Ruang R n Euclides Pengertian Sebuah vektor di R n, dinyatakan oleh n bilangan terurut, yaitu u=(u 1, u 2,..., u n ) Vektor nol: yaitu vektor yang semua entri-nya nol, misalkan o=(0, 0,..., 0) Dua vektor disebut sama, atau u = v, jika dan hanya jika u 1 =v 1, u 2 =v 2,..., u n =v n {semua entri yang seletak sama} u + v = (u 1 +v 1, u 2 +v 2,..., u n +v n ) {entri yang seletak dijumlahkan} ku = (ku 1, ku 2,..., ku n ) {setiap entri dikalikan dengan skalar} u - v = u + (-v) = u + (-1)v Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar Misalkan u, v, w R n, k, l skalar, berlaku: 1. u + v = v + u {komutatif} 2. (u + v) + w = u + (v + w) {asosiatif} 3. u + o = o + u = u {anggota identitas} 4. u + (-u) = (-u) + u = o {invers anggota} 5. k(u + v) = ku + kv {distributif terhadap skalar} 6. (k+l)u = ku + lu {distributif terhadap skalar} 7. (kl)u = k(lu) {asosiatif perkalian dengan skalar} 8. 1.u = u {perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat di atas nantinya akan diambil sebagai sebuah kebenaran (aksioma) dan ditambah dengan dua aksioma ketertutupan dipakai untuk mendefinisikan ruang vektor 1
Contoh Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4), v=(1, -2, 3, -2, 1, 0), dan w=(5, -8, 2, 3, 4, 5) 1. u + v = tidak terdefinisi {karena u R 5, sedangkan v R 6 } 2. v + w = (1+5,(-2)+(-8),3+2,(-2)+3,1+4, 0+5) =(6, -10, 5, 1, 5, 5) 3. -3u=(-6, 3, -27, -9, -12) 4. 3v - 6w = (3,-6,9,-6,3,0)-(30,-48,12,18,24,30) = (-27,42,-3,-24,21,-30) Hasil Kali Titik Misalkan u, v R n, didefinisikan : u v =u 1 v 1 + u 2 v 2 +...+u n v n {jumlah dari semua hasil kali entri yang seletak} Jika u=(2, -1, 9, 3, 4), v=(1, -2, 3, -2, 1, 0), dan w=(5, -8, 2, 3, 4, 5), maka 1. u v = tidak terdefinisi, {karena u R 5, sedangkan v R 6 } 2. v w = 1.5 + (-2).(-8) + 3.2 + (-2).3 + 1.4 + 0.5 = 5 + 16 + 6 6 + 4 + 0 = 25 Sifat Hasil Kali Titik Misalkan u, v, w R n, k skalar, berlaku: 1. u v = v u {komutatif} 2. u (v + w) = u v + u w {distributif} 3. k(u v) = (ku) v= u (kv) {kehomogenan} 4. u u> 0, jika u o, dan u u = 0, jika u = o {kepositifan} Keempat sifat di atas nantinya akan diambil sebagai kebenaran (aksioma) untuk membentuk definisi hasil kali dalam. Nama lain dari Hasil Kali Titik: Hasil Kali Dalam Euclides 2
Panjang, Sudut, dan Jarak Misalkan u, v R n didefinisikan : 1. Norm/ Panjang: u = (u u) 1/2 {akar dari hasil kali titik dengan dirinya sendiri} 2. Jarak dua vektor: d(u, v)= u v = ((u -v) (u -v)) 1/2 {norm dari u dikurang v} 3. Cosinus sudut u dan v: cos θ = u v, jika u o dan v o u v = 0, jika u=o atau v=o Jika u.v=0, maka vektor u dan v salng tegak lurus atau ortogonal Contoh Misalkan u=(2, -1, 9, 3, 4) dan v=(1, -2, 3, -2, 1). Hitung: u ; d(u, v); cos θ, θ= sudut antara u dan v u =(2.2 + (-1).(-1) + 9.9 + 3.3 + 4.4) 1/2 = (4 + 1 + 81 + 9 + 16) 1/2 = (111) 1/2 d(u, v)= u v = (1,1,6,5,3) =(1.1+1.1+6.6+5.5+3.3) 1/2 = (72) 1/2 u v cos θ = = u v 2+ 2+ 27 6+ 4 = 4+ 1+ 81+ 9+ 16 1+ 4+ 9+ 4+ 1 29 = 111 19 29 2109 Proyeksi Ortogonal Misalkan u, v R n, Vektor u dan v disebut ortogonal (tegak lurus) memenuhi: u v=0 proyeksi ortogonal u pada v adalah: proy v u= u v v v v komponen u yang ortogonal pada v = u -proy v u 3
Contoh Misalkan u=(2, -4, 9, -2, 4) dan v=(1, -2, 0, 2, 3) Proyeksi ortogonal r r v pada u adalah: v u r 2+ 8+ 0 4+ 12 proy u v = r r u = (2, 4,9, 2,4) u u 4+ 16+ 81+ 4+ 16 18 = (2, 4,9, 2,4) 36 (, 72, 162 72 =, 36, ) 121 121 121 121 121 121 1/ 2 1296 + 5184 + 26244 + 1296 + 5184 39204 198 proy u v = 2 = = 121 121 121 Komponen v yang ortogonal pada u = v -proy u v = 36 ( 1, 2,0,2,3) (, 72, 162 72, 36, ) 121 121 121 121 121 85 291 = (, 170,0, 278, ) 121 121 121 121 Tantangan 1 1. Misalkan u=(0,-1,2,3,4), v=(1, 2, -3, 2, 1), dan w=(4,2,1,-3,2) u + (v + w) 3u + 2v u + (2v w) (3v + 2u) - 6w proy u v proy w u komponen w yang ortogonal pada u. proy v u komponen u yang ortogonal pada v Tantangan 2 2. Misalkan u=(0,-1,2,3,4), v=(1,2,-3,2,1), dan w=(4,2,1,-3,2) u + v -2u + 3v u+2v + -4w u + 2v w d(v, w) d(u + v, w) cosinus sudut antara u dan w cosinus sudut antara u + v dan w 4
Tantangan 3 3. Tentukan a, b, dan c, sehingga u = (a, -1, 0, 1) ortogonal pada v=(3,b, 1, -1), dan w=(1, 1, -1, c), begitupun v ortogonal pada w 4. Tentukan k, sehingga sudut antara u = (1,1,-1,1) dan v = (k,1,2k,0) sebesar π/3 Ruang Vektor Definisi Ruang Vektor (1/ 2) Misalkan V himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (dalam hal ini skalar adalah bilangan riil). V disebut ruang vektor, jika memenuhi sepuluh aksioma berikut: 1. Untuk setiap u, v V, berlaku u + v V {tertutup penjumlahan} 2. Untuk setiap u, v V, berlaku u + v = v + u {komutatif} 3. Untuk setiap u, v, w V, berlaku (u + v) +w = u + (v + w) {asosiatif} 4. Ada o V, dan berlaku u + o = o + u = u, untuk setiap u V {anggota identitas penjumlahan} 5. Untuk setiap u V, ada -u V, dan berlaku u +(-u) =(-u)+ u = o {anggota invers penjumlahan} 5
Definisi Ruang Vektor (2/ 2) 6. Untuk setiap u V dan setiap k R, berlaku ku V {tertutup perkalian skalar} 7. Untuk setiap u, v V dan setiap k R, berlaku k(u + v) = ku + kv {distributif perkalian dgn skalar} 8. Untuk setiap u V dan setiap k, l R, berlaku (k+l)u = ku + lu {distributif skalar} 9. Untuk setiap u V dan setiap k, l R, berlaku (kl)u = k(lu) {asosiatif perkalian dengan skalar} 10. Untuk setiap u V, berlaku 1.u = u {perkalian dengan skalar 1} Anggota ruang vektor disebut vektor. Contoh Ruang Vektor 1 Tentunya karena kesepuluh aksioma tersebut diambil dari vektor R n dan matrik M nxm yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang biasa (seperti yang selama ini dipakai), maka R n dan matrik M nxm yang dilengkapi dengan operasi yang biasa adalah ruang vektor Polinom Bentuk umum polinom adalah: a 0 x + a 2 x 2 +...+a n x n, dimana a 0, a 1, a 2,...,a n konstanta riil (disebut koefisien), dan jika a n 0, disebut polinom berderajat n. Operasi yang biasa pada polinom: Misalkan p= a 0 x + a 2 x 2 +...+a n x n, q= b 0 +b 1 x + b 2 x 2 +...+b n x n. p + q = (a 0 + b 0 )+(a 1 + b 1 )x + (a 2 + b 2 )x 2 +...+(a n +b n )x n {koefisien yang seletak dijumlahkan} kp= ka 0 +ka 1 x + ka 2 x 2 +...+ka n x n {setiap koefisien dikalikan konstanta k} Contoh: p = 1 + 2x 3x 2 x 3 + 2x 4 ; q = 5 + 4x 2 + 2x 3 2x 4 p + q = 6 + 2x + x 2 + x 3-3p = -3 6x + 9x 2 + 3x 3 6x 4 6
Bukti Ruang Vektor P n (1/10) Apakah himpunan semua polinom berderajat maksimal n yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang biasa, yang dilambangkan dengan P n, merupakan ruang vektor? 1. Ambil p, q P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n x n p+q=(a 0 +(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n p+q=(a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 +...+(a n +b n )x n {a 0 +b 0, a 1 +b 1, a 2 +b 2,..., a n +b n konstanta riil} p+q P n Bukti Ruang Vektor P n (2/10) 2. Ambil p, q P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n x n p+q=(a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 +...+(a n +b n )x n {sifat komutatif penjumlahan bilangan riil} p+q=(b 0 +a 0 )+(b 1 )x+(b 2 +a 2 )x 2 +...+(b n +a n )x n {sifat distributif bilangan riil} p+q=b 0 +a 0 +b 1 x x+b 2 x 2 +a 2 x 2 +...+b n x n +a n x n {sifat asosiatif bilangan riil} p+q=(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n + (a 0 p+q=q+p Bukti Ruang Vektor P n (3/10) 3. Ambil p,q,r P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n x n, r= c 0 +c 1 x+c 2 x 2 +...+c n x n (p+q)+r=((a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 +...+ (a n +b n ) +(c 0 +c 1 x+c 2 x 2 +...+c n (p+q)+r= a 0 x n + b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+ b n x n + c 0 +c 1 x+c 2 x 2 +...+c n x n {asosiatif bil. riil} (p+q)+r= a 0 x n + (b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+ b n x n + c 0 +c 1 x+c 2 x 2 +...+c n (p+q)+r= a 0 x n +((b 0 +c 0 )+(b 1 +c 1 )x +(b 2 +c 2 )x 2 +...+(b n +c n ) (p+q)+r=p+(q+r) 7
Bukti Ruang Vektor P n (4/10) 4. Ada o P n, yaitu o=0, dan ambil p P n, berarti dapat diuraikan sebagai : p=a 0 x n, o+p=0+a 0 x n =a 0 x n =p p+o= a 0 x n +0 = a 0 x n =p p+o= o+p=p Bukti Ruang Vektor P n (5/10) 5. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan sebagai : p=a 0 x n, ada -p P n, yaitu -p=(-1)(a 0 = -a 0 -a 1 x-a 2 x 2 -...-a n x n p+(-p)=(a 0 +(-a 0 -a 1 x-a 2 x 2 -...-a n {asosiatif dan distributif bil. riil} p+(-p)=(a 0 -a 0 )+(a 1 -a 1 )x+(a 2 -a 2 )x 2 +...+(a n -a n )x n =0=o -p+p=(-a 0 -a 1 x-a 2 x 2 -...-a n +(a 0 {asosiatif dan distributif bil. riil} -p+p=(-a 0 +a 0 )+(-a 1 )x+(-a 2 +a 2 )x 2 +...+(-a n +a n )x n =0=o p+(-p)=-p+p=o Bukti Ruang Vektor P n (6/10) 6. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan sebagai : p=a 0 x n, ambil k R, maka kp=k(a 0 =ka 0 + ka 1 x+ k a 2 x 2 +...+ ka n x n karena ka 0,ka 1,k a 2,..., ka n R, maka kp P n 8
Bukti Ruang Vektor P n (7/10) 7. Ambil p, q P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, q=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n x n ambil k R, maka k(p+q)= k((a 0 + b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 +...+(a n +b n ) k(p+q)=k(a 0 + b 0 )+k(a 1 +b 1 )x+k(a 2 +b 2 )x 2 +...+k(a n +b n )x n k(p+q)= (ka 0 + kb 0 )+(ka 1 +kb 1 )x+(ka 2 +kb 2 )x 2 +...+(ka n +kb n )x n k(p+q)=ka 0 +kb 0 +ka 1 x+kb 1 x+ka 2 x 2 +kb 2 x 2 +...+ka n x n +kb n x n {asosiatif bil. riil} k(p+q)=(ka 0 +ka 1 x+ka 2 x 2 +...+ka n +(kb 0 +kb 1 x+kb 2 x 2 +...+kb n k(p+q)=k(a 0 +k(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b n k(p+q)=kp+kq Bukti Ruang Vektor P n (8/10) 8. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, ambil k, l R, (k+l)p=(k+l)(a 0 (k+l)p=(k+l)a 0 +(k+l)a 1 x+(k+l)a 2 x 2 +...+(k+l)a n x n (k+l)p=ka 0 +la 0 +ka 1 x+la 1 x+ka 2 x 2 +la 2 x 2 +...+ka n x n +la n x n {asosiatif bil. riil} (k+l)p=(ka 0 +ka 1 x+ka 2 x 2 +...+ka n +(la 0 +la 1 x+la 2 x 2 +...+la n (k+l)p=k(a 0 + l(a 0 (k+l)p=kp+ lp Bukti Ruang Vektor P n (9/10) 9. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n, ambil k, l R, (kl)p=(kl)(a 0 (kl)p=(kl)a 0 +(kl)a 1 x+(kl)a 2 x 2 +...+(kl)a n x n {asosiatif bil. riil} (kl)p=k(la 0 )+k(la 1 )x+k(la 2 )x 2 +...+k(la n )x n (kl)p=k(lp) 9
Bukti Ruang Vektor P n (10/10) 10. Ambil p P n, berarti dapat diuraikan: p=a 0 x n 1.p =1.(a 0 {sifat bilangan riil dikali satu} 1.p= a 0 x n 1.p=p P n ruang vektor Contoh Ruang Vektor 3 O={o} yang dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar yang biasa, termasuk ruang vektor, karena memenuhi sepuluh aksioma ruang vektor. Bukti: o + o = o O. o + o = o + o = o (o + o) + o = o + (o + o) = o ada o O, yang bersifat o + o = o + o = o jika o O, maka selalu ada o=o O, sehingga o + (-o) = -o + o = o ko=o O k(o + o) = ko + ko = o + o = o (k+l)o=ko + lo = o (kl)o = k(lo)= o 1.o = o Contoh Bukan Ruang Vektor Jika V himpunan semua vektor di R 3, dengan operasi penjumlahan u+v=(u 1 +v 2, u 2 +v 1, u 3 +v 3 ), sedangkan perkalian dengan skalar ku=(ku 1, ku 2, ku 3 ). Dari definisi V, terlihat yang tidak biasa adalah operasi penjumlahan pada entri pertama dan kedua, secara intuisi kemungkinan kegagalan aksioma ruang vektor adalah disini, karena itu dicari contoh penyangkal yang mendukung intuisi ini. Contoh penyangkal: a=(2, 3, -1) dan b=(4, 2, 4) a+b=(2+2, 3+4, (-1)+4)=(4, 7, 3) b+a=(4+3, 2+2, (-1)+4)=(7, 4, 3) Karena a+b b+a, berarti tidak memenuhi aksioma ke 2, yaitu aksioma komutatif 10
Tantangan 1 Untuk masing-masing soal di bawah ini, tunjukkan ruang vektor atau jika bukan ruang vektor berikan contoh penyangkalnya. 1. Misalkan V himpunan semua vektor di R 3 dengan operasi yang didefinisikan sebagai: untuk u=(u 1, u 2, u 3 ) dan v=(v 1, v 2, v 3 ), maka u+v=(u 1 +v 1, u 2 +2v 2, u 3 +v 3 ), sedangkan ku=(ku 1, ku 2, ku 3 ). 2. Misalkan V himpunan semua vektor di R 3 dengan operasi yang didefinisikan sebagai: untuk u =(u 1, u 2, u 3 ) dan v=(v 1, v 2, v 3 ), maka u+v=(u 1 +v 1, u 2 +v 2, u 3 +v 3 ), sedangkan ku=(u 1, u 2, ku 3 ). 3. Misalkan V himpunan vektor di R 3, yang mempunyai bentuk u=(u 1, u 2, u 3 ), dengan syarat 2 u 1 +u 2 +u 3 = 0, dengan kedua operasi yang biasa di vektor R 3 Tantangan 2 4. Misalkan V himpunan vektor di R 3, yang mempunyai bentuk u=(u 1, u 2, u 3 ), dengan syarat u 1 +u 2 +u 3 = 2, dengan kedua operasi yang biasa di vektor R 3. 5. Misalkan V himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen, AX=O, dengan A berordo nxn, dengan operasi yang biasa pada R n 6. Misalkan V himpunan semua vektor pada ax + by + cz = 0, dengan operasi yang biasa di R 3. 7. Misalkan V himpunan semua vektor pada bidang ax + by + cz = 2, dengan operasi yang biasa di R 3 Sub Ruang 11
Definisi Sub Ruang Misalkan V ruang vektor. U V dan U. U disebut sub ruang dari V jika U ruang vektor dibawah operasi yang sama dengan di V. Kenyataan bahwa setiap anggota U juga anggota V menyebabkan aksioma (2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10) yang dipenuhi di V juga dipenuhi di U dan juga dikarenakan U ruang vektor maka dapatlah dipenuhi aksioma ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Dari kenyataan ini didapat kesimpulan: Teorema: Misalkan V ruang vektor. U V, dan U. U sub ruang dari V jika dan hanya jika dipenuhi dua aksioma: 1. u, v U, maka u+v U (tertutup thdp operasi penjumlahan) 2. u U, k R maka ku U (tertutup thdp operasi perkalian dgn skalar) Contoh Sub Ruang 1 1. Apakah ruang nol, O, merupakan sub ruang? Bukti: 1. Ada o O, O 2. Ambil u, v O, berarti u=o dan v=o, akibatnya u+v=o+o=o u+v O 3. Ambil u O, berarti u=o, akibatnya ku=ko=o, ku O Jadi O merupakan sub ruang dari setiap ruang vektor yang melingkupinya Contoh Sub Ruang 2 2. Misalkan U himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen AX=O, dengan A berordo nxn dan tetap. Tunjukkan bahwa U sub ruang R n. Bukti: 1. Ada vektor nol, O, sehingga AO = O. Jadi, U. 2. Ambil X 1, X 2 U, berarti memenuhi AX 1 =O dan AX 2 =O. Akan ditunjukkan bahwa X 1 +X 2 U, berarti A(X 1 +X 2 )=O. A(X 1 +X 2 )=AX 1 +AX 2 {sifat distributif perkalian matrik} A(X 1 +X 2 )=O+O=O {karena AX 1 =O dan AX 2 =O} Jadi, X 1 +X 2 U 3. Ambil X 1 U, berarti memenuhi AX 1 =O. Akan ditunjukkan kx 1 U, berarti A(kX 1 )=O. A(kX 1 )=k(ax 1 ) {sifat asosiatif perkalian matrik} A(kX 1 )=ko=o {karena AX 1 =O} Jadi, kx 1 U U sub ruang dari ruang vektor R n 12
Contoh Sub Ruang 3 3. Apakah U={(x, y, z) R 3 xy=0} dengan operasi yang biasa di R 3 merupakan sub ruang R 3? Jawab: u=(-1, 0, 3) U, karena (-1).0 = 0 v=(0, 2,-4) U, karena 0.2=0 Tetapi u+v=(-1, 2,1) dan (-1).2 =-2 0, berarti u+v U Jadi, U bukan sub ruang R 3 Tantangan 3 Untuk masing-masing soal di bawah ini, tunjukkan sub ruang dari ruang vektor yang sesuai atau berikan contoh penyangkal yang menyatakan bukan sub ruang. 1. Misalkan U himpunan semua vektor di R 3, yang mempunyai bentuk u=(u 1, u 2, u 3 ), dengan syarat u 2 +u 3 =0. 2. Misalkan U himpunan semua vektor di R n yang memenuhi sistem persamaan linier AX=B, dengan A berordo nxn dan merupakan matrik konstan, B berordo nx1 dan merupakan matrik konstan. 3. Misalkan U himpunan semua vektor yang terletak pada bidang 2x 3y + 4z = 0. Tantangan 4 4. Misalkan U himpunan semua vektor yang terletak pada garis x=2t, y=-t, z=t. 5. Misalkan U himpunan semua polinom di P 2, yang mempunyai bentuk u=a 0 x 2, dengan syarat a 0 =0 dan a 1 -a 2 =0 6. Misalkan U himpunan semua vektor di R 3 yang memenuhi syarat x+2y=1. 7. Misalkan U himpunan semua vektor di M 22 dengan syarat ab=0. 13