SEKILAS TENTANG GRAPH. Oleh: Baso Intang Sappaile

Transkripsi

1 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: SEKILAS TENTAN RAPH Oleh: Baso Intang Sappaile Abstrak. Suatu raph terdiri dari suatu himpunan tak kosong yang unsurunsurnya masing-masing disebut titik (vertex) dan suatu himpunan pasangan titik-titik yang tidak harus berurutan disebut sisi (edge). raph isomorfik dengan graph 2 (ditulis 2), jika ada pemetaan yang satu-satu dan pada (bijektif) dari V() ke V(2) yang melestarikan sifat keterhubungan langsung, yaitu u dan v di dihubungkan oleh k sisi jika dan hanya jika (u) dan (v) di 2 dihubungkan oleh sisi k. dan 2 dua buah graph dikatakan sama, jika isomorfik dengan 2. Suatu Jalan (u,v) pada adalah suatu lintasan vo e v e2 v2... vn- en vn, dengan vo = u, vn = v, vi berupa titik, ei berupa sisi, dan ei menghubungkan vi- dan vi. Jika semua sisi pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut trail dan jika semua titik pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut lintasan (path). Jika suatu jalan (vo,vo) = vo e v e2 v2... vn- en vo, dengan semua vo, v, v2,..., vn- berbeda dan semua e, e2,..,en berbeda, maka jalan tersebut disebut sikel. Kata Kunci: raph, titik, sisi. A. PENDAHULUAN Teori graph merupakan salah satu pokok bahasan dalam matakuliah matematika diskrit. Matematika diskrit termasuk matakuliah yang relatif baru yang ada dalam kurikulum perguruan tinggi. Di samping itu, dalam BPP SMU 994, teori graph juga merupakan salah satu pokok bahasan yang diajarkan di kelas II SMA. Namun, relatif banyak guru dan dosen yang belum memahami secara mendalam tentang graph walaupun telah diadakan pelatihan kepada tenaga dosen LPTK negeri dan maupun swasta. Problem jembatan Konigsberg merupakan salah satu contoh graph. Di kota Konigsberg terdapat tujuh jembatan yang melintasi sungai Pregel. Jembatan-jembatan tersebut menghubungkan dua pulau kecil yang ada di tengah sungai serta daerah pinggir sungai di sekitar pulau tersebut. Keberadaan jembatan-jembatan itu menimbulkan suatu pertanyaan di antara penduduk kota itu, yaitu mungkinkah kita melewati ketujuh jembatan tersebut secara kontinu tanpa ada satu jembatanpun yang dilewati dua kali? ambar memperlihatkan situasi ketujuh jembatan yang ada di kota tersebut dengan A, B, C, dan D menyatakan daratan yang menghubungkan Dr. Baso Intang Sappaile, M.Pd. Dosen Pascasarjana UNM Makassar.

2 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: jembatan-jembatan tersebut. Situasi tersebut, model graph ditunjukkan pada ambar 2 berikut. B A C br. Jembatan Konigsberg & Sungai Pregel D br 2. raph dari gbr- Berkaitan dengan hal tersebut, maka dalam tulisan ini secara garis besar akan dibahas tentang graph. Berikut, akan dikemukakan definisi graph, graph sederhana, keterhubungan, graph komplit, graph bipartisi, hutan, dan graph Euler. B. PEMBAHASAN. Definisi raph Suatu raph terdiri dari suatu himpunan tak kosong yang unsur-unsurnya masing-masing disebut titik atau simpul (vertex) dan suatu himpunan pasangan titik-titik yang tidak harus berurutan disebut sisi (edge). Himpunan titik di graph dinyatakan dengan V() dan himpunan sisi di dinyatakan dengan E(). Banyaknya titik pada graph dilambangkan V(), sedang banyaknya sisi pada graph dilambangkan E(). raph dilambangkan = (V,E). Jika u dan v dua titik di dan e = uv sisi di, maka dikatakan: e menghubungkan u dan v. u dan v terhubung langsung, u terkait (incident) dengan e, e terkait (incident) dengan u, u dan v disebut titik-titik ujung dari e 2. raph Sederhana Dua sisi atau lebih yang menghubungkan satu pasang titik disebut sisirangkap. Sisi yang titik ujungnya sama disebut loop. raph tanpa sisi rangkap dan tanpa loop disebut graph sederhana (simple graph). Contoh : a Loop c 2 3 b

3 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: , 2 dan 4 adalah graph tidak sederhana 3 adalah graph sederhana. V(3) = {a, b, c} V(3) = 3 E(3) = {ab, ac, bc} E(3) = 3 Misalkan suatu graph dengan himpunan titik V() dan himpunan sisi E(). Suatu graph bagian (subgraph) dari adalah suatu graph yang setiap titiknya adalah anggota V() dan setiap sisinya adalah anggota E(). Jika H suatu graph bagian dari dan V(H) = V(), maka H disebut graph bagian rentangan (sapanning subgrap) dari. Contoh 2: v v2 v2 v2 v3 v4 v5 v4 v5 v4 v6 v7 v6 v7 v6 v7 H H2 v v2 H adalah graph bagian dari v3 v4 v5 H2 bukan graph bagian dari v6 v7 H3 graph bagian rentang dari H3 Misalkan suatu graph dengan e sisi di, -e adalah graph bagian dari dengan V(-e) = V() dan E(-e) = E() - {e}. Suatu jembatan (bridge) pada suatu graph terhubung adalah suatu sisi e di sehingga -e tak terhubung.

4 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: Derajat Titik Derajat suatu titik v di, dinyatakan dengan d(v), adalah banyaknya sisi di yang terkait dengan v, masing-masing loop dihitung sebagai dua sisi yang terkait dengan v. Contoh 3: s t d(t) = 2 d(w) = d(s) = 2 d(u) = 2. d(v) = 3 u v w 2.2 Barisan Derajat (degree squence) Barisan derajat dari suatu graph adalah suatu barisan bilangan d, d2, d3,..., dn, n = V(), sehingga titik-titik di dapat diberi nama v, v2, v3,..., vn dengan d(vi) = di, i =, 2, 3,...,n. Barisan derajat graph pada contoh-3 adalah 2, 2, 3,, 2. Suatu graph yang semua titiknya berderajat sama disebut graph beraturan (regular graph). Suatu graph diakatakan beraturan-r jika setiap titiknya berderajat r. Contoh 4: beraturan beraturan- Pada suatu graph, masing-masing sisi bertitik ujung dua, sewaktu derajat titik-titiknya dijumlahkan masing-masing sisi dihitung dua kali. Diperoleh lema sebagai berikut. 2.3 Lema jabat tangan Jumlah semua derajat titik pada suatu graph adalah dua kali banyak sisi (d(v) = 2 E()). Akibat dari lema jabat tangan adalah sebagai berikut. () Jumlah semua derajat titik pada suatu graph adalah genap (2) Pada suatu graph, banyak titik berderajat ganjil adalah genap

5 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: (3) Jika suatu graph beraturan-r, maka E() = 2 nr sisi. 2.4 Isomorfisma raph isomorfik dengan graph 2 (ditulis 2) jika ada pemetaan yang satu-satu dan pada (bijektif) dari V() ke V(2) yang melestarikan sifat keterhubungan langsung, yaitu u dan v di dihubungkan oleh k sisi jika dan hanya jika (u) dan (v) di 2 dihubungkan oleh sisi k. Untuk graphgraph yang titik-titiknya tidak bernama, dua graph dikatakan sama jika keduanya isomorfik. Contoh 5: u a d t v w b c 2 dan 2 isomorfik, karena ada suatu pemetaan v yang satu-satu dan pada, : V() V(2) t (t) = c (karena d(t) = 3 dan d(c) = 3) u (u) = d v (v) = a w (w) = b yang melestarikan keterhubungan langsung. H H2 H dan H2 adalah dua graph yang sama. Jelas, jika 2, maka 2V() = 2V(2) dan E() = E(2).

6 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: Keterhubungan (Connectivity) Matriks Keterhubungan Langsung dan Matriks Keterkaitan. Misalkan suatu graph tanpa loop dengan V() = {v,v2,...,vn} dan E() = {e, e2,..., em}. Matriks keterhubungan langsung dari adalah suatu matriks n x n A() = (aij) dengan aij menyatakan banyak sisi yang menghubungkan vi dan vj. Matriks keterkaitan dari adalah suatu matriks n x m I() = (aij) dengan, jika vi terkait dengan ej aij =, jika vi tidak terkait langsung dengan ej. Contoh 6: v e4 v4 e e6 e3 v2 e5 e2 v3 Matriks keterhubungan langsung dari adalah A(): A () 3 2 Matriks keterkaitan dari adalah I(): I () 3. Lintasan (path) dan Sikel (cycle) Misalkan u dan v adalah dua titik (tidak harus berbeda) di suatu garph. Suatu Jalan (walk) (u,v) pada adalah suatu lintasan vo e v e2 v2... vn- en vn, dengan vo = u, vn = v, vi berupa titik, ei berupa sisi, dan ei menghubungkan vi- dan vi. Pada jalan tersebut bilangan n menyatakan panjang jalan. Kadangkadang, kalau tidak timbul masalah, ditulis uv = vo v v2... vn. Lebih lanjut, (u,v) dikatakan menghubungkan u dan v, u dan v disebut titik-titik ujung.

7 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: Jika u = v, maka (u,v) disebut jalan tertutup (closed walk). Jalan yang tidak memuat sisi disebut jalan trivial. Jika semua sisi pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut trail. Jika semua titik pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut lintasan (path). Suatu sikel adalah suatu jalan (vo,vo) = vo e v e2 v2... vn- en vo, dengan semua vo, v, v2,..., vn- berbeda dan semua e, e2,..,en berbeda. Suatu sikel dikatakan genap (ganjil) jika panjangnya genap (ganjil). Contoh 7: v2 v2 v2 v v3 v v3 v v3 v6 v4 v6 v4 v6 v4 v5 v5 v5 2 3 : vv2v3v4v5v6v adalah trail 2: vv2v3v4v5v6 adalah lintasan 3: vv2v3v3v4v5v6v adalah jalan 4. raph komplit raph komplit adalah graph sederhana dengan setiap pasang titik yang berbeda dihubungkan oleh satu sisi. raph komplit dengan n titik dinyatakan dengan Kn. Contoh 8: K K2 K3 K4 K5 raph yang hanya terdiri dari satu titik disebut graph trivial. raph kosong adalah graph yang tidak mempunyai sisi. Contoh 9: : graph trivial, 2, 3, dan 4: graph kosong.

8 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: raph Bipartisi raph bipartisi adalah graph yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masing-masing sisi di menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y; X dan Y disebut himpunan partisi. Contoh : u u2 u3 u4 v v2 v3 v4 v5 V() = {u,u2,u3,u4,v,v2,v3,v4,v5} X = {u,u2,u3,u4} Y = {v,v2,v3,v4,v5} v v3 v2 v4 v7 v5 H v6 v8 V(H) = {v,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8} X = {v,v2,v3,v4} Y = {v5,v6,v7,v8} raph bipartisi komplit adalah graph bipartisi dengan himpunan partisi X dan Y serta masing-masing titik di X dihubungkan dengan masing-masing titik di Y oleh tepat satu sisi; jika X = m dan Y= n; m,n banyaknya titik graph bipartisi tersebut dinyatakan dengan Km,n. raph K,n disebut bintang. Contoh : K,3 K2,2 K3,2 K3,3

9 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: raph sikel adalah graph yang terdiri dari satu sikel. raph sikel dengan n titik (panjangnya n) dinyatakan dengan Cn. Contoh 2: vn v v2 v3 Vn- v4 C C2 C3 Cn raph path adalah graph yang terdiri dari satu path. raph path dengan banyaknya n dinyatakan dengan Pn. Contoh 3: v v2 v3 v4 vn P P2 P3 Pn 6. Hutan Hutan adalah graph yang yang tidak memuat sikel. raph yang tidak memuat sikel dan terhubung disebut pohon. Contoh 4: 2 : hutan 2: pohon yang tentu saja juga berupa hutan. Misalkan graph sederhana. Komplemen dari dinyatakan dengan, adalah graph sederhana dengan himpunan titik V() = V( ) dan dua titik terhubung langsung jika dan hanya jika keduanya tidak terhubung langsung di. Kadang-kadang komplemen dari dinyatakan dengan c.

10 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: Contoh 5: v v2 v v2 v4 v3 v4 v3 Komplemen dari Kn adalah graph kosong dengan n titik. Oleh karenanya graph kosong dengan n titik dapat dinyatakan dengan Kn. K 4 K 3 K raph dikatakan komplemen diri jika. Contoh 6: v v2 v v2 v4 v3 v4 v3 7. raph Euler Misalkan suatu graph. Suatu trail Euler pada adalah suatu trail yang memuat setiap sisi di. disebut graph Euler (Eulerian) jika memuat suatu trail Euler yang tertutup. memuat trail tidak tertutup jika dan hanya jika memuat dua dan hanya dua titik berderajat ganjil. Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa disebut graph Euler, jika terhubung, dan setiap titik di berderajat genap.

11 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: Contoh 7: 2 : bukan raph Euler 2: graph Euler C. KESIMPULAN. Suatu raph terdiri dari suatu himpunan tak kosong yang unsur-unsurnya masing-masing disebut titik (vertex) dan suatu himpunan pasangan titik-titik yang tidak harus berurutan disebut sisi (edge). 2. Suatu graph yang semua titiknya berderajat sama disebut graph beraturan (regular graph). Jika suatu graph beraturan-r, maka E() = nr sisi raph isomorfik dengan graph 2 (ditulis 2) jika ada pemetaan yang satu-satu dan pada (bijektif) dari V() ke V(2) yang melestarikan sifat keterhubungan langsung, yaitu u dan v di dihubungkan oleh k sisi jika dan hanya jika (u) dan (v) di 2 dihubungkan oleh sisi k. dan 2 dua buah graph dikatakan sama, jika isomorfik dengan Suatu Jalan (u,v) pada adalah suatu lintasan vo e v e2 v2... vn- en vn, dengan vo = u, vn = v, vi berupa titik, ei berupa sisi, dan ei menghubungkan vi- dan vi. Jika semua sisi pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut trail dan jika semua titik pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut lintasan (path). Jika suatu jalan (vo,vo) = vo e v e2 v2... vn- en vo, dengan semua vo, v, v2,..., vn- berbeda dan semua e, e2,..,en berbeda, maka jalan tersebut disebut sikel. 5. raph bipartisi adalah graph yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masing-masing sisi di menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y; X dan Y disebut himpunan partisi.

12 Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: DAFTAR PUSTAKA Michael Townsend, 987. Discrete Mathematics: Applied Combinatorics and raph Theory, Columbia. Samuel Wibisono, 24. Matematika Diskrit. Yogyakarta: raha Ilmu.