(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Muru, M.Pd. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. Diberikan titik A(,,) B(,,). Carilah persamaan vektor suatu garis ang: (a) melalui O A; (b) melalui B sejajar dengan OA ; (c) melalui A sejajar dengan OB ; (d) melalui A B.. Diberikan titik A(,,), B(,,), C(,, ): (a) Carilah persamaan vektor garis-garis ang memuat sisi-sisi ABC; (b) Carilah persamaan vektor garis ang melalui A sejajar dengan BC ; (c) Carilah persamaan vektor garis ang melalui B sejajar dengan CA ; (d) Carilah persamaan vektor garis ang melalui C sejajar dengan AB.. Diberikan titik-titik A(,,), B(,,9), C(9,,) garis g dengan persamaan: 6 g. Selidikilah: apakah A, B, C g?. Gambar berikut merupakan visualisasi dari sebuah limas beraturan T.ABCD. AB = OT = sp. C D. Carilah persamaan vektor dari big-big ang melalui titik-titik: (a) O(,,), A(,,), B(,,); (b) D(,,), E(,,), F(,); (c) G(,,), H(,,), I(,,). Apakah keistimewaan big-ght? 6. Carilah persamaan vektor dari big ang melalui A(,,), memuat vektor-vektor: a b. O T B A (a) Jika P merupakan titik tengah TB, carilah persamaan vektor garis OP ; (b) Carilah persamaan vektor garis ang memuat TD! (c) Kemukakan pendapatmu tentang OP TD! (d) Jika Q, R, S berturut-turut titik-titik tengah dari AB, AD, DT, carilah persamaan vektor dari PQ RS! (e) Kemukakan pendapatmu tentang PQ RS 7. Carilah persamaan vektor dari big ang: (a) melalui garis-garis g h ; (b) melalui titik (,,) memuat garis k. Written b Mur&u, halaman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK / 8. Lukiskan sebuah kubus ABCD.EFGH ang memiliki ukuran rusuk sp., sedemikian, sehingga D=O (pusat sistem koordinat siku-siku), sumbu- memuat DA, sumbu- memuat DC, sumbu- memuat DH. Carilah persamaan vektor dari: (a) big-sisi- ABFE big-sisi-efgh; (b) big-diagonal-abgh big-diagonal-acge; (c) big-afh big BEG. 9. Selidikilah! Apakah titik-titik A(,, ) B( 7,,) terletak pada big:?. Selidikilah! Apakah titik-titik A(,, ), B(,, ), C(,,), D(,,) terletak pada satu big?. Selidikilah! Apakah garis-garis: g, h, k, sejajar dengan big?. Tunjukkanlah bahwa garis 7 g terletak pada big!. Selidikilah! Apakah garis-garis 6 m n menembus big tersebut, carilah koordinat-koordinat titik tembusna!? Apabila kedua garis tersebut menembus big. Carilah koordinat-koordinat titik tembus sumbu-, sumbu-, sumbu- dengan big 6!. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB, BC, GH, EH. Ukuran rusuk kubus tersebut a sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Carilah persamaan vektor dari big- ang melalui P, Q, R, S; (b) Carilah koordinat-koordinat titik potong big- dengan AE CG. (c) K AE BE. Tunjukkanlah bahwa KG big-. Written b Mur&u, halaman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK / 6. Vektor-vektor a b a a b b adalah vektor-vektor arah sebuah big-, vektor- a b c d vektor c c d d adalah vektor-vektor arah sebuah big-. Rumuskanlah ciri c d kesejajaran antara big- big- dengan menggunakan determinan. 7. Selidikilah! Apakah pasangan-pasangan big berikut sejajar ataukah berpotongan: (a) ; (b) 8 7 6 ; (c). 8. Tunjukkanlah bahwa big-big berikut berimpit:! 9. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp.. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari (b) AB, EH, AD, BC. Tunjukkanlah bahwa: (a) BH big PDE ; PQ big RSH ; (c) big-dgq big-asf.. Carilah persamaan vektor dari garis ang merupakan perpotongan antara big-big. Carilah persamaan vektor dari garis ang merupakang perpotongan antara big 6 dengan big-big koordinat XOY, XOZ, YOZ.. Diberikan titik-titik A(,,), B(,,), C(,, ). (a) Carilah persamaan vektor big- ang melalui A, B, C; (b) Carilah persamaan vektor big- ang melalui titik P(,,) sejajar dengan big- ; (c) Carilah persamaan vektor garis-garis ang merupakan perpotongan antara big-xoz big-, big-xoz big- ; (d) Tunjukkan kedua garis tersebut saling sejajar.! Written b Mur&u, halaman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. Diketahui big- melalui garis-garis: g h 8, big- melalui titik-titik O(,,), A(6,,), B(,,). Carilah persamaan vektor dari garis ang merupakan perpotongan antara big- big-!. Big- memuat garis k garis-garis ang sejejar dengan sumbu-. Carilah persamaan vektor big- persamaan vektor garis potong ang merupakan perpotongan antara big- big XOY.. Hitunglah cosinus dari sudut antara pasangan-pasangan garis berikut: (a) g h ; (b) m n. 6. Garis k melalui titik-titik A(,8,) B(, 7,); garis j melalui titik-titik C( 9, 7,) D(6,,). (a) Apakah kedua garis tersebut berpotongan? (b) Apabila kedua garis tersebut: () Tentukanlah m (j,k); () Carilah koordinat dari E = j k. 7. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk sp. P adalah titik tengah AB Q BG CF. Pilihlah sebuah sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Hitunglah cosinus dari: () m (DF, DP ) ; () m (DF, DG ) ; () m (DF, EC ) ; (b) Buktikan bahwa DF menilang tegaklurus, masing-masing dengan BE, BG, EG. 8. Carilah persamaan vektor garis-garis ang melalui titik (,,), sejajar dengan big-xoz, membentuk sudut berukuran dengan garis k. 9. Diketahui sebuah garis g big (a) Selidikilah! Apakah g big-?; (b) Big- sumbu- = A, A h, h big-. Carilah persamaan vektor dari garis h!; (c) Jelaskan hubungan antara g h!. Diketahui big- big- garis g. Buktikanlah: g g.. Carilah persamaan vektor big- ang melalui A(,,) tegaklurus dengan garis k tentukan koordinat dari B = big- k.. Written b Mur&u, halaman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. (a) Carilah persamaan vektor garis m ang melalui titik B(,,7) memotong tegaklurus garis n ; (b) Tentukanlah koordinat S = m n; (c) Tentukan m BS!. Buktikanlah, bahwa dalam kubus ABCD.EFGH: (a) AG big BDE ; (b) AG big CFH.. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah EF. Pilih D berimpit dengan pusat sistem koordinat siku-siku. (a) Carilah persamaan vektor big- ang melalui P tegaklurus dengan DF ; (b) Carilah persamaan vektor garis ang merupakan perpotongan antara big- big BCGF.. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk big alas sp., ukuran garis tinggina m OT sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku dengan OT berimpit dengan sumbu-. (a) Carilah persamaan vektor big- ang melalui D tegaklurus dengan TB! ; (b) Tentukan koordinat titik potong big- dengan TB!; (c) Carilah persamaan vektor garis-potong antara big- big-abt! 6. Tentukanlah ukuran sudut antara garis g big- ang memiliki persamaan-persamaan vektor berikut: (a) g 8 ; (b) g ; (c) g 8 7 8. 7. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah FG Q AH DE. (a) Tentukan m (DF, big BDG ) ; (b) Tentukan m (BQ, big ACGE ). 8. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD, dengan ukuran rusuk big alas tinggina sp. O AC BD P adalah titik tengah CT. (a) Tentukanlah m (BP, big BDT ) ; (b) Tentukanlah m (BT, big BDP ). 9. Hitunglah cos m (, ) ang persamaan-persamaan vektorna diberikan berikut: (a) ; Written b Mur&u, halaman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK / (b) ; (c).. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P, Q, R berturut-turut merupakan titik-titik tengah dari AB, AE, BC. Tentukanlah: (a) m (big-dpe, big-dpf); (b) cos m (big- HQR, big-abc) ; (c) m (big-hqr, big-adh); (d) m (big-hqr, big-dcg).. Lukislah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk big alas tinggina sp. (a) Carilah persamaan vektor big- ang melalui B tegaklurus DT ; (b) Hitunglah cos m (big-, big-dpf); (c) Tentukanlah koordinat titik potong antara DT bigvektor garis potong antara big- big-bct. ; (d) Carilah persamaan. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. (a) EF terletak pada big- ang tegaklurus terhadap big-dbe; (b) Carilah persamaan vektor tiap garis potong ang merupakan perpotongan antara big- big-big koordinat; (c) adalah ukuran sudut antara big- XOY proeksi EF pada big DBE. Tentukanlah sin! Written b Mur&u, halaman 6
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK / A. PERMUKAAN PUTAR f (, ). Sebuah kurva pada big-xoz diwakili oleh persamaan. Buktikan bahwa jika > sebuah persamaan permukaan ang diperoleh dengan memutar kurva tersebut mengelilingi sumbu- adalah f,.. Buktikan, bahwa f, adalah sebuah persamaan permukaan ang diperoleh dengan memutar kurva ang persamaanna diandaikan bahwa >. f (, ) mengelilingi sumbu-, jika. Tentukanlah persamaan permukaan ang diperoleh dengan memutar kurva ang mengelilingi sumbu ang ditunjukkan, kemudian lukiskan permukaan tersebut! a) 6, sumbu- g) sin, sumbu- b) 6, sumbu- h) cos, sumbu- c) 6, sumbu- i) e, sumbu- d) 9 6, sumbu- j) 6, sumbu- e) 9 6, sumbu- k) 6, sumbu- f), sumbu- l), sumbu- B. PERMUKAAN SILINDER DAN KERUCUT Lukislah permukaan silinder, kerucut, atau sebuah permukaan putar ang dituliskan persamaanna berikut (pilihlah sumbu putarna). + = 6. =. =. = 6. = sin 6. = e 7. = 9 8. = cosh 9. = tg. =. + =. = sinh. 9 = 6. 6 =. = 6 6. = cos 7. 9 + = 6 8. + = 9. 9 = 6. 9 =. = 6. + = 6. + = 6. + 6 =. = 7. + =. + = 7. + = Written b Mur&u, halaman 7
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. + 6 = 8. =. = 8. + 9 = 6. = 9. + =. = 9. =. + = 6. 9 + 9 =. + =. = 6 C. BOLA. Tentukan persamaan bola dengan pusat jari-jarina diberikan berikut: a) Bola A(,,), ) b) Bola(O(,,), 6) c) Bola(B(,, ), ) d) Bola(C(,,), ). Tentukan pusat jari-jari bola-bola berikut! a) Bola + + + 6 = b) Bola + + + 6 = c) Bola + + + = d) Bola + + + 7 + = e) Bola + + 6 + 6 = e) Bola(D(,, ), ) f) Bola(E(,,), ). Diameter sebuah bola adalah ruasgaris dengan ujung-ujung (,, ) (,,7) Tentukan persamaan bola tersebut!. Sebuah bola melalui titik-titik (,,), (,,), (,, ). Pusat bola tersebut terletak pada big + =. Tentukan persamaan bola tersebut!. Sebuah bola melalui titik-titik (,,), (,,). Pusat bola tersebut terletak pada garis + 6 = =. Tentukan persamaan bola tersebut! 6. Sebuah bola berpusat di titik (,,) meninggung big + 7 =. Tentukan persamaan bola tersebut! 7. Sebuah bola berpusat di titik (,, ) meninggung big 7 = pada titik (,, ). Tentukan persamaan bola tersebut! 8. Sebuah bola melalui titik-titik (,,), (,,). Pusat bola tersebut terletak pada garis = + = +. Tentukan persamaan bola tersebut! 9. Sebuah bola meninggung big + + = berpusat di titik (,,). Tentukan persamaan bola tersebut! D. ELLIPSOIDA. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) + + 6 = b) 9 + + = 6 c) 6 + 9 + = d) + + 9 = 6 e) + 9 + 9 = 8 f) + 9 + = g) + + = h) + + = Written b Mur&u, halaman 8
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK /. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva sumbu putarna dituliskan berikut! a) 9 6 ; sumbu putarna sumbu- b) 9 6 ; sumbu putarna sumbu- c) ; sumbu putarna sumbu- d) ; sumbu putarna sumbu- e) 6 ; sumbu putarna sumbu- f) 6 ; sumbu putarna sumbu- g) ; sumbu putarna sumbu- h) 6 ; sumbu putarna sumbu- E. PARABOLOIDA ELLIPTIK. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) + 9 = d) + 7 = b) 9 + = 6 e) + 8 = c) + = f) + 9 = 7. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva sumbu putarna dituliskan berikut! a) 6 ; sumbu putarna sumbu- b) 6 ; sumbu putarna sumbu- c) d) e) 9 ; sumbu putarna sumbu- 9 ; sumbu putarna sumbu- ; sumbu putarna sumbu- Written b Mur&u, halaman 9
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK / f) g) h) 6 ; sumbu putarna sumbu- 9 ; sumbu putarna sumbu- ; sumbu putarna sumbu- F. HIPERBOLOIDA. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) + 9 9 = 6 b) 6 6 + 9 = c) + 9 = 6 d) 9 + 6 = e) 6 + 9 = 6 f) + 6 = g) + 9 = 6 h) 6 = 6 i) + + 6 = j) 9 6 + = k) + + = l) + 9 + 7 =. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva sumbu putarna dituliskan berikut! a) ; sumbu putarna sumbu- b) 9 ; sumbu putarna sumbu- c) 9 6 ; sumbu putarna sumbu- d) 6 ; sumbu putarna sumbu- e) ; sumbu putarna sumbu- f) ; sumbu putarna sumbu- g) ; sumbu putarna sumbu- h) ; sumbu putarna sumbu- Written b Mur&u, halaman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK / G. PARABOLOIDA HIPERBOLIK Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) 9 = b) 6 + = c) = d) 6 9 = e) = f) = H. PERMUKAAN YANG DIBENTUK OLEH GARIS-GARIS LURUS Selidikilah tiap-tiap permukaan ang dibentuk oleh garis-garis lurus berikut!. =. 9 =. 9 + = 6. + 9 = Written b Mur&u, halaman