Samplig Process ad Samplig Distributio Iferece : Poit ad Iterval Estimates Pertemua 1
CAKUPAN MATERI: Pemahama tetag Samplig Sampel Acak Sederhaa (Simple Radom Samplig SRS) Estimasi Titik (Poit Estimatio) Distribusi Samplig utuk Rata-rata Distribusi Samplig utuk Proporsi Sifat Peaksir (estimator) Titik Estimasi Iterval (Iterval Estimatio) Meguji ketepata samplig
PENGANTAR Populasi adalah seluruh obyek yag diteliti Megumpulka iformasi dari populasi disebut sesus, dari sii diperoleh parameter Samplig megumpulka iformasi dari sebagia usur populasi diperoleh statistik Samplig diguaka utuk meduga karakteristik dari populasi 3
INFERENSIA STATISTIK Tujua dari iferesia statistik adalah utuk memperoleh iformasi tetag populasi berdasarka iformasi sampel. Hasil dari sampel adalah ilai estimasi dari karakteristik populasi. Dega metode samplig yag sesuai/tepat, sampel yag terpilih adaka meghasil estimator yag baik megeai karakteristik populasi. 4
INFERENSIA STATISTIK (L) Iferesi Statistik meliputi: 1. Estimasi Parameter, terdiri dari: Estimasi Titik (Poit Estimatio), yaitu suatu ilai dari sampel sebagai estimator parameter Estimasi Iterval (Iterval Estimatio), yaitu suatu iterval yag dega tigkat kepercayaa tertetu memuat ilai parameter.. Pegujia Hipotesis 5
PENGGUNAAN SAMPLING Pegujia produk Dalam proses pemeriksaa / audit : Pemiliha uit yag aka diperiksa Pemiliha trasaksi yag aka diperiksa Pemiliha karyawa yag aka diiterview dalam pegujia iteral kotrol Pegujia perilaku kosume Peelitia teoritis, sampel diguaka utuk membuat geeralisasi 6
Metode Samplig Metode yag diguaka utuk megambil sampel dari populasi yag ada dua yaitu : radom samplig / probability samplig o radom samplig / judgmet samplig Tidak ada cara yag terbaik Cara yag cocok utuk pegambila sampel ditetuka oleh sifat-sifat populasi da ketrampila peeliti 7
Radom Sampel Sampel radom adalah sampel yag probabilitas pemiliha masig-masig usur dalam populasi diketahui sebelum pemiliha da tidak sama dega ol. Simple radom samplig Systematic samplig Stratified samplig Cluster samplig 8
Simple Radom Samplig Suatu metode pemiliha sampel yag sedemikia rupa sehigga : Setiap usur dalam populasi mempuyai kesempata yag sama utuk dipilih Setiap ukura sample () mempuyai kesempata yag sama utuk dipilih. Merupaka dasar statiska iferesia adalah Simple Radom Samplig Ilustrasi ada empat aak A, B, C, da D. Jika diambil aak utuk pergi berlibur maka kombiasi yag mugki AB, AC, AD, BC, BD, CD. Setiap kemugkia memiliki probabilita yag sama Masig-masig aak memiliki probabilita yag sama utuk terpilih. 9
Stratified Radom Samplig Populasi dibagi ke dalam kelompok (strata) yag relatif homoge da sampel dibetuk dari masig-masig kelompok. Pegelompoka dimaksudka utuk memperbaiki pedugaa ciri populasi Cotoh Auditor melakuka audit atas piutag. Piutag dikelompokka berdasarka ilaiya atau kolektibilitas Masig-masig kelompok diambil sampel. 10
Cluster Radom Samplig Ada dua tahap dalam radom cluster samplig Memilih secara radom kelompok (cluster) dari populasi Semua eleme dari masig-masig kelompok (atau haya sebagia eleme dari masig-masig kelompok) diikutsertaka dalam sample Cluster radom samplig aka memberika ketepata yag tiggi jika variasi dalam kelompok lebih besar dibadig variasi atar kelompok 11
Systematic Samplig Eleme dipilih dari populasi pada satu iterval waktu atau uruta. Persamaa dea simple radom samplig setiap eleme memiliki kemugkia yag sama tetapi setiap ukura sampel yag dipilih tidak memiliki kesempata yag sama utuk dipilih. Utuk megiterview pelagga, dipilih dari daftar ama pelagga yag ke 10, 0 dst. 1
No Radom Samplig Sampel yag didasarka pada keahlia seseorag tetag populasi. Kualitas o radom sample ditetuka ole keahlia peeliti. Tidak ditetuka berdasarka tekik statistika Sulit meduga secara obyektif karea dipegaruhi oleh subyektifitas pegambil sampel 13
SAMPEL ACAK SEDERHANA (SIMPLE RANDOM SAMPLING SRS) 1. Populasi Terbatas (Fiite Populatio) SRS utuk populasi terbatas berukura N adalah sampel yag dipilih sedemikia sehigga masig- masig kemugkia sampel berukura memiliki peluag yag sama utuk terpilih. Ada (dua) tipe, yaitu: Dega Pegembalia (with replacemet - WR) Tapa Pegembalia (without replacemet - WOR) 14
SAMPEL ACAK SEDERHANA (SIMPLE RANDOM SAMPLING SRS). Populasi Tak Terbatas (Ifiite Populatio) SRS dari populasi tak terbatas merupaka sampel yag dipilih sedemikia sehigga kodisi berikut terpeuhi: Masig-masig eleme dipilih dari populasi yag sama Setiap eleme dipilih secara bebas (idepedet) 15
Desai Peelitia Perecaaa peelitia Samplig haya merupaka bagia dari keseluruha desai peelitia Fase-Fase dalam Desai Peelitia Meetapka tujua Apa yag aka diukur utuk memeuhi tujua yag diigika Seberapa besar ukura sampel Melaksaaka peelitia Aalisis data Seberapa keyakia kita terhadap hasil peelitia Sesuatu dapat ditelliti dega berbagai cara 16
Samplig Distributio Sampel memiliki atribut statistik Populasi memiliki atribut parameter Masig-masig kombiasi sampel memiliki ilai statistik Statistik merupaka suatu variabel radom yag memiliki distribusi probabilitas atau statistic stochastic variable Distribusi samplig adalah distribusi probabilita dega statistik sampel sebagai variabel radomya Distribusi rata-rata sampel adalah semua kemugkia rata-rata dari sampel yag mugki dibetuk samplig distributio of the mea 17
Samplig Distributio Membetuk seluruh kombiasi sampel kemudia meghitug rata-rata da stadar deviasi tidak mugki, melelahka Sampel diguaka utuk meduga populasi Seberapa kedekata ilai statistik sampel dega parameter dari populasi 18
DISTRIBUSI SAMPLING UNTUK X Proses Iferesi Statistik Populatio dg Rata-rata m =? Sampel Acak sederhaa berukura dipilih dari populasi. Nilai diguaka Utuk membuat iferesi tetag m. Data sampel meghasilka ilai rata-rata sampel. 19
DISTRIBUSI SAMPLING µ atau X Distribusi samplig utuk adalah distribusi probabilita dari semua kemugkia ilai rata-rata sampel. Epected Value E( ) = µ atau µ = µ dimaa µ = rata-rata populasi Simpaga baku dari Populasi Terbatas Populasi Tak terbatas σ = ( σ ) N N (N ) merupaka faktor koreksi (N 1) 1 σ = σ 0
DISTRIBUSI SAMPLING X Dari rumus dapat disimpulka : σ aka turu jika bertambah σ lebih kecil dibadigka dega σ,kecuali jika seluruh usur populasi ilaiya sama besar sehigga σ =σ=0 Dapat diguaka Tabel distribusi ormal utuk meghitug probabilita dari ilai sampel. z = µ σ σ 1
DISTRIBUSI SAMPLING X Tabuga sebuah bak tersdistribusi secara ormal dega rata-rata 000 da stadar deviasi 600. Bak tersebut megambil sampel. Sebuah sampel 100 tabuga asabah bak dibetuk. Berapa probabilita ratarata tabuga dari sampel tersebut atara 1900 da 050 600 σ = 100 1900 000 z = = 1,67 0,455 60 050 000 z = = 0,83 0,967 60 p = 0,455 + 0,967 = 0,749
The Cetral Limit Theorem Distribusi populasi berarti distribusi probabilitas dari suatu variabel radom Populasi ifiite yag memiliki distribusi ormal aka memiliki distribusi samplig rata-rata yag ormal berapapu ukura sampelya. Jika bertambah medekati tak terhigga maka distribusi samplig rata-rata aka semaki kecil Distribusi populasi tidak ormal distribusi samplig rata-rata aka medekati ormal jika ukura sampel cukup besar >30 3
The Cetral Limit Theorem Rata-rata distribusi samplig rata-rata aka sama dega rata-rata populasi Epected Value E( ) = µ atau µ = µ dimaa µ = rata-rata populasi Stadard error atau Simpaga baku dari Populasi Terbatas Populasi Tak terbatas σ = ( σ ) N N 1 σ = σ 4
STANDARD ERROR ATAU SAMPLING ERROR Samplig error merupaka perbedaa absolut atara estimator tak bias (ubiased) dega paramemter populasi. Cotoh samplig error: µ s σ pˆ p utuk rata-rata sampel utuk simpaga baku sampel utuk proportsi sampel 5
CONTOH 1 Suatu perusahaa igi meduga pejuala per bula berdasar rata-rata sampel yag dilakuka selama 100 bula. Misalka rata-rata per bula sebearya 5.650 da stadar deviasi 700 Berapa bayak bula dari sampel tersebut aka memiliki rata-rata sampel atara 5.550 da 5.750 6
CONTOH Dalam sampel yag terdiri 5 observasi dari populasi yag terdistribusi ormal dega rata-rata 98,6 da stadar deviasi 17,. Hitug probabilita rata-rataya terletak atara 9 sampai 100 Bagaima jika jumlah sampelya 36? Adi seorag kreditor di sebuah bak. Rata-rata tagiha kredit asabah per bula 11 da stadar deviasi 56. Secara acak ia memilih 50 tagiha, berapa probabilita dari sampel yag terpilih rata-rataya: Dibawah 100 Atara 100 da 130 7
CONTOH 3 Dari populasi 15 item dega rata-rata 105 da stadar deviasi 17,64. Jika diambil sampel 64? Berapaka stadar error dari rata-rata? Berapa probabilita rata-rataya atara 107,5 da 109 Ita melakuka peelitia kosumsi kopi dari rumah tagga tiap tahu. Diketahui distribusi populasi kopi ormal dega rata-rata tidak diketahui da stadar deviasi 1,5. Jika diambil 36 rumah tagga sebagai sampel da dhitug komsumsi kopiya per tahu. Berapa probabilita rata-rata sampel setegah poud dari rata-rata populasiya. Seberapa besar sampel harus diambil utuk memastika bahwa 98% rata-rata sampel berada pada setegah poud rata-rata populasi. 8
PROPORSI Rata-rata proporsi µ p = p Stadar deviasi σ = p ( p µ p Didekati dega distribusi ormal : p µ ( p ± 1/ ) µ p p Z = = σ p Koreksi dilakuka karea proporsi merupaka variabel radom diskret σ p ) 9
BEDA RATA-RATA Beda rata-rata Stadar deviasi 1 1 1 µ µ µ µ µ = = 1 1 1 σ σ σ σ σ + = = 30 Stadar deviasi Didekati dega distribusi ormal : 1 1 1 1 ) ( ) ( 1 1 Z = σ µ µ
BEDA PROPORSI Beda rata-rata Stadar deviasi 1 1 1 P P p p p p = = µ µ µ 1 1 1 ) (1 ) (1 P P P P p p p p + = = σ σ σ 31 Stadar deviasi Didekati dega distribusi ormal : 1 1 1 p p p p 1 ) ( ) ( 1 1 p p P P p p Z = σ
LATIHAN Carilah probabilita bahwa rata-rata suatu sampel radom sebayak 5 usur dari suatu populasi yag didistribusika ormal dega rata-rata 90 da stadar deviasi lebih besar dari 100? Lima perse barag dalam gudag Pekabaru cacat, sedagka sepuluh perse dari gudag Dumai cacat. Bila diambil sampel radom sebayak 00 dari gudag Pekabaru da 300 dari gudag Dumai, berapa probabilitas beda prosetase barag yag cacat dalam gudag Dumai % lebih besar dibadigka dega gudag Pekabaru Dega megaggap probabilitas kelahira bayi pria da waita adalah sama. Carilah probabilitas bahwa 00 aak yag aka lahir kurag dari 40%ya adalah pria 3
ESTIMASI Seberapa jauh parameter populasi yag tidak diketahui berada di sekitar statistik sampel. Estimasi merupaka suatu bagia statistik iferesia yaitu peryataa megeai parameter populasi yag tidak diketahui berdasarka iformasi dari sampel radom sederhaa yag diambil dari populasi tersebut 33
SIFAT PENAKSIR (ESTIMATOR) Sebelum megguaka suatu ilai sampel sebagai estimator titik, perlu diperiksa apakah ilai sampel tersebut memeuhi sifat-sifat sebagai estimator yag baik, yaitu: a. Tak bias (Ubiased), yaitu jika ilai harapa dari estimator sama dega ilai parameter populasi yag diestimasi. b. Efisie (Efficiet), yaitu jika estimator tersebut memiliki stadar error (varia) yag palig kecil dibadigka estimator tak bias yag lai. c. Kosiste (Cosistet) 34
SIFAT PENAKSIR (ESTIMATOR) c. Kosiste (Cosistet) Suatu estimator dikataka memiliki sifat kosiste, apabila estimator tersebut cederug medekati ilai parameter populasi jika ukura sampel ditigkatka (semaki besar). Jika ukura sampel ditambah tapa batas distribusi samplig peduga aka mejadi satu garis tegak lurus di atas paramater yag sesugguhya. 35
ESTIMASI TITIK (POINT ESTIMATION) Dalam estimasi titik kita megguaka data sampel utuk meghitug suatu ilai statistik sebagai estimasi parameter populasi. Cotoh: sebagai estimator titik dari rata-rata populasi, µ. s sebagai estimator titik dari simpaga baku populasi, σ. pˆ sebagai estimator titik dari proporsi populasi, P. 36
POINT ESTIMATION Rata-rata = Stadar deviasi s ( ) = bias s = ( 1 ) 37
CONTOH Sebuah bak berusaha utuk meetuka berapa jumlah teller yag tersedia pada saat istirahat di hari Jumat. Utuk itu dilakuka pegamata selama tiga bula pada tiap hari jumat. Berikut data yag diperoleh : 4 75 89 306 34 385 79 45 69 305 94 38 z α Estimasi rata-rata da stadar deviasi populasiya? 38
ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) Iterval kepercayaa utuk rata-rata populasi ormal. Varia populasi diketahui. Misalka variabel acak observasi/sampel dari suatu populasi berdistribusi ormal dega rata-rataµda varia σ. Jika σ diketahui da rata-rata sampel yag diobservasi adalah maka iterval kepercayaa 100(1 α)% utuk rata-rata populasi adalah: zα σ zα σ < µ < + dimaa memeuhi z α P(Z > z ) α = da Z mempuyai distribusi ormal baku. α 39
ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) (L) Iterval kepercayaa utuk rata-rata populasi: sampel dega ukura besar Misalya observasi/sampel dari suatu populasi dega rata-rata µ. Maka jika besar, iterval kepercayaa 100(1 α)% utuk µ adalah: z s z α α < µ < + s dimaa s = simpaga baku sampel Peafsira ii secara khusus aka tetap sesuai walaupu distribusi populasi buka ormal. 40
DISTRIBUSI t Kurva dari distribusi t memiliki betuk mirip dega kurva ormal, amu lebih rucig. Ciri khusus: distribusi t tergatug pada suatu parameter yag disebut derajat bebas (degrees of freedom). Jika derajat bebas meigkat maka perbedaa distribusi t dega distribusi ormal baku semaki kecil. Distribusi t dega derajat bebas yag lebih besar memiliki varia yag lebih kecil. Rata-rata dari distribusi t = 0 (ol). 41
DISTRIBUSI t Membaca Tabel Studet s t Misalka α = 0,05 da = 10, maka ilai tabel t -1,α/ = t (10-1);0,05 =,6 Degrees Area i Upper Tail of Freedom.10.05.05.01.005...... 7 1.415 1.895.365.998 3.499 8 1.397 1.860.306.896 3.355 9 1.383 1.833.6.81 3.50 10 1.37 1.81.8.764 3.169...... 4
UKURAN SAMPEL UNTUK ESTIMASI INTERVAL RATA-RATA POPULASI Misalka E = ilai samplig error maksimum yag ditetuka. E serig disebut sebagai batas kesalaha (margi of error). maka sehigga E = z (z α α = ) E σ σ 43
ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) (L) Iterval kepercayaa utuk rata-rata populasi ormal: varia populasi tidak diketahui Misalya observasi dari variabel acak dari populasi berdistribusi ormal dega rata-rata µ da varia tidak diketahui. Iterval kepercayaa 100(1-α)% utuk rata-rata populasi adalah t 1, α s < µ < dimaa t -1,α/ memeuhi P(t -1 > t -1,α/ ) = α/ Variabel acak t -1 mempuyai distribusi studet s t dega derajat bebas ( 1). + t 1, α s 44
ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) (L) Iterval kepercayaa utuk proprosi populasi (sampel besar) Jika pˆ meotasika proporsi sukses dalam sampel acak dari observasi suatu populasi dega proporsi sukses p. Maka, jika besar, iterval kepercayaa 100(1 α)% utuk proporsi populasi adalah pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) pˆ zα < p < pˆ + zα dimaa z α/ memeuhi P (Z > z α/ ) = α/ Z mempuyai distribusi ormal baku. 45
UKURAN SAMPEL UNTUK ESTIMASI INTERVAL PROPORSI POPULASI Misalka E = ilai samplig error maksimum yag ditetuka. E serig disebut sebagai batas kesalaha (margi of error). maka E = z α p(1 p) sehigga (z α = ) p(1 p) E 46
CONTOH ESTIMASI INTERVAL 1. Suatu proses memproduksi katog-katog gula. Berat katog-katog diketahui berdistribusi ormal dega simpaga baku 1, os. Suatu sampel 5 katog diambil da memiliki rata-rata 19,8 os. Buatlah selag kepercayaa 95% utuk rata-rata populasi berat katog gula! SOLUSI: α = 0,05 z α/ = 1,96 zα σ zα σ < µ < + (1,96)(1,) (1,96)(1,) 19,8 < µ < 19,8 + 5 5 19,33 < µ < 0,7 47
CONTOH ESTIMASI INTERVAL (L). Sampel acak berukura 17 mahasiswa akutasi ditaya pedapat mereka ttg petigya suatu pekerjaa dega skala 1 (tidak petig) s.d. 5 (sagat petig). Teryata diperoleh rata-rata ilai adalah 4,38 dega stadar deviasi 0,7. Buat selag kepercayaa 99% utuk rata-rata populasi. SOLUSI: α = 0,01 z α/ =,575 z s z α α < µ < + (,575)(0,7) 4,38 < µ < 4,38 + 17 4,4 < µ < 4,5 s (,575)(0,7) 17 48
CONTOH ESTIMASI INTERVAL (L) 3. Sampel acak berukura 6 mobil dari suatu model tertetu memiliki kosumsi baha bakar sbb (mil per galo): 18,6 18,4 19, 0,8 19,4 0,5 Buat selag kepercayaa 90% utuk rata-rata kosumsi baha bakar populasi. SOLUSI: α = 0,10 t -1,α/ = t 5;0,05 =,015 t 1, α s < µ < + t 1, α (,015)(0,98) (,015)(0,98) 19,48 < µ < 19,48 + 6 6 18,67 < µ < 0,9 s 49
CONTOH ESTIMASI INTERVAL (L) 4. Sampel acak berukura 344 pemilik perusahaa ditaya megeai kebijaka perusahaa pada bagia pembelia barag jika diberi hadiah oleh pemasok. Teryata, 83 meyataka tidak ada kebijaka apapu. Buat selag kepercayaa 90% utuk proporsi populasi yg meyataka tidak ada kebijaka apapu berkeaa dg hal tersebut. SOLUSI: α = 0,10 z α/ = 1,645 pˆ z α pˆ (1 pˆ ) < p < pˆ + z α pˆ (1 pˆ (0,41)(0,759) 0,41 1,645 < p < 0,41 + 1,645 344 0,03 < p < 0,79 ) (0,41)(0,759) 344 50
CONTOH Suatu sampel radom sebayak 100 mahasiswa meghasilka rata-rata berat bada 60 kg da stadar deviasi 10. Jika populasi 50 Buatlah iterval keyakia rata-rata populasi kalau diguaka tigkat keyakia 90% Berapa tigkat keyakia diguaka agar ratarata populasi terletak dalam iterval 58-6 51