KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas linier Dapat mencari basis dari suatu SPL Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 2 Page 2
Independensi Linier Basis & Dimensi RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 3
Surabaya, 3 September 2012 4 Tulis di papan Page 4
Merentang = spanning Surabaya, 3 September 2012 5 Page 5
Surabaya, 3 September 2012 6 Page 6
Kombinasi Linier (k.l): w k.l. S = {v 1, v 2, v 3,., v r } jika w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r k 1, k 2, k 3,., k r terdefinisi /ada nilainya Independensi Linier: S = {v 1, v 2, v 3,., v r } disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 adalah solusi trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 7
Independensi Linier: S = {v 1, v 2, v 3,., v r } disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen Dependensi Linier: k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 adalah solusi trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 S = {v 1, v 2, v 3,., v r } disebut himpunan tidak-bebas linier / bergantung linier (linearly dependent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 adalah solusi non-trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 dan ada k j 0 (j = 1.. r) RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 8
Diketahui : himpunan S = {v 1, v 2, v 3,., v r } Ditanyakan: apakah S linearly independent atau linearly dependent? Jawab: 1. Bentuk SPL Homogen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3. + k r v r = 0 2. Tentukan solusinya 3. Jika solusinya trivial k 1, k 2, k 3,., k r = 0 maka S linearly independent 4. Jika solusinya non-trivial maka S linearly dependent RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 9
RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 10
Ex. 6 hal 235 Surabaya, 3 September 2012 11 Page 11
ex. 2 hal 232 Surabaya, 3 September 2012 12 Page 12
Ex. 3 hal 233 Surabaya, 3 September 2012 13 Page 13
Surabaya, 3 September 2012 14 Page 14
Ex. 4 hal 233 Surabaya, 3 September 2012 15 Page 15
Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 16 Page 16
Basis: V adalah Ruang Vektor S = { v 1, v 2, v 3,, v n } di mana v 1, v 2, v 3,, v n V maka S disebut Basis dari V jika 1. S linearly independent 2. S merupakan rentang (span) dari V RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 17
Basis: V adalah Ruang Vektor S = { v 1, v 2, v 3,, v n } di mana v 1, v 2, v 3,, v n V maka S disebut Basis dari V jika 1. S linearly independent 2. S merupakan rentang (span) dari V V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n) Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut berdimensi tak-hingga Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 18
Surabaya, 3 September 2012 19 Page 19
Surabaya, 3 September 2012 20 Page 20
Surabaya, 3 September 2012 21 bilqis Page 21
Surabaya, 3 September 2012 22 Page 22
Basis Untuk Ruang jawab SPL (1) Surabaya, 3 September 2012 23 Page 23
Surabaya, 3 September 2012 24 Page 24
Surabaya, 3 September 2012 25 Page 25
Surabaya, 3 September 2012 26 Page 26
27
Basis Untuk Ruang jawab SPL (2) Contoh: Tentukan basis dan dimensi untuk ruang jawab dari SPL berikut: Penyelesaian: X1+2X2+7X3 9X4 +31X5 = 0 2X1+4X2+7X3 11X4 +34X5= 0 3X1+6X2+5X3 11X4 +29x5 = 0 Matriks eselon: 1 2 7 9 31 0 0 1 1 4 0 0 0 0 0 Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 28 Page 28
Variabeltakbebasx1 danx3 x 2 = t 1 x 4 = t 2 x 5 = t 3 x 3 = t 2 4t 3 x 1 = -2t 1 + 2t 2 3t 3 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (-2t 1 + 2t 2 3t 3, t 1, t 2 4t 3, t 2, t 3 ) = t 1 (-2,1,0,0,0) + t 2 (2,0,1,1,0) + t 3 (-3,0,-4,0,1) Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 29 Page 29
Sehingga didapatkan : u u 1 2 = ( 2,1,0,0,0) = (2, 0,1,1, 0) u 3 = ( 3, 0, 4, 0,1) Basis dari RUANG JAWAB Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 30 Page 30
Dimensi: V adalah Ruang Vektor S={v1,v2,v3,, vn} basisdariv DimensidariV=n(banyaknyavektordiS) Contoh(1): Dari jawaban SPL soal sebelumnya: u u u 1 2 3 = ( 2,1,0,0,0) = (2, 0,1,1, 0) = ( 3, 0, 4, 0,1) Dimensi dari ruang jawab tersebut = 3 (karena terdiri dari 3 vektor) RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 31
Contoh(2): tentukan dimensi dan basis dari SPL berikut : 2X1 + 2X2 - X3 + X5 = 0 -X1 - X2+2X3 3X4 +X5 = 0 X1 + X2-2X3 X5 = 0 X3 + X4 + x5 = 0 Penyelesaian: dengan melakukan OBE dan lain-lain didapatkan penyelesaian:x1 = - s -t,x2 = s,x3 = -t, X4 = 0,X5 = t Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 32 Page 32
Sehingga vektor penyelesaian bisa dituliskan : 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5 4 3 2 1 + = + = = sehingga t s t t t s s t t s t s x x x x x RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 33 2 dim 1 0 1 0 1 _ 0 0 0 1 1 = = = ensi basis merupakan maka linier bebas saling karena jawab ruang span v dan u
Surabaya, 3 September 2012 34 Page 34
Surabaya, 3 September 2012 35 Page 35
Teorema Independensi Linear Teorema 1: a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya. b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya. Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 36 Page 36
Teorema Independensi Linear Teorema 2: a. Jika semua himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linear. b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas linear jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya. Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 37 Page 37
Teorema Independensi Linear Teorema 3: Misalkan S = {v 1, v 2,..., v r } adalah himpunan vektor-vektor pada R n. Jika r>n, maka S tak bebas linear. Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 38 Page 38
Exercises Surabaya, 3 September 2012 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM 39 Page 39