: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE

Judul Tesis : PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Nama Mahasiswa : Maruli Hutapea Nomor Pokok : 117021037 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 04 Juni 2013

Telah diuji pada Tanggal 04 Juni 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, Juni 2013 Penulis, Maruli Hutapea i

ABSTRAK Dalam menyelesaikan persoalan degree constrained minimum spanning tree pada graph G(V,E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum dan degree dari setiap verteks v i di T dibatasi oleh b i dimana d T (v i ) b i. Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan memodifikasi algoritma kruskal, dimana sebuah edge diterima di T, jika edge tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T dan verteks-verteks ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan, yaitu d T (v j ) b j dan d T (v k ) b k. Kata Kunci : Graph, Degree constrained, Spanning tree ii

ABSTRACT The degree constrained minimum spanning tree (DCMST) on undirected weighted connected graph G(V,E) is a problem to fins a spanning tree T in G with whose total edge length is minimal and the degree of each vertex v i in T at most a given value b i where d T (v i ) b i. For solving this problem, we modified kruskal algorithm, an edge received in T, if an edge did not produce any cycle with preceding edge in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees that d T (v j ) b j and d T (v k ) b k. Keywords: Graph, Degree constrained, Spanning tree iii

KATA PENGANTAR Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Utama yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembanding Kedua yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. iv

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Alm. Paimin Hutapea dan Ibunda Sumiantauli br Simanjuntak yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, kepada adik-adik Mawarni Hutapea, Megawati Hutapea serta Istri Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd dan anak-anak Olivia Hutapea dan David Hutapea yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Kepada Pemerintah Provinsi Sumatera Utara (Pemprovsu) atas bantuan dalam peningkatan pendidikan kualitas guru untuk Daerah Sumatera Utara dalam memberikan Beasiswa Pemprovsu. Dr. Hamonangan Nainggolan, M.Sc dan seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan. Medan, Penulis, Maruli Hutapea v

RIWAYAT HIDUP Maruli Hutapea dilahirkan di Lawe Perbunga (Aceh Tenggara) pada tanggal 22 desember 1974 dari pasangan Bapak Alm. Paimin Hutapea & Ibu Sumiantauli br Simanjuntak dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1989 di SD negeri dikabupaten langkat, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 binjai pada tahun 1992, Sekolah Menengah Atas (SMA) Sw eka prasetya, kota Medan pada tahun 1995. Menamatkan kuliah S-1 dari UNIMED dikota medan tahun 2000. Dan mendapat gelar sarjana pendikan (S.Pd). Menikah dengan Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd, bulan juli tahun 2001 dan dikarunia dua anak yaitu Olivia Hutapea dan David Hutapea. Pengalaman mengajar pertama sekali di sekolah yayasan perguruan eka prasetya pada tahun 1999 bulan juli pada unit sekolah SMP, pada tahun 2003 mengajar di SMK-BM (SMEA) dan menjadi guru bantu yang dibiayai dari dana APBN, disekolah SMK-BM (SMEA) Eka Prasetya yang terletak di wilayah Deli Serdang. Pada tahun 2006 menjadi PNS di SMA Negeri 1 sunggal sampai sekarang. Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman belajar yang sangat berharga. vi

DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2 1.3 Tujuan Penelitian 2 1.4 Manfaat Penelitian 2 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 3 2.1 Graph 3 2.1.1 Definisi graph 3 2.1.2 Konsep dasar graph 3 2.1.3 Incident dan degree 5 2.1.4 Graph bipartie 6 2.1.5 Walk, path, dan cycle 6 2.1.6 Subgraph 8 2.1.7 Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen 8 2.1.8 Jembatan 10 vii

2.2 Degree 11 2.3 Tree 11 2.3.1 Verteks ujung dalam tree 14 2.3.2 Sisi Pemotong 14 2.4 Spanning Tree 15 2.4.1 Jarak spanning tree (distance of spanning tree) 16 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 18 3.1 Degree Constrained Minimum Spanning Tree 18 3.2 Modifikasi DCMST dengan Metode Algoritma Kruskal 20 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 28 4.1 Kesimpulan 28 4.2 Saran 28 DAFTAR PUSTAKA 29 viii

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Graph 4 2.2 Graph berbobot 4 2.3 (a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana 5 2.4 Verteks ujung dan verteks terisolasi 5 2.5 Graph 7 2.6 (G) graph dan (T) subgraph 8 2.7 (a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung 9 2.8 Bridge 10 2.9 Tree 12 2.10 Spanning tree dari G 15 3.1 Degree constrained minimum spanning tree dari G 19 3.2 Graf berbobot 24 3.3 Edge dari bobot terkecil 25 ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Minimum spanning tree merupakan sebuah permasalahan dalam suatu graph yang aplikasinya baik secara langsung maupun tidak langsung yang telah dipelajari. Salah satu contoh dalam kehidupan sehari-hari, banyak diantaranya dapat dipresentasikan secara grafik terdiri atas titik-titik dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut. Misalnya, titik-titik tersebut mewakili kota, dengan garis-garis mewakili jalan yang menghubungkan kota tersebut dengan kota lainnya atau bisa juga titik-titik itu mewakili manusia dengan garis mewakili hubungan manusia tersebut dengan manusia yang lainnya. Pada matematika, hubungan titik dan garis yang demikian diamati oleh suatu objek disebut dengan graph. Teori graph pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Konigsberg, Rusia dalam sekali waktu. Pembuktian Euler tersebut ditulis dalam karya tulisnya yang berjudul Solution Problematis ad geometriam situs pertinensi. Masalah jembatan Konigsberg tersebut dapat dinyatakan dalam istilah graph dengan menentukan keempat daerah itu sebagai titik (vertex) dan ketujuh jembatan sebagai sisi (edge) yang menghubungkan pasangan titik yang sesuai (Dossey 1992). Sejak itu, penelitian terhadap graph terus mengalami perkembangan seiring dengan semakin bervariasinya masalah yang dihadapi. Salah satu diantaranya adalah permasalahan degree constrained minimum spanning tree (DCMST). Permasalahan DCMST pada graph merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree dengan total bobot minimum dan memenuhi batasan degree yang diinginkan. Garey dan Jhonson (1979) menyatakan bahwa DCMST merupakan NP-hard, karenanya total bobot yang optimal menjadi masalah program linear maka diperlukan suatu metode pendekatan untuk menyelesaikannya. Ribiero dan Souza (2001) menggunakan Variable Neighborhood Search. Khrisnamoorthy, et al., (2001) mempresentasikan dan membandingkan bebera- 1

2 pa heuristik, pendekatan simulasi annealing, relaksasi lagrang dan metode branch and bound. Binh dan Nguyen (2008) menggunakan algoritma partikel Swarm, algoritma ini menggunakan beberapa metode baru untuk memilih vektor dari partikelnya. Ning et al., (2008) menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu untuk mengurangi ukuran graph, kemudian menyelesaikan DCMST dengan menggunakan algoritma Kruskal. Tanpa menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu, penelitian ini akan memodifikasi algoritma Kruskal untuk menyelesaikan DCMST. Algoritma metaheuristik Variable Neighborhood Descent (VND) adalah algoritma untuk memecahkan masalah dengan menggunakan set neighborhood dalam pencarian dan penemuan local search sehingga akan mencapai global optimum yang dikembangkan oleh Hansen dan Mladenoviv (1999). Dalam proses pencarian global optimum, VND melakukan pergantian set neighborhood secara deterministik. Apnena (2011) menyelesaikan masalah TALBP dengan algoritma VND dengan kriteria minimisasi jumlah stasiun kerja. 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menemukan bobot minimum dari persoalan degree constrained minimum spanning tree dengan memodifikasi algoritma kruskal. 1.3 Tujuan Penelitian Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis serta mengoptimalkan persoalan degree constrained minimum spanning tree dengan menemukan bobot minimum yang memenuhi batasan-batasan degree yang diinginkan. 1.4 Manfaat Penelitian Hasil dari penelitian ini diharapkan agar dapat menambah pemahaman dan pengetahuan mengenai penerapan bobot minimum yang memenuhi batasan degree dalam menyelesaikan degree constrained minimum spanning tree, juga diharapkan dapat menambah referensi bagi pembaca dan dapat digunakan sebagai alat pertimbangan bagi pengambil keputusan dari berbagai alternatife pilihan.

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Graph 2.1.1 Definisi graph Teori graph merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graph digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graph adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. Secara matematis, graph didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1 Graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini : V : Himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) atau {v 1,v 2,...,v n } dan E : Himpunan sisi (edges atau arc) yang menghubungkan sepasang simpul atau {e 1,e 2,...,e n }, dimana V tidak boleh kosong dari dua titik (v i,v j ), dimana i dan j boleh sama. 2.1.2 Konsep dasar graph Suatu graph G =(V,E) merupakan himpunan objek V = {v 1,v 2,v 3,...} disebut verteks (disebut juga point atau node) dan himpunan E = {e 1,e 2,...} yang elemennya disebut edge (disebut juga line atau arc), sehingga untuk setiap edge e m dikenal sebagai penghubung pasangan verteks (v i,v j ). Verteks v i,v j yang dihubungkan oleh edge e m disebut verteks ujung dari e m. Suatu graph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge v i,v j sebagai garis dari titik v i ke titik v j. 3

4 Contoh 2.1 : Berikut diberikan representasi dari graph. Gambar 2.1 Graph Dari gambar 2.1 dapat diketahui bahwa V (G) ={v 1,v 2,v 3,v 4 } dan E(G) = {v 1 v 1,v 1 v 2,v 1 v 3,v 1 v 4,v 2 v 3,v 2 v 4,v 3 v 3,v 3 v 4 } Berdasarkan definisinya, edge merupakan penghubung pasangan verteks v j,v k dan untuk suatu edge yang memiliki kedua verteks ujung yang sama disebut loop, jika setiap egde pada graph diberi suatu nilai atau bobot disebut graph berbobot. Contoh 2.2 : Berikut diberikan representasi dari graph berbobot. Gambar 2.2 Graph berbobot Graph yang tidak memiliki loop ataupun edge ganda disebut graph sederhana. Graph setiap verteks dihubungkan tepat satu edge ke verteks lainnya disebut graph lengkap. Contoh 2.3 : Berikut diberikan representasi dari graph sederhana dan graph lengkap.

5 Gambar 2.3 (a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana 2.1.3 Incident dan degree Ketika verteks v 1 merupakan verteks ujung dari beberapa edge e j,v i, dan e j dikatakan incident satu sama lain. Dua edge nonparalel dikatakan adjacent jika mereka incident pada verteks yang sama. Dengan cara yang sama, dua verteks dikatakan adjacent jika mereka merupakan verteks ujung dari edge yang sama. Jumlah edge incident dari suatu verteks v i, dengan edge yang merupakan loop dihitung 2 disebut degree dari verteks tersebut. Degree dari suatu verteks dinotasikan dengan deg G (v i ) atau deg v i atau d(v). Verteks yang tidak memiliki egde incident disebut verteks terisolasi. Sedangkan verteks yang berdegree satu disebut verteks pendent atau verteks ujung. Contoh 2.4 : Berikut diberikan representasi dari verteks ujung dan verteks terisolasi. Gambar 2.4 Verteks ujung dan verteks terisolasi Teorema 2.1 Untuk sembarang graph jumlah degree dari seluruh verteks G sama dengan dua kali jumlah edge di G.

6 Bukti. Diberikan graph G dengan n verteks v 1,v 2,...,v n dan e edge. Karena setiap edge memiliki tepat dua verteks v i, dan v j (untuk loop, i=j), maka edge memberikan kontribusi 2 degree, yakni 1 degree untuk verteks v i dan 1 degree untuk verteks v j. Hal ini mengakibatkan penjumlahan degree dari seluruh variabel verteks di G adalah dua kali dari edge di G, yaitu : Σ n i=1d(v i )=2e Teorema 2.2 Dari Teorema 2.1 diketahui bahwa Σ n i=1d(v i )=2e Jika verteks yang berdegree ganjil dan berdegree genap dipisahkan, maka persamaan diatas dapat dibentuk menjadi : Σ n i=1d(v i )=Σ even d(v j )+Σ odd d(v k ) Karena Σ n i=1 d(v i) adalah genap, dan Σ even d(v j ) juga genap, maka Σ odd d(v k ) juga suata bilangan genap. Karena d(v k ) adalah ganjil, maka syarat agar jumlah seluruh d(v k ) genap, banyaknya v k haruslah genap. Hal ini membuktikan bahwa banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph selalu genap. 2.1.4 Graph bipartie Suatu graph G disebut graph bipartie apabila V(G) merupakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong V 1 dan V 2 dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam V 1 dengan titik dalam V 2. Apabila dalam graph bipartie, setiap titik dalam V 1 berhubungan dengan setiap titik dalam V 2, maka graphnya disebut graph bipartie lengkap. Jika V 1 terdiri dari m titik dan V 2 terdiri dari n titik, maka graph bipartie lengkapnya sering diberi simbol K m,n 2.1.5 Walk, path, dan cycle Diberikan graph G dengan verteks v dan w. Sebuah walk dengan panjang m dari v ke w didefinisikan sebagai barisan edge dan dituliskan sebagai berikut : (v 0,v 1 ), (v 1 v 2 ),...,(v m 1 v m )

7 untuk m>0, v 0 = v dan v m = w. Sebuah walk biasa dinotasikan dengan v w w dan panjangnya dinotasikan dengan l(w). Sebuah trail dari v ke w adalah walk dari v ke w tanpa perulangan edge. Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah trail tanpa perulangan verteks. Path tertutup adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang sama. Sebuah cycle merupakan sebuah path tertutup, dan sebuah loop merupakan sebuah cycle dengan panjang 1. Contoh 2.5 : Sebagai contoh masing - masing untuk walk, trail, path, cycle, dan loop dapat dilihat pada gambar berikut : Gambar 2.5 Graph 1. v 1 v 3 v 5 v 3 v 2 v 4 disebut walk. 2. v 1 v 2 v 3 v 5 v 2 v 4 disebut trail, walk tanpa perulangan edge. 3. v 1 v 2 v 4 v 5 disebut path, walk tanpa perulangan edge dan verteks. 4. v 1 v 2 v 4 v 5 v 3 v 1 disebut cycle, karena adanya perulangan pada verteks awal dan akhir disebut juga path tertutup. 5. v 1 v 1 dan v 3 v 3 disebut loop, cycle dengan panjang 1.

8 2.1.6 Subgraph Suatu subgraph dari G adalah graph yang memiliki verteks dan edge yang ada di G. Jika G dan T merupakan dua graph dengan himpunan verteks V(T), V(G) dan himpunan E(T) dan E(G) sehingga V (T ) V (G) dan E(T ) E(G), maka T disebut subgraph G atau G disebut supergraph T. Contoh 2.6 : Berikut diberikan representasi dari subgraph G. Gambar 2.6 (G) graph dan (T) subgraph Berdasarakan definisinya, maka dapat dikatakan bahwa : 1. Setiap graph merupakan subgraph itu sendiri. 2. Sebuah subgraph dari subgraph G merupakan subgraph G. 3. Sebuah verteks tunggal di G merupakan subgraph G. 4. Sebuah edge tunggal di G, bersama dengan verteks ujungnya, juga merupakan subgraph G. 2.1.7 Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen Diberikan graph G dengan v dan w merupakan dua verteks di G. Graph G dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sebarang dua verteks v dan w di G sedemikian hingga paling sedikit satu path dari v ke w. Selebihnya, G dikatakaan tidak terhubung. Pada gambar 2.7 menunjukkan bahwa (a) adalah graph terhubung karena terdapat path dari satu verteks ke verteks yang lainnya, dan (b) adalah graph tak terhubung karena tidak terdapat path dari v 1 ke v 3. Dari gambar 2.3 dapat dilihat bahwa graph tersebut terdiri dari dua bagian. bagian pertama adalah verteks v 1,

9 v 2 dengan edge v 1 v 2, sedangkan bagian kedua adalah verteks v 3,v 4 dan v 5, dengan edge v 3 v 4, v 3 v 5, dan v 4 v 5. Masing - masing bagian ini disebut komponen. Contoh 2.7 : Berikut diberikan representasi dari 2 buah graph terhubung dan tidak terhubung. Gambar 2.7 (a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung Teorema 2.3 Suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika verteks himpunan V dapat dibagi ke dalam dua komponen tak kosong, himpunan bagian V 1 dan V 2 terpisah, sehingga tidak ada edge di G yang memiliki satu verteks ujung didalam himpunan bagian V 1 begitu juga di himpunan bagian V 2. Bukti : Andaikan komponen ada. Anggap dua sembarang verteks a dan b di G, sehingga a V 1 dan b V 2. Tidak ada path yang bisa diantara verteks a dan b: sebaliknya terdapat paling sedikit satu edge yang dimiliki verteks ujung V 1 dan lainnya di V 2. Akibatnya jika komponen ada, G tidak terhubung. Dan sebaliknya, andaikan G menjadi graph tidak terhubung. Anggap sebuah verteks a di G. Andaikan V 1 menjadi himpunan seluruh verteks yang dihubungkan oleh path ke a. Karena G tidak terhubung, maka V 1 tidak memasukkan semua verteks G. Selebihnya verteks akan berbentuk (tak kosong) himpunan V 2. Tidak ada verteks di V 1 yang dihubungkan ke sebarang V 2 dengan sebuah edge. Hal ini berakibat adanya komponen. Teorema 2.4 Jika suatu graph memiliki tepat dua vertek berdegree ganjil, pasti terdapat path yang menyertai dua vertek tersebut. Bukti : Andaikan G sebuah graph dengan seluruh verteknya berdegree genap kecuali verteks v 1 dan v 2, yang berdegree ganjil. Berdasarkan teorema 2.2, hal

10 ini berlaku untuk seluruh graph, oleh karenanya untuk setiap komponen graph tak terhubung, tak ada graph yang bisa memiliki jumlah ganjil dari verteks ganjil. Karenanya, di graph G v 1 dan v 2 harus bisa pada komponen yang sama, akibatnya pasti ada path diantaranya. 2.1.8 Jembatan Teori graph ditulis pertama kali tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Yang digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg. Jika suatu graf adalah G =(V,E) maka V merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), misalkan V = {v 1,v 2,..., v n } Suatu edge v i v j pada graph G terhubung dikatakan bridge jika penghapusan edge v i v j mengakibatkan G menjadi tidak terhubung. Contoh 2.8 : Berikut diberikan representasi dari bridge. Gambar 2.8 Bridge v 4 v 7 merupakan bridge karena penghapusan edge v 4 v 7 akan menyebabkan graph menjadi tidak terhubung. Algoritma untuk Jembatan : 1. Tentukan banyak komponen k(g) 2. Tentukan banyak komponen dari k(g e) if k(g)<k(g e) e adalah jembatan else

11 e bukan jembatan end 2.2 Degree Derajat titik v (simbol d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G. Teorema 2.5 Derajat total suatu graph selalu genap. Bukti : Jika G tidak memiliki garis sama sekali berarti derajat totalnya = 0 yang merupakan bilangan genap, sehingga teorema terbukti. Teorema 2.6 Derajat sembarang graph, jumlah titik yang berderajat ganjil adalah genap. Bukti : Jika G tidak mempunyai garis sama sekali berarti banyaknya titik yang berderajat ganjil = 0 yang merupakan bilangan genap sehingga teorema terbukti dengan sendirinya. 2.3 Tree Suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Untuk graph tak terhubung dan tanpa cycle disebut forest. Suatu verteks tunggal juga termasuk tree yang disebut trivial tree.

12 Contoh 2.9 : Berikut diberikan representasi dari tree. Gambar 2.9 Tree Teorema 2.7 Hanya ada satu path antara setiap pasangan verteks di tree T. Bukti : Karena T terhubung, maka terdapat paling sedikit satu path diantara semua pasangan verteks di T. Sekarang anggap bahwa diantara dua verteks a dan b di T terdapat path yang berbeda. Penggabungan dari dua path yang berbeda akan menghasilkan cycle, karenanya T bukanlah tree, begitu juga sebaliknya. Teorema 2.8 Jika pada graph G hanya ada satu path diantara setiap pasangan verteks, maka G merupakan tree. Bukti : Adanya path diantara setiap pasangan verteks menjamin bahwa G terhubung. Suatu cycle di G (dengan dua atau lebih verteks) secara tidak langsung menyatakan bahwa terdapat paling sedikit satu pasangan verteks a,b sehingga terdapat dua path yang berbeda antara a dan b. Karena G hanya memiliki satu path diantara setiap pasangan verteks, maka G tidak bisa memiliki cycle. Oleh karena itu, G merupakan tree. Teorema 2.9 Suatu tree dengan n verteks memiliki n-1 edge. Bukti : Hasilnya akan diperlihatkan dengan induksi. Andaikan e k menjadi edge di T dengan verteks ujung v i dan v j, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara v i dan v j, kecuali e k. Oleh karenanya jika e k dihapus, maka T menjadi

13 graph tak terhubung. Selanjutnya, T e k akan membentuk dua komponen, karena tidak ada cycle di T, maka masing-masing memiliki lebih sedikit dari n verteks, dengan induksi, masing-masing memiliki edge lebih sedikit dari jumlah verteks didalamnya. Dengan demikian T e k mengandung n 2 edge. Hal ini berakibat T memiliki tepat n 1 edge. Teorema 2.10 Untuk sebarang graph terhubung dengan n verteks dan n-1 edge merupakan tree. Bukti : Berdasarkan definisi graph terhubung, terdapat paling sedikit satu path di G, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara v i dan v j, kecuali e k, berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle, karenanya berdasarkan teorema 2.7, suatu tree dengan n verteks memiliki n-1 edge. Hal ini berakibat graph terhubung dengan n verteks n-1 edge merupakan tree. Teorema 2.11 Suatu graph merupakan tree jika dan hanya jika graph tersebut terhubung. Bukti : Andaikan graph G merupakan tree, berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Andaikan G tidak terhubung, maka berdasarkan teorema 2.1 graph bukanlah tree. Hal ini berakibat bahwa untuk graph yang merupakan tree, haruslah graph terhubung. Teorema 2.12 Suatu graph G dengan n vertkes, n-1 edge, dan tanpa cycle adalah terhubung. Bukti : Andaikan bahwa ada sedikit cycle graph G dengan n verteks dan n-1 edge yang tak terhubung. Pada kasus ini, G akan mengandung dua atau lebih sedikit komponen cycle. Tanpa kehilangan sifat umumnya, andaikan G memiliki komponen g 1 dan g 2. Lalu tambahkan sebuah edge e diantara suatu verteks v 1 di g 1, dan v 2 di g 2. Karena tidak ada path, diantara v 1 dan v 2 di G, tambahkan

14 e tanpa membentuk cycle. Dengan demikian G e memiliki cycle sedikit, graph terhubung dari n verteks dan n edge, dan tanpa cycle adalah terhubung. Berdasarkan teorema-teorema tersebut, dapat disimpulkan bahwa suatu graph G dengan n verteks disebut tree, jika : 1. G terhubung dan tanpa cycle, atau 2. G terhubung dan memiliki n - 1 edge, atau 3. G tanpa cycle dan memiliki n - 1 edge, atau 4. Tepat terdapat satu path diantara setiap pasangan verteks di G, atau 5. G paling tidak merupakan graph terhubung. 2.3.1 Verteks ujung dalam tree Verteks ujung merupakan verteks dengan jumlah degree adalah 1. Teorema 2.13 Pada sebarang tree (dengan dua atau lebih verteks), terdapat paling sedikit dua verteks ujung. Bukti : Karena tree yang memiliki n verteks dan n - 1 edge, maka 2(n-1) degree terbagi diantara n verteks. Karenanya tidak akan bisa ada verteks yang tidak memiliki degree, paling sedikit harus memiliki dua verteks yang berdegree 1 dalam degree. Tentu saja ini hanya berlaku jika n 2. 2.3.2 Sisi Pemotong Sebuah sisi e pada graph G adalah sebuah sisi e, demikian sehingga ω(g e) ω(g), dengan ω(g) sebagai banyaknya komponen dari G. Teorema 2.14 Sebuah sisi e pada graph G merupakan sisi pemotong jika dan hanya jika e termuat dalam nonsiklus dari G. Teorema 2.15 Sebuah graph G adalah sebuah pohon jika dan hanya jika setiap sisinya merupakan sisi pemotong.

15 Teorema 2.16 Setiap graph terhubung memuat sebuah pohong rentang. Sebuah simpul v pada graph disebut simpul pemotong jika E(G) dapat dipartisikan ke dalam dua himpunan bagian E 1 dan E 2 demikian sehingga G[E 1 ] dan G[E 2 ] hanya mempunyai irisan pada simpul v. Jika G merupakan graph non trivial dan tidak mengandung loop, maka v merupakan simpul pemotong dari G jika dan hanya jika ω(g v) ω(g). Teorema 2.17 Sebuah simpul v pada pohon G merupakan simpul pemotong dari G jika dan hanya jika deg(v) > 1. Teorema 2.18 Setiap graph terhubung non trivial yang tanpa loop mempunyai paling sedikit dua simpul yang tidak merupakan simpul pemotong. 2.4 Spanning Tree Suatu tree T dikatakan spanning tree dari graph G terhubung, jika T adalah suatu subgraph G dan T mengandung seluruh verteks G. Dengan kata lain, T dikatakan spanning tree jika T terhubung, mengandung n verteks G dan n-1 edge. Contoh 2.2.2 : Berikut diberikan representasi dari spannning tree. Gambar 2.10 Spanning tree dari G Dari gambar 2.10, untuk T 1 graph menghasilkan spanning tree dengan 6 verteks dan 5 edge. Untuk menemukan spanning tree dari graph G terhubung dapat dilakukan dengan cara yang sederhana. Jika G tidak memiliki cycle, maka

16 G merupakan spanning tree itu sendiri. Jika G memiliki cycle maka hapus semua edge yang membentuk cycle, dengan G masih terhubung. Proposisi 2.12 Setiap graph terhubung memiliki paling sedikit satu spanning tree. Bukti : Andaikan G adalah suatu graph terhubung. Jika G bebas cycle, maka G itu sendiri merupakan spanning tree. Jika tidak, G memiliki paling sedikit satu cycle C 1. dengan teorema, yakni subgraph G tetap terhubung meski satu edge C 1 dihapus. Jika subgraph bebas cycle, maka subgraph tersebut merupakan spanning tree. Jika tidak, maka paling sedikit ada satu cycle di C 2, dan seperti sebelumnya, hapus edge di C 2 untuk memperoleh spanning tree. Jika tidak, lakukan seperti sebelumnya hingga diperoleh subgraph T dari G yang terhubung dan bebas cycle. T juga mengandung seluruh verteks G karena tidak ada verteks di G yang dihapus. Oleh karenanya T merupakan spanning tree untuk G. 2.4.1 Jarak spanning tree (distance of spanning tree) Misalkan G =(V,E), bersama dengan fungsi jarak d : E N. Untuk selanjutnya G terhubung, dan T merupakan spanning tree dari G, maka nilainya: d(t )= e T d e merupakan penjumlahan seluruh jarak pada semua edge di T, disebut dengan jarak spanning tree. Untuk setiap spanning tree T dari G akan mempunyai total jarak d(t ). Dari semua spanning tree T dari G, terdapat spanning tree yang mempuyai jarak d(t ) minimum. Minimum spanning tree merupakan suatu permasalahan dalam suatu graph yang aplikasinya banyak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Salah satu contoh aplikasi secara langsung adalah permasalahan pemasangan jaringan dengan meminimasi jumlah penggunaan kabel atau pipa untuk menghubungkan bangunan secara bersamaan (connected). Untuk aplikasi secara tidak langsung termasuk seperti mereduksi data storage dan cluster analisys. Beberapa per-

17 masalahan jaringan juga bisa direduksi ke dalam permasalahan minimum spanning tree kemudian diselesaikan dengan cara tersebut. Permasalahan minimum spanning tree juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan graph yang lain, seperti travelling salesman problem (TSP). Hasil literatur memberikan informasi bahwa penelitian tentang penggunaan suatu algoritma untuk menentukan minimum spanning tree dan implementasinya pada suatu graph berbobot pernah dilakukan oleh sejumlah peneliti, yaitu Gloor et al., (1993) memperkenalkan pembuktian kebenaran suatu algoritma dengan melakukan visualisasi. Greenberg (1998) membandingkan algoritma Prim dan algoritma Kruskal dalam mencari minimum spanning tree dengan menggunakan graph yang terhubung dengan bobot tidak negative pada sisi-sisinya. Pop dan Zelina (2004) melakukan penelitian dengan menyajikan algoritma waktu eksponensial untuk graph tidak berarah yang memiliki simpul-simpul n yaitu algoritma heuristik berbasis kruskal, algoritma heuristic berbasis prim, dan algoritma heuristic berbasis pendekatan global-lokal.