Metode Numerik Roosenberg

Metode Numerik Roosenberg Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Prodi S1 Pendikan Matematika UMT email: rukmono.budi.u@students.itb.ac.id May 4, 2016

Metode Numerik Roosenberg Metode Numerik Roosenberg Algoritma Roosenberg Contoh Penyelesaian Masalah Optimisasi dengan Roosenberg Penyelesaian Dengan Analitik Biografi Author

Metode Numerik Roosenberg Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x 1, x 2 } R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X )

Metode Numerik Roosenberg Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x 1, x 2 } R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X ) Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode aksial,stepest Descent,Hook and Jeeve, Arah Konjugasi atau atau Newton 2

Metode Numerik Roosenberg Metode Numerik Roosenberg merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x 1, x 2 } R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X ) Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode aksial,stepest Descent,Hook and Jeeve, Arah Konjugasi atau atau Newton 2 Tentu saja setiap metode numerik memilki algoritma yang berbeda dengan kecepatan tingkat efektivitas pencarian O (Big Oh)yang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda pula

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2 Tetapkan ɛ > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2 Tetapkan ɛ > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi Tentukan arah pencarian direction d 1 = (1, 0) dan d 2 = (0, 1)

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2 Tetapkan ɛ > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi Tentukan arah pencarian direction d 1 = (1, 0) dan d 2 = (0, 1) Cari λ k dengan cara λ k = minz(x k + λ k d k )

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2 Tetapkan ɛ > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi Tentukan arah pencarian direction d 1 = (1, 0) dan d 2 = (0, 1) Cari λ k dengan cara λ k = minz(x k + λ k d k ) nilai X k+1 ditentukan dengan X k+1 = X k + d k

Algoritma Roosenberg Algoritma Algoritma Roosenberg dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) dan akan ditentukan nilai X = {x 1.x 2 } yang meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2 Tetapkan ɛ > 0 suatu konstanta postif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi Tentukan arah pencarian direction d 1 = (1, 0) dan d 2 = (0, 1) Cari λ k dengan cara λ k = minz(x k + λ k d k ) nilai X k+1 ditentukan dengan X k+1 = X k + d k Iterasi stop ketika norm X k+1 X k < ɛ

lanjutan Perlu diperhatikan bahwa tidak seperti metode aksial dengan d k = (1, 0) untuk arah ganjil dan d 2k = (0, 1) untuk arah genap, dalam metode Roosenberg ini d 2k+1 = untuk k ganjil dan d 2k = b k b k untuk k genap b k b k

lanjutan Perlu diperhatikan bahwa tidak seperti metode aksial dengan d k = (1, 0) untuk arah ganjil dan d 2k = (0, 1) untuk arah genap, dalam metode Roosenberg ini d 2k+1 = untuk k ganjil dan d 2k = Dengan b k = λ k d k + λ k+1 d k+1 b k b k untuk k genap b k b k

Contoh Penggunaan Roosenberg Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dengan menggunakan metode Roosenberg dengan toleransi kesalahan ɛ = 0.01 Solusi Ambil sembarang titik awal X 1 = {0, 1} R 2

Contoh Penggunaan Roosenberg Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dengan menggunakan metode Roosenberg dengan toleransi kesalahan ɛ = 0.01 Solusi Ambil sembarang titik awal X 1 = {0, 1} R 2 Arah pencarian d 1 = (1, 0) dan d 2 = (0, 1) serta ɛ = 0.01

Contoh Penggunaan Roosenberg Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dengan menggunakan metode Roosenberg dengan toleransi kesalahan ɛ = 0.01 Solusi Ambil sembarang titik awal X 1 = {0, 1} R 2 Arah pencarian d 1 = (1, 0) dan d 2 = (0, 1) serta ɛ = 0.01 nilai λ 1 dapat dicari sebagai berikut λ 1 = min Z ( X 1 + λ 1 d 1 ) = min Z ((0, 1) + λ 1 (1, 0)) = min Z (λ 1, 1)

lanjutan Derivatifkan Z(0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ 1 = 3 4. Berdasarkan hal tersebut ( ) 3 X 2 = X 1 + λ 1 d 1 = 4, 1

lanjutan Derivatifkan Z(0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ 1 = 3 4. Berdasarkan hal tersebut ( ) 3 X 2 = X 1 + λ 1 d 1 = 4, 1 karena norm X 2 X 1 = 3 4 dilanjutkan > 0.01 = ɛ,maka iterasi

lanjutan Derivatifkan Z(0, 1) dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ 1 = 3 4. Berdasarkan hal tersebut ( ) 3 X 2 = X 1 + λ 1 d 1 = 4, 1 karena norm X 2 X 1 = 3 4 > 0.01 = ɛ,maka iterasi dilanjutkan Dengan cara serupa diperoleh λ 2 = 1 2 dan X 3 = { 3 4, 1 2 } dengan norm X 3 X 2 = 1 2 > 0.01 = ɛ, jadi iterasi dilanjutkan

lanjutan Untuk mencari X 4, diperlukan d 3 dan nilai d 3 disini adalah 0 (Dapat dicek dengan d 2k+1 = b k b k ) dan apabila dicari nilai d 4 diperoleh nilai d 4 = ( 2 3 13, 13 ). Hal ini dapat dicek dengan d 2k = b k b k

lanjutan Untuk mencari X 4, diperlukan d 3 dan nilai d 3 disini adalah 0 (Dapat dicek dengan d 2k+1 = b k b k ) dan apabila dicari nilai d 4 diperoleh nilai d 4 = ( 2 3 13, 13 ). Hal ini dapat dicek dengan d 2k = b k b k Dengan demikian nilai X 4 adalah X 4 = ( 3 4, 1 2 )

lanjutan Untuk mencari X 4, diperlukan d 3 dan nilai d 3 disini adalah 0 (Dapat dicek dengan d 2k+1 = b k b k ) dan apabila dicari nilai d 4 diperoleh nilai d 4 = ( 2 3 13, 13 ). Hal ini dapat dicek dengan d 2k = b k b k Dengan demikian nilai X 4 adalah X 4 = ( 3 4, 1 2 ) Dengan norm X 4 X 3 = 0 < 0.01 = ɛ, iterasi stop.

lanjutan Untuk mencari X 4, diperlukan d 3 dan nilai d 3 disini adalah 0 (Dapat dicek dengan d 2k+1 = b k b k ) dan apabila dicari nilai d 4 diperoleh nilai d 4 = ( 2 3 13, 13 ). Hal ini dapat dicek dengan d 2k = b k b k Dengan demikian nilai X 4 adalah X 4 = ( 3 4, 1 2 ) Dengan norm X 4 X 3 = 0 < 0.01 = ɛ, iterasi stop. Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai X yang meminimalkan fungsi Z dalam soal ini adalah X 4 = { 3 4, 1 2 }

lanjutan Untuk mencari X 4, diperlukan d 3 dan nilai d 3 disini adalah 0 (Dapat dicek dengan d 2k+1 = b k b k ) dan apabila dicari nilai d 4 diperoleh nilai d 4 = ( 2 3 13, 13 ). Hal ini dapat dicek dengan d 2k = b k b k Dengan demikian nilai X 4 adalah X 4 = ( 3 4, 1 2 ) Dengan norm X 4 X 3 = 0 < 0.01 = ɛ, iterasi stop. Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai X yang meminimalkan fungsi Z dalam soal ini adalah X 4 = { 3 4, 1 2 } Catatan Perlu diperhatikan bahwa, karena norm X 4 X 3 = 0 < 0.01 = ɛhal ini mengindikasikan kesalahan perhitungan numerik eror ɛ = 0 yang mengindikasikan bahwa solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya.

Penyelesaian Dengan Analitik Diketahu Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) tersebut

Penyelesaian Dengan Analitik Diketahu Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Solusi Z x 1 = 4x 1 3; Z x 2 = 2x 2 1

Penyelesaian Dengan Analitik Diketahu Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Solusi Z = 4x 1 3; Z = 2x 2 1 x 1 x 2 Karena Z X 1 = 0 dan juga kerena Z X 2 = 0, maka diperoleh x 1 = 3 4 dan x 2 = 1 2

Penyelesaian Dengan Analitik Diketahu Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Solusi Karena Z X 1 dan x 2 = 1 2 lebih lanjut Z = 4x 1 3; Z = 2x 2 1 x 1 x 2 = 0 dan juga kerena Z X 2 = 0, maka diperoleh x 1 = 3 4 2 Z x 1 2 = 4; 2 Z x 2 2 = 2

Penyelesaian Dengan Analitik Diketahu Z(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 + x 2 2 3x 1 x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimumkan fungsi Z = F (x 1, x 2 ) tersebut Solusi Karena Z X 1 dan x 2 = 1 2 lebih lanjut Z = 4x 1 3; Z = 2x 2 1 x 1 x 2 = 0 dan juga kerena Z X 2 = 0, maka diperoleh x 1 = 3 4 2 Z x 1 2 = 4; 2 Z x 2 2 = 2

lanjutan karena 2 Z = 4 > 0 dan 2 Z ( 2 Z ) ( 2 Z x1 2 x1 2 x1 2 x 1 x 2 ) 2 = 8 > 0, maka terbukti bahwa titik { 3 4, 1 2 } merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = {x 1, x 2 } dalam soal ini. Q.E.D

Sekilas Tentang Penulis Rukmono Budi Utomo lahir di Tangerang, 26 September 1991 dan merupakan anak ke-2 dari 2 bersaudara. Penulis menamatkan sekolah antara lain: S1 Matematika Undip (2013) S2 Matematika UGM (2015) Saat ini penulis merupakan dosen di prodi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang (UMT) sekaligus mahasiswa program Doktoral Matematika ITB. Kontak : 085741511571, email:rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id