BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Integer 2.1.1 Definisi Program Integer Program Integer adalah program linier (Linear Programming) di mana variabelvariabelnya bertipe integer(bulat). Program Integerdigunakan untuk memodelkanpermasalahan yang variabel-variabelnya tidak mungkin berupa bilangan yang tidak bulat (bilangan riil), seperti variabel yang merepresentasikan jumlah orang atau benda,karena jumlah orang atau benda pasti bulat dan tidak mungkin berupa pecahan. Program Integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu permasalahan karena program linier dengan variabel berupa bilangan riil kurang baik dalammemodelkan permasalahan yang menuntut solusi berupa bilangan integer, misalnya variabel-variabel keputusannya jumlah cabang Bank di daerah berbeda di suatu Negara. Solusi pecahan tentu tidak dapat diterima dalam keputusan Bank. Program Integermerupakan bentuk khusus atau variasi dari program linier, di mana salah satu atau lebih dalam vektor penyelesaiannya memiliki nilai integer.program Integer yang membatasi variabel keputusan pada sebagian saja yang dibatasi pada nilai integer disebut Program IntegerCampuran (Susi, Astuti H. 1999). Pokok pikiran utama dalam Program Integer adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika.. Pada masalah Program Integer untuk pola memaksimumkan, nilai tujuan dari Program Integer tidak akan pernah melebihi nilai tujuan dari program linier (Wahyujati, Ajie. 2009).
2.1.2 Jenis-Jenis Program Integer Terdapat tiga jenis Program Integer, yaitu sebagai berikut: 1. Program Integer Murni (Pure Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif. 2. Program Integer Campuran (Mixed Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki beberapa, tetapi tidak semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif. 3. Program Integer Biner (Zero One Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1. Bentuk umum dari masalah Program Integer Murni adalah sebagai berikut(susanta, B. 1994): Menentukan x j, j= 1, 2,..., n n Maksimumkan atau Minimumkan:Z = j=1 c Kendala: untuk j=1,2,,n di mana: a j x j = b x j 0dan x j εbilangan bulat 2.1 Z = fungsi sasaran atau fungsi tujuan x j = variabel keputusan c j = koefisien fungsi tujuan a j = koefisien kendala b = nilai ruas kanan j x j Bentuk 2.1 di atas merupakan bentuk umum dari Program Integer Murni. Jika dari bentuk 2.1 di atas x j bilangan bulat, untuk j= 1,2,...,k dengan k n, maka dinamakan bentuk umum dari Program Integer Campuran (Mixed Integer
Programming).Program Integer Campuran merupakan Program Integer tapi variabel keputusannya tidak semua merupakan bilangan bulat ada variabel keputusan yang bernilai pecahan (Yamit, Zulian. 1991). Bentuk umum dari masalah Program Integer Biner adalah sebagai berikut: n Maksimum atau Mininimum: Z = j=1 c j x j Kendala: n j=1 a j x j = b j= 1, 2,, n x j 0dan x j ε{0, 1} 2.2 2.1.3 Sifat Umum Program Integer Semua persoalan Program Integer mempunyai empat sifat umum yaitu, sebagai berikut (Susanta, B. 1994): 1. Fungsi Tujuan (objective function) Persoalan Program Integer bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan pada umumnya berupa laba atau biaya sebagai hasil yang optimal. 2. Adanya kendala atau batasan (constrains) yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran dapat dicapai. Oleh karena itu, untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu kuantitas fungsi tujuan bergantung kepada sumber daya yang jumlahnya terbatas. 3. Harus ada beberapa alternatif solusi layak yang dapat dipilih. 4. Tujuan dan batasan dalam permasalahan Program Integer harus dinyatakan dalam hubungan dengan pertidaksamaan atau persamaan linier. 2.1.4 Metode-Metode dalamprogram Integer
Algoritma atau Metode yang cukup baik untuk memberikan solusi dalam Program Integeryaitu: 1. Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound) Cara ini mula-mula dipakai untuk menyelesaikan program bilangan bulat. Ternyata cara ini tidak saja hanya dapat digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga dapat digunakan untuk program matematika yang lain. Menurut (Taha, H.A.2007),untuk melaksanakan teknikpencabangan dan pembatasan (Branch and Bound) ada dua operasi dasar, yaitu: a. Pencabangan (Branching) Pencabangan merupakan langkah yang dilakukan pada persoalan yang tidak integer menjadi subpersoalan yang integer. b. Pembatasan (Bounding) Pembatasan merupakan pembatasan setiap subpersoalan yang dibuat dengan pencabangan.batas ini penting untuk tingkatan jawaboptimal dari subpersoalan dan penemuan jawab optimal bilangan bulat. Teknik pencabangan dan pembatasan (Branch and Bound) mencari solusi optimal dari suatu persoalanprogram Integerdenganmenumerasi titik-titik dalam daerah fisibel dari suatu subpersoalan. Keuntungan dari cara pencabangan dan pembatasanadalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban layak (fisibel), sedangkan kerugian cara ini adalah akan mencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum. Langkah-langkah Metode Branch and Bound: 1. Pembatasan(Bound) Pada algoritma branch and bound terdapat dua batas yaitu batas atas (upper bound) dan batas bawah (lower bound). 2. Pencabangan(Branching) Pencabangan dilakukan jika masih terdapat variabel keputusan yang harus bernilai bulat namun memiliki solusi yang tidak bulat. Pencabangan dilakukan dengan cara menambahkan pembatas pada masalah asli.
Penambahan pembatas ini ditujukan untuk membuat variabel keputusan ang belum bernilai integersupaya bernilai integer. 3. Penghentian pencabangan(fathoming) Pencabangan atau pencarian solusi pada suatu submasalah dihentikan jika: a. Infeasible atau tidak mempunyai daerah layak. b. Semua variabel keputusan yang harus bernilai bulat sudah bernilai bulat. c. Pada masalah maksimisasi, penghentian pencabangan pada suatu submasalah dilakukan jika batas atas dari submasalah tersebut tidak lebih besar atau sama dengan batas bawah. d. Pada masalah minimisasi penghentian pencabangan pada suatu submasalah dilakukan jika batas bawah tidak lebih lebih kecil atau sama dengan batas atas. 2. Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane) Pendekatan yang dilakukan dalam teknik pemotonganbidang datar (Cutting Plane) adalah denganmembuat pembatas tambahan yang memotong ruang layak dari program linier sehingga dapat mengeliminasi solusi yang tidak integer. Proses pemotongan akan terus berlangsung sehingga diperoleh jawaban dengan seluruh variabel (yang dikehendaki) berharga bilangan bulat (integer). Keberhasilan teknikini sangat terbatas, bergantung pada struktur persoalan yang dihadapi. Artinya hanya persoalan tertentu yang dapat diselesaikan dengan teknik ini. Karena itu, sekarang teknik ini hampir tidak pernah digunakan lagi. Kelemahan dari algoritma pemotongan bidang datar adalah kesalahankesalahan pada pembulatanyang dilakukan dalam perhitungan dapat menghasilkanjawaban bilangan bulat yang salah. Selanjutnya jawaban dari persoalan masih belum fisibel berarti tidak ada jawaban bilangan bulat yang diperoleh sampaijawaban bilangan bulat yang optimal dicapai tadi,dan ini berarti bahwa tidak ada jawaban integer yang baik jika perhitungan dihentikan lebih awal sebelum mencapai hasil jawaban yang optimal. Langkah-langkah Metode Cutting Plane:
1. Selesaikan masalah Program Integerdengan Metode Simpleks. 2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai bulat, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecahan, lanjut langkah 3. 3. Buatlah suatu skala gomory dan cari solusi optimum dengan dual Simpleks. 3. Metode Balas Egon Balas mengembangkan satu cara atau algoritma untuk menyelesaikan problema program bilangan cacah nol-satu (0-1). Pendekatan yang digunakan ialah pendekatan enumerasi, baik yang total maupun implisit, terhadap setiap kombinasi variabel yang diatur sama dengan 0 dan 1. Kombinasi 0 dan 1 yang memenuhi semua kendala dan meminimumkan fungsi tujuan dinyatakan sebagai jawaban optimal (Benjamin, Lev dan Weiss, Howard J. 1982). Kalau terdapat sejumlah n variabel, maka ada 2 n kombinasi yang mungkin. Tetapi, sangatlah sulit untuk memeriksa semua 2 n kombinasi variabel yang memenuhi semua kendala. Oleh karena itu, diperlukan suatu prosedur yang secara sistematis mampu memeriksa hanya sebagian dari semua kombinasi yang ada, sebelum mencapai satu jawaban optimal. Inilah yang disebut sebagai enumerasi implisit (Taha H.A.2007). Prosedur pokok dari cara enumerasi implisit ini dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. Dimulai dengan mengatur semua variabel sama dengan 0. 2. Tetapkan secara sistematis variabel tertentu untuk dijadikan berharga 1 hingga ditemukan jawaban layak. 3. Periksa dengan cermat kombinasi mana yang bisa dikembangkan hingga dapat dijadikan sebagai jawaban optimal. Bentuk umum Metode Balas (Martello Silvano, Psinger, David dan Toth, Paolo. 2000):
n MinimumkanZ = j=1 cj x j Kendala: a j x j b 2.3 di mana: Z c j x j = fungsi tujuan atau fungsi objektif. =variabel dan koefisien keputusan. untuk j=1,2,,n x j 0 dan x j ε{0, 1} Kondisi yang tidak mengikuti bentuk umum dari Metode Balas akan dilakukan beberapa perubahan, antara lain: 1. Fungsi objektif yang setiap variabel x j mempunyai nilai koefisien negatif, untuk variabel x j diganti menjadi (1 - x j ). 2. Kendala dengan bentuk pertidaksamaan, kendala ini akan diubah ke dalam bentuk pertidaksamaan dengan cara mengalikan ruas kiri dan kanan dengan (-1). Adapun sistematika cara Balas adalah sebagai berikut: 1. Tetapkan: S= {1, 2,..., n} S c = Ø Z min = 10 10 2. Hitung Z = iεs c i x i Beberapa dari x i ditetapkan berharga 0. 3. Hitung tiap kendala Q i (i = 1, 2,..., n) dengan menggunakan variabel dalam S c dengan harga-harga yang telah ditetapkan ditambah dengan variabel dalam S yang masing-masing himpunan sama dengan 0. Jika tiap kendala layak, maka harga variabel yang digunakan untuk menghitung kendala membentuk suatu jawab layak. Misalkan K merupakan himpunan kendala yang tidak layak. 4. Bila Khimpunan kosong, maka teruskan ke langkah 12, kalau tidak teruskan ke langkah 5. 5. Tetapkan: B = Z min Z
6. Pilih variabel dalam S yang mempunyai kesempatan yang membuat semua kendala menjadi layak, yaitu misalkan T himpunan variabel dalam S yang mempunyai: a. Koefisien positif dalam beberapa kendala dalam K. b. Koefisien fungsi tujuan <B. Kendala yang tidak terpenuhi hanya dapat dibuat lebih tidak layak dengan menetapkan harga 1 terhadap variabel dengan koefisien negatif dalam kendala, jadi hanya variabel dengan koefisien positif dalam kendala yang diketahui yang mempunyai kesempatan membuat kendala jadi layak ( 0). Begitu juga, suatu variabel x k dalam S sedemikian hingga: Z = C i x i + C k Z min iεs tidak termasuk dalam S karena jawab layak yang bersesuaian dengan Z min sekurang-kurangnya sudah cukup bagus. 7. Bila T himpunan kosong, teruskan ke langkah 14 kalau tidak teruskan ke langkah 8. 8. Untuk setiap kendala dalam K, tetapkan harga 1 bagi variabel bebas dalam T yang mempunyai koefisien positif dalam kendala yang diketahui. Tetapkan variabel dalam S c sama dengan harga yang sudah ditentukan. 9. Bila masih ada dari kendala tetap tidak dipenuhi, maka terus ke langkah 11 kalau tidak terus ke langkah 10. 10. Pindahkan dari S c dan tambahkan ke S variabel dalam T yang meminimumkan jarak total dari kelayakan untuk seluruh kendala. Proses ini digarap dalam langkah a sampai c. a. Hitung tiap kendala Q i (i = 1,..., n) untuk tiap variabel, misalkan x k dalam T dengan menggunakan variabel S c dengan harga yang telah ditetapkan, x k = 1 dan tiap variabel S yang tersisa samakan dengan 0. b. Harga absolut dari hasil negatif adalah solusi yang dikembangkan menjadi layak. c. Pindahkan dari S dan tambahkan ke S c variabel dalam T yang mempunyai jarak terkecil dari kelayakan. Kemudian kembali ke langkah 2.
11. Kalau S c kosong, teruskan kelangkah 21. Kalau tidak, tidak ada jawab parsial layak yang disajikan oleh S mempunyai harga yang lebih kecil dari Z min,teruskan ke langkah 16. 12. Variabel dalam S c dengan harga yang sudah ditetapan, bersama-sama dengan variabel dalam S yang ditetapkan sama dengan 0, membentuk jawab yang lengkap. Terus ke langkah 13. 13. Bila Z < Z min. Maka terus ke langkah 14, kalau bukan maka terus kelangkah 15. 14. Buat Z min = Z. Simpan dulu jawab lengkap ini dan terus ke langkah 15. 15. Jajakan ulang Bila S c kosong maka jawaban layak x i = 0 (i = 1, 2,..., n) adalah optimal, lalu terus ke langkah 20. Bila tidak, terus kelangkah 16. 16. Bila anggota terakhir dalam S c negatif, terus kelangkah 18, kalau tidak terus kelangkah 17. Anggota terkanan dalam S adalah anggota terakhir dalam S c. 17. Jadikan anggota terakhir (paling kanan) dalam S c negatif dan kembali kelangkah 2. Variabel yang bersesuaian dengan anggota terakhir telah ditetapkan berharga 1 (indeks yang sesuai dalam S c sudah positif). Sekarang kita menetapkan variabel jadi 0 (ubah tanda anggota terakhir dalam S c menjadi negatif). 18. Bila semua anggota dalams c bertanda negatif, maka jawab optimal telah ditemukan sehingga terus kelangkah 20,kalau belum terus kelangkah 19. 19. Jadikan anggota positif terkanan dalam S c menjadi negatif dan pindahkan anggota yang sisa kesebelah kanan dalam S c. Tambahkan anggota yang sudah keluar, masuk kedalam S. kembali kelangkah 2. 20. Jawab lengkap sesuai dengan Z min adalah optimal. Bila Z min = 10 10 maka jawaban optimal tidak ada. 21. Tidak ada jawab optimal untuk problemnya. 2.2Knapsack 2.2.1 Definisi Knapsack
Knapsack adalah tas atau karung yang digunakan untuk memasukan sesuatu, tetapi tidak semua barang dapat ditampung dalam karung tersebut. Karung tersebut hanya dapat menampung beberapa objek dengan total ukuran atau beratnya lebih kecil atau sama dengan kapasitas karung. 2.2.2 Permasalahan Knapsack Permasalahan knapsack adalah permasalahan program linier yang hanya memiliki satu kendala. Program Integer merupakan salah satu bentuk program linier dengan penambahan syarat bahwa semua variabel keputusan bernilai bulat (integer). Permasalahan knapsack bilangan bulat adalah permasalahan program bilangan bulat yang hanya memiliki satu kendala. Salah satu dari banyak benda akan dimasukan ke dalam suatu benda yang berkapasitas. Masing-masing benda memiliki harga dan berat yang mana akan dimasukan untuk mendapatkan hasil maksimum (Martello Silvano, Psinger, David dan Toth, Paolo. 2000). Sebagai contoh, misalnya perusahaan properti dalam menggunakan modalnya dalam 1 tahun untuk pembelian barang. Tujuan dari perusahaan yaitu mencari keuntungan optimal selama setahun dan banyaknya barang. Harga dasar digunakan sebagai kendala, sedangkan keuntungan barang sebagai fungsi tujuan. Pada masalah ini diasumsikan persediaan barang sebelumnya habis terjual. Jika variabel keputusan mewakili banyaknya pembelian dari kelompok barang, maka jawaban berupa pecahan tidak tepat dalam menyelesaikan masalah. Jadi diperlukan penambahan syarat yaitu syarat yang menyatakan variabel-variabel yang harus bernilai bulat. 2.2.3 Jenis-Jenis PermasalahanKnapsack Terdapat tiga jenis permasalahan pada Knapsack berdasarkan kasus yang ingin dibahas, yaitu: 1. Permasalahan Knapsack untuk bidang transportasi Permasalahan Knapsack untuk bidang transportasi merupakan suatu permasalahan yang sering dihadapi oleh perusahaan dalam pengiriman dan pengelolaan barang. Permasalahan ini sering juga terjadi pada media transportasi ketika akan mengangkut banyak barang, di mana berat barang yang diangkut tersebut tidak boleh melebihi kapasitas limit daya tampung
media transportasi tersebut, dan diharapkan dari pengangkutan barang tersebut didapatkan profit atau keuntungan yang semaksimal mungkin. 2. Permasalahan Knapsackatau permasalahan ransel Permasalahan Knapsack itu sendiri merupakan persoalan yang menarik di mana dihadapkan dengan persoalan optimasi pemilihan pemasukan benda ke dalam wadah yang memiliki keterbatasan ruang dan daya tampung di mana benda yang dimasukan harus dalam keadaan utuh. Masing-masing benda yang ada di dalam memiliki sebuah nilai yang memiliki berat, harga dan lain-lain sebagai penentu dalam proses pemilihan. Pada akhir proses diinginkan memiliki solusi optimum dengan benda yang ada di dalamnya. 3. Permasalahan Knapsack untuk bidang investasi Permasalahan Knapsack untuk bidang investasi yaitu di mana seorang investor akan menginvestasikan uangnya kepada berbagai perusahaan untuk mendapatkan keuntungan maksimum, dari hasil keuntungan tersebut di mana investor akan menentukan perusahaan mana yang lebih memberikan untung yang besar kepadanya (dipilih) dibandingkan dengan perusahaan lain (tidak dipilih). 2.2.4 Jenis-Jenis Knapsack Permasalan Knapsack memiliki tiga jenis persoalan, yaitu: 1. Knapsack0-1 Sesuatu yang dimasukkan ke dalam karung dimensinya harus dimasukkan semua atau tidak sama sekali. 2. KnapsackBounded Sesuatu yang dimasukkan ke dalam karung dimensinya bisa dimasukkan sebagaian atau seluruhnya. 3. KnapsackUnbounded Setiap barang tersedia lebih dari satu unit, jumlahnya tidak terbatas. 4. Fractional Knapsack Problem Barang boleh dibawa sebagian saja (unit dalam pecahan). 2.2.5 Model Knapsack
Bagian terpenting dari penelitian adalah bagaimana menerjemahkanpermasalahan sehari-hari ke dalam model matematis. Faktor-faktor yangmempengaruhi pemodelan harus disederhanakan dan apabila ada data yangkurang, kekurangan tersebut dapat diasumsikan atau diisi dengan pendekatan yangbersifat rasional. Permasalahan knapsack bilangan bulat merupakan permasalahan programbilangan bulat yang memiliki satu kendala tunggal, sehingga pada modelnyaditambahkan batasan untuk variabel keputusan yang dihasilkan harus bernilai bulat (integer).karena permasalahan knapsack bilangan bulat merupakan permasalahanprogram linier bilangan bulat, maka dalam model matematika dapat ditulissebagai berikut: n Maksimum atau Minimum Z = j=1 c j x j Kendala: n j=1 a j x j = b x j 0 dan x j εbilangan bulat 2.4 di mana: Z = nilai optimal dari fungsi tujuan c j = keuntungan barang-j, dengan j= 1, 2,,n b = besar sumber daya yang tersedia x j = banyaknya barang jenis ke-j BAB 3