LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
Logika dan Logika Matematika Logika ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang valid Penalaran deduktif dan penalaran induktif Penalaran diungkapkan dalam bahasa (kalimatkalimat) Logika mempelajari kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia Logika matematika (logika simbol) logika yang menggunakan bahasa matematika (lambanglambang atau simbol-simbol) Ringkas, univalent dan universal
Pernyataan dan Proposisi Pernyataan Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah). Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan primer / pernyataan tunggal / pernyataan atom, sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya
Permainan Gajah lebih besar daripada tikus. Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? YA YA BENAR
Permainan 520 < 111 Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? YA YA SALAH
Permainan y > 5 Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka. YA TIDAK
Permainan Sekarang tahun 2011 dan 99 < 5 Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? YA YA SALAH
Permainan Tolong untuk tidak tidur selama kuliah Apakah ini sebuah pernyataan? TIDAK Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.
Permainan x < y jika dan hanya jika y > x. Apakah ini pernyataan? Apakah ini proposisi? karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? YA YA BENAR
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r,. Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah alumnus UGM. r : 2 + 2 = 4
Mengkombinasikan Proposisi Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction): p dan q Notasi p q, 2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p q 3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: p p dan q disebut proposisi atomik Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition)
Contoh Proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
Tabel Kebenaran p q p q p q p q p q T T T T T T T F T F F T F T F T F T F F T T F F F F F F Contoh. Misalkan p : 17 adalah bilangan prima (benar) q : bilangan prima selalu ganjil (salah) p q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah)
Hukum-hukum Logika Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi. 1. Hukum identitas: p F p p T p 3. Hukum negasi: p ~p T p ~p F 5. Hukum involusi (negasi ganda): ~(~p) p 2. Hukum null/dominasi: p F F p T T 4. Hukum idempoten: p p p p p p 6. Hukum penyerapan (absorpsi): p (p q) p p (p q) p
7. Hukum komutatif: p q q p p q q p 9. Hukum distributif: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 8. Hukum asosiatif: p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 10. Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
TAUTOLOGI Tautologi adalah suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap penggantian peubahnya dengan sebarang pernyataan. Suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai salah untuk setiap perngantian peubahnya dengan sebarang pernyataan disebut Kontradiksi Bila penggantian peubah-peubah itu dengan pernyataan dapat menghasilkan pernyataan yang benar atau pernyataan yang salah, maka bentuk itu disebut Kontingensi
TAUTOLOGI Pembuktian Tautologi : 1. Dengan Tabel Kebenaran Bentuk pernyataan majemuk adalah tautologi bila kolom terakhir dari daftar kebenarannya berisi nilai 1 semua 2. Bentuk pernyataan majemuk diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk yang dikenal sebagai Tautologi 3. Khusus untuk bentuk pernyataan majemuk yang berupa suatu ekuivalensi Salah satu rupanya diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk dari ruas lainnya.
Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus Contoh. p ~(p q) adalah sebuah tautologi p q p q ~(p q) p ~(p q) T T T F T T F F T T F T F T T F F F T T
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
Dua buah proposisi majemuk, P(p, q,..) dan Q(p, q,..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik. Notasi: P(p, q, ) Q(p, q, ) Contoh. Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q. p q p q ~ (p q) ~ p ~q ~ p ~ q T T T F F F F T F F T F T T F T F T T F T F F F T T T T
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus Conto. (p q) ~(p q) adalah sebuah kontradiksi p q p q p q ~(p q) (p q) ~(p q) T T T F F F T F F T F F F T F T F F F F F F T F
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
PERNYATAAN BERKUANTOR Suatu kalimat terbuka akan diubah menjadi pernyataan bila semua peubahnya diganti dengan konstanta dari semesta pembicaraannya. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan ialah dengan memakai kuantor (dari kata quantity yang berarti banyaknya ). Ada dua macam kuantor, yaitu: a. Kuantor Universal, lambangnya : b. Kuantor Eksistensial, lambangnya :
PERNYATAAN BERKUANTOR Kalimat terbuka P(x) akan berubah menjadi pernyataan apabila di depannya ditambahkan suatu kuantor, sbb: ( x ). P (x), yang dibaca : Semesta pembicaraan: Bilangan Asli Untuk setiap x, x adalah bilangan positif. Setiap ( semua) x adalah bilangan positif. Ini adalah pernyataan yang bernilai benar. ( x ). P ( x ), yang dibaca : Semesta: Bilangan Bulat Terdapatlah x sedemikian sehingga x adalah bilangan positif ( Terdapat disini berarti sekurang kurangnya ada satu ). Ini adalah pernyataan yang bernilai benar.
Bila suatu kalimat terbuka memuat lebih dari satu peubah, maka untuk mengubahnya menjadi pernyataan setiap peubahnya harus diberi kuantor. Banyaknya kuantor yang dibutuhkan di depan kalimat terbuka harus sama dengan banyaknya peubah agar kalimat terbuka itu berubah menjadi peryataan.
Misalnya suatu kalimat terbuka yang memuat dua buah peubah x dan y disajikan dengan lambang P(x,y) Jika mendapatkan tambahan kuantor menjadi : ( x ). P(x,y) ( y ). P(x, y) ( x ). P(x,y) ( y ). P(x,y) Semuanya masih tetap merupakan kalimat terbuka. Peubah yang diberi kuantor disebut peubah terikat, sedangkan peubah yang tidak diberi kuantor disebut peubah bebas.
Sedangkan bentuk-bentuk: ( x ) ( y ). P(x,y). ( x ) ( y ). P(x,y) ( x) ( y ). P(x,y). ( x ) ( y ). P(x,y) Semuanya merupakan pernyataan.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor Ingkaran dari suatu peryataan berkuantor dapat dinyatakan dengan lambang logika berikut ini: ( x) P( x) ( x) P( x) ( x) P( x) ( x) P( x) Menyatakan bahwa Tidak semua manusia pandai sama dengan menyatakan bahwa : Ada manusia yang tidak pandai Dengan P(x) adalah lambang untuk x adalah pandai Demikian pula : Mengatakan bahwa Tidak ada manusia yang pandai Sama dengan mengatakan bahwa : Semua manusia tidak pandai Dengan perkataan lain kedua peryataan tersebut adalah ekuivalen
Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian
Validitas pembuktian Validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran Bentuk kebenaran yang digeluti matematikawan adalah kebenaran relatif Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah Menentukan validitas argumen dengan tabel kebenaran tidaklah selalu praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional Bentuk agumen yang paling sederhana dan klasik Modus ponens dan Modus tolens
Modus Ponen Premis 1 : p q Premis 2 : p Konklusi : q Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang menggunakan tanda untuk menyatakan konklusi, seperti p q, p q) Contoh : Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar) Premis 2 : Saya belajar (benar) Konklusi : Saya lulus ujian (benar) Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen
Modus Tolen Premis 1 : p q Premis 2 : ~ q Konklusi : ~ p Contoh : Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar) Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar) Konklusi : Hari tidak hujan (benar) Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.
Silogisma Premis 1 Premis 2 Konklusi : p q : q r : p r Contoh : Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B) Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B) Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)
Silogisma Disjungtif Premis 1 : p q Premis 2 : ~ q Konklusi : p Jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid Premis 1 : p q Premis 2 : q Konklusi : ~ p Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid. Contoh : 1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B) Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B) Konklusi : Pengalaman ini membosankan (B) 2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B) Premis 2 : Air ini panas (B) Konklusi : Air ini tidak dingin (B) 3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu Premis 2 : Obyek ini berwarna merah Konklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)
Konjungsi Premis 1 : p Premis 2 : q Konklusi : p q Artinya : p benar, q benar. Maka p q benar.
Tambahan (Addition) Premis 1 : p Konklusi : p q Artinya : p benar, maka p q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).
Dilema Konstruktif Premis 1 : (p q) (r s) Premis 2 : p r Konklusi : q s Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen). Contoh : Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja. Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang. Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.
Dilema Destruktif Premis 1 : (p q) (r s) Premis 2 : ~ q ~ s Konklusi : ~ p ~ r Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen). Contoh : Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembak mati Premis 2 : Aku tidak akan ditembak mati atau digantung. Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut