a. Jika PS = 35 o, tentukan besar sudut yang lain. b. angun apakah PQRS? c. Sebutkan dua pasang segitiga pada segi empat PQRS yang sama dan sebangun. 5. N M K ari gambar di atas, KLMN adalah segi empat tali busur dengan diagonal KM dan LN merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus. a. Tentukan besar semua sudut pada segi empat KLMN. b. angun apakah KLMN? c. Jika panjang jari-jari lingkaran adalah r, tentukan luas segi empat KLMN. E F G Perhatikan gambar di atas. iketahui adalah segi empat tali busur dengan G, H, E, dan F adalah sudut luar segi empat. a. uktikan bahwa besar G =. b. Jika = 80 o, tentukan besar sudut yang lain. L H 6
F. SUUT NTR U TLI USUR (PENGYN) ua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di dalam lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan kedua tali busur itu. gar kalian lebih memahaminya, perhatikan Gambar 6.6 berikut. G E (a) (b) Gambar 6.6 E Pada Gambar 6.6 (a), tali busur dan berpotongan di dalam lingkaran, sedangkan Gambar 6.6 (b) menunjukkan tali busur G dan EF berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran. Pada bagian ini kita akan menentukan besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam atau di luar lingkaran. F H. Sudut ntara ua Tali usur Jika erpotongan i alam Perhatikan Gambar 6.7. dengan pusat di titik dengan titik E adalah titik potong antara tali busur dan. ari gambar tersebut tampak bahwa E, E, E, dan E adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh E Gambar 6.7 perpotongan antara tali busur dan. ari gambar tersebut diperoleh a. adalah sudut keliling yang menghadap busur, sehingga = ; b. adalah sudut keliling yang menghadap busur, sehingga =. Perhatikan bahwa E adalah sudut luar E, sehingga o E = 80 E o o 80 (80 E E) E E 6 Matematika Konsep dan plikasinya
+ nalog dengan cara di atas, maka diperoleh E E E ari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. esar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. R Q T P S Penyelesaian: PTQ PQ RS 6030 95 Gambar 6.8 Pada gambar di atas, diketahui besar PQ = 60 o dan besar RS = 30 o. Tentukan besar PTQ.. Sudut ntara ua Tali usur yang erpotongan i Luar Perhatikan Gambar 6.9 berikut. Titik adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK dan MN adalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, di mana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk KPN. 63
L K Perhatikan bahwa KMN adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga KMN= KN P M N Gambar 6.9 Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM, sehingga MKL= ML Sudut MKL adalah sudut luar KPM, sehingga berlaku MKL = KMN + KPN atau KPN MKL KMN ML KN ML KN ari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. esar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. E Gambar 6.30 Perhatikan Gambar 6.30 di atas. iketahui besar E = 5 o dan besar = 35 o. Tentukan besar. Penyelesaian: E 5 35 5035 85 64 Matematika Konsep dan plikasinya
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Perhatikan gambar di samping. Jika besar = 65 o dan = 40 o, tentukan a. besar E; b. besar E.. E F H 3. S Perhatikan gambar di samping. P Jika besar PQ = R 35 o dan besar Q RS = 50 o, tentukan besar PTQ dan QTR. 4. K L Q M N P G Pada gambar di atas tali busur E dan GF berpotongan di titik H di luar lingkaran. iketahui besar G = 50 o dan EF = 40 o. Tentukan besar HG. Pada gambar di atas diketahui besar NM = 30 o dan KQL = 60 o. Tentukan a. besar KL; b. besar KPL.. Perhatikan gambar di samping. a. Titik disebut pusat lingkaran. b.,,,, dan E disebut jari-jari lingkaran. c. disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran. E F G d. E disebut tali busur, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran. e. Garis lengkung FE disebut busur kecil (pendek), yaitu busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. f. Garis lengkung E disebut busur besar (panjang), yaitu busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran. 65
g. aerah yang dibatasi oleh jari-jari dan serta busur disebut sektor atau juring lingkaran. h. aerah yang dibatasi oleh tali busur E dan busur FE disebut tembereng. i. G tali busur E disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.. Nilai merupakan suatu pendekatan. esar nilai adalah 3,4 atau 7. 3. Rumus keliling lingkaran (K) dengan diameter (d) dan jari-jari (r) sebagai berikut. K d atau K r 4. Rumus luas lingkaran (L) dengan diameter (d) dan jari-jari (r) sebagai berikut. L r atau L d 4 5. ari gambar di samping berlaku sebagai berikut. 6. esar sudut pusat esar sudut satu putaran penuh Panjang busur Luas juring Keliling lingkaran Luas lingkaran besar sudut pusat Panjang busur r. 360 besar sudut pusat Luas juring r. 360 Luas tembereng = luas juring luas segitiga. Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah paham mengenai? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Jika ada materi yang belum kamu pahami, tanyakan pada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. erikan contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran, kemudian selesaikanlah. uatlah laporan dan kemukakan hal ini secara singkat di depan kelas. 66 Matematika Konsep dan plikasinya
Kerjakan di buku tugasmu.. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.. potema ditunjukkan oleh garis... E a. b. c. E d.. Suatu roda berdiameter 63 cm berputar menempuh jarak 98 m. Roda tersebut berputar sebanyak... a. 60 kali c. 00 kali b. 75 kali d. 0 kali 3. Jika = 4 cm maka luas daerah arsiran pada gambar di samping adalah... a. 56 cm c. cm b. 88 cm d. 76 cm 4. Pada gambar di samping besar = 0 o dan 30 o = 30 o. Jika 0 o panjang busur = 44 cm maka panjang busur adalah... a. 5,5 cm c. 9 cm b. 7 cm d. cm 5. 5 cm Jika jari-jari lingkaran di atas 5 cm dan panjang tali busur = 6 cm maka panjang apotema adalah... a. 3 cm c. 4 cm b. 3,5 cm d. 4,5 cm 6. Pada gambar di samping, luas juring P Q PQ = 9,5 cm 45 o dan luas juring RS = 5,33 cm. Jika S R besar PQ = 45 o maka besar RS adalah... a. 90 o c. 35 o b. 0 o d. 50 o 7. Perhatikan gambar di samping. Jika besar = 45 o, panjang = 45 o 4 cm, dan =, luas daerah yang diarsir adalah... a. 55,57 cm c. 57,57 cm b. 55,77 cm d. 57,75 cm 8. S 4 cm 0 o P 70 o R Q Perhatikan gambar di atas. PR adalah garis tengah lingkaran dengan titik pusat. Jika RPQ = 70 o dan PRS = 0 o, besar PRQ dan RPS berturut-turut adalah... a. 90 o dan 0 o c. 0 o dan 70 o b. 0 o dan 90 o d. 0 o dan 80 o 67
9. p E x 5o p Jika = p o, = p o, dan E = 5 o, besar =... a. 7 o c. 5 o b. 34 o d. 68 o 0. Suatu taman bunga berbentuk lingkaran dengan luas.386 m. i sekeliling taman itu setiap 4 meter ditanami pohon cemara. anyak pohon cemara yang dapat ditanam adalah... a. buah c. 44 buah b. 33 buah d. 55 buah. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.. Tentukan keliling dan luas daerah 4 cm yang diarsir pada 8 cm gambar di samping.. 3. Pada lingkaran di atas panjang = 0 cm dan = 5 cm. Jika = 7,5 o, tentukan a. besar ; b. luas juring ; c. luas juring ; d. luas juring besar. E Tiga buah lingkaran saling bersinggungan seperti tampak pada gambar di atas. Jika = = E = E = 3 cm, tentukan 4. a. perbandingan luas lingkaran kecil dan lingkaran besar; b. selisih luas lingkaran kecil dan lingkaran besar; c. perbandingan keliling lingkaran kecil dan lingkaran besar; d. selisih keliling lingkaran kecil dan lingkaran besar. 30 o P S Q R Perhatikan gambar di atas. Jika besar PQR = PRQ maka tentukan besar a. QR; d. RS; b. QPR; e. QRS. c. RS; 5. Sebuah pesawat supersonik mempunyai kecepatan 7.850 km/jam dan beredar mengelilingi bumi dalam satu putaran penuh selama 8 jam. Jika lintasannya berbentuk lingkaran dan jarijari bumi adalah 6.400 km, tentukan a. panjang lintasan pesawat tersebut; b. jarak pesawat ke pusat bumi; c. tinggi lintasan pesawat dari permukaan bumi. 68 Matematika Konsep dan plikasinya