Graph. Matematika Informatika 4. Onggo

Transkripsi

1 Matematika Informatika 4 Onggo

2 Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2

3 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu graph simple G(V,E) mengandung V, sebuah himpunan tak-kosong yang berisi vertexvertex, dan E, sebuah himpunan berisi pasangan berurut dari anggota V yang berbeda, disebut dengan edge. 3

4 Jenis-jenis Contoh: p q a e 1 b e 1 e 2 e 2 t e 3 r G c e 4 H s V = {a, b, c} V = {p, q, r, s, t} E = {e 1, e 2 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4 } 4

5 Jenis-jenis Contoh: Multiple / parallel edges 6

6 Jenis-jenis Contoh : Loop 7

7 Istilah dalam Definisi 4: Dua vertex u dan v dalam suatu graph G disebut beradjacent (atau bertetangga) di G jika {u, v} adalah suatu edge pada G. Jika e = {u, v}, maka edge e disebut incident dengan vertex u dan v. Edge e juga disebut menghubungkan u dan v. Vertex u dan v disebut endpoints dari edge {u, v}. 8

8 Istilah dalam Definisi 5: Degree dari suatu vertex pada sebuah graph adalah banyaknya edge yang incident dengan vertex tersebut. Degree dari vertex v dinotasikan dengan deg(v). 9

9 Istilah dalam Contoh: b c d a deg(a) = 2 deg(b) = 4 deg(c) = 4 deg(d) = 1 deg(e) = 3 deg(f) = 4 f e g deg(g) = 0 10

10 Istilah dalam Teorema 1 (The Handshaking Theorem): Misalkan G = (V,E) adalah suatu graph dengan edge sebanyak e, maka 2e deg( v) v V Bukti: yaitu jumlah dari degree setiap vertex sama dengan dua kali banyaknya edge pada graph tersebut. Karena setiap edge menghubungkan 2 vertex. 11

11 Istilah dalam Contoh : Berapa banyak edge yang terdapat pada suatu graph dengan 10 vertex yang masing-masing berdegree 6? Jawab: karena jumlah dari degree vertex sebesar 6 10 = 60, artinya 2e = 60. e = 30. Sehingga, banyaknya edge pada graph tersebut adalah 30 edge. 12

12 Istilah dalam Teorema 2: Bukti: Suatu graph (tidak berarah) memiliki sejumlah genap vertex yang berdegree ganjil. dari teorema 1, 2e = v V deg (v) 2e = deg (v) + deg (v) v V 1 v V 2 genap = [ganjil+...+ganjil] + [genap+...+genap] agar persamaan ini berlaku, maka [ganjil+...+ganjil] harus ada sebanyak genap suku. 13

13 Beberapa Simple Khusus 1. Complete [K n ] adalah graph simple yang mengandung tepat satu edge untuk setiap pasang vertex yang berbeda.? K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 14

14 Beberapa Simple Khusus 2. Cycles [C n, n 3] graph cycles C n, mengandung n vertex v 1, v 2,..., v n dan edge {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 },..., {v n-1, v n }, {v n, v 1 }. C 3 C 4 15

15 Beberapa Simple Khusus 3. Wheels [W n, n 3] graph wheel W n, diperoleh dengan menambahkan sebuah vertex pada graph cycle C n lalu menghubungkan vertex baru ini ke setiap vertex yang ada pada C n, dengan menambahkan edge-edge baru. WC 3 WC 4 16

16 Beberapa Simple Khusus 4. Bipartite suatu graph simple G = (V,E) disebut bipartite jika himpunan vertex V dapat dipartisi menjadi dua himpunan takkosong yang saling lepas V 1 dan V 2 sedemikian hingga setiap edge pada graph menghubungkan sebuah vertex di V 1 dan sebuah vertex di V 2 (tapi tidak ada edge yang di G yang menghubungkan setiap pasang vertex di masingmasing V 1 atau di V 2 ). 17

17 Beberapa Simple Khusus Contoh Apakah C 6 bipartite? Ternyata, C 6 merupakan suatu graph bipartite. C 6 C 6 18

18 Beberapa Simple Khusus Exercise Are the graphs G and H bipartite? G H 19

19 Beberapa Simple Khusus 5. Complete Bipartite complete bipartite K m,n adalah graph yang himpunan semua vertexnya terpartisi ke dalam dua subset. Sehingga ada sebuah edge yang menghubungkan dua vertex jika dan hanya jika vertex pertama terdapat di suatu subset dan vertex kedua di subset lainnya. 20

20 Beberapa Simple Khusus Contoh Beberapa graph complete bipartite. K 2,3 K 3,3 21

21 Modifikasi Definisi 1: Suatu subgraph dari sebuah graph G = (V,E) adalah sebuah graph H = (W,F) dengan W V dan F E. Contoh: K 4 Sebuah subgraph dari K 4 22

22 Modifikasi Definisi 2: Gabungan dari dua graph simple G 1 = (V 1,E 1 ) dan G 2 = (V 2,E 2 ) merupakan suatu simple graph dengan himpunan vertex V 1 V 2 dan himpunan edge E 1 E 2. Gabungan dari graph G 1 dan G 2 dinotasikan dengan G 1 G 2 23

23 Modifikasi Contoh b c b c e a d a d G 1 b c e G 2 a G 1 G 2 d 24

24 Representasi dan Isomorfisma 25

25 Daftar Adjacency Contoh b c e Gunakan daftar adjacency untuk merepresentasikan simple graph G 1. a d Vertex Beradjacent dengan G 1 a b b a, c c b, d, e d c, e e c, d 26

26 Matriks Adjacency Definisi 1: Jika A = [a ij ] merupakan suatu matrix adjacency dari graph G, maka a ij = 1 jika {v i, v j } adalah suatu edge di G = 0 lainnya 27

27 Matriks Adjacency Contoh Gunakan matriks adjacency untuk merepresentasikan graph G 1. b c e a b c d e a b c d e a G 1 d 28

28 Matriks Incidence Definisi 2: Jika M = [m ij ] merupakan matriks incidence dari graph G, maka m ij = 1 jika edge e j berincident dengan vertex v i = 0 lainnya 29

29 Matriks Incidence Contoh Gunakan matriks incidence untuk merepresentasikan graph G 1. b e 1 e 2 e 3 c e 4 e 5 e a b c d e e 1 e 2 e 3 e 4 e a G 1 d 30

30 Path & Circuit Definisi 1 Sebuah path sepanjang n dari u ke v, pada suatu graph adalah suatu barisan edge e 1,, e n pada graph sedemikian hingga f(e 1 ) = {x 0,x 1 }, f(e 2 ) = {x 1,x 2 },, f(e n ) = {x n-1,x n }, dengan x 0 = u dan x n = v. 31

31 Path & Circuit Catatan Suatu path disebut sebagai circuit jika dimulai dan diakhiri pada vertex yang sama, yaitu jika u = v. Suatu path atau circuit disebut simple jika tidak mengandung edge yang sama lebih dari satu kali. Suatu path atau circuit disebut melewati or melintasi vertex-vertex x 1, x 2,, x n-1. 32

32 Path & Circuit Contoh a b c G d e f a, d, c, f, e merupakan suatu simple path dengan panjang 4 sebab {a, d}, {d, c}, {c, f}, dan {f, e} semuanya merupakan edge. d, e, c, a bukan suatu path, sebab {e, c} bukan edge. b, c, f, e, b merupakan suatu circuit dengan panjang 4 sebab {b, c}, {c, f}, {f, e}, dan {e, b} adalah edgenya. 33

33 Terhubung Definisi 2 Suatu graph disebut terhubung jika terdapat suatu path antara setiap pasang vertex yang berbeda pada graph tersebut. Teorema 1 Terdapat suatu simple path di antara setiap pasang vertex yang berbeda dari suatu graph yang terhubung. 34

34 Terhubung Catatan Penghapusan sebuah vertex yang disebut cut vertex (titik artikulasi) dari suatu graph terhubung akan menghasilkan sebuah subgraph dengan komponen terhubung yang lebih banyak dari graph aslinya. Penghapusan suatu edge yang disebut cut edge ( jembatan) dari suatu graph terhubung menghasilkan sebuah subgraph dengan komponen terhubung yang lebih banyak dari graph aslinya. 35

35 Terhubung Contoh: a d f g b G c e h Cut vertex dari graph G adalah b, c dan e. Cut edge dari graph G adalah {a,b} dan {c,e}. 36

36 Isomorfisme Definisi Simple graph G 1 = (V 1,E 1 ) dan G 2 = (V 2, E 2 ) disebut isomorfis jika terdapat suatu fungsi bijektif f dari V 1 ke V 2 dengan sifat bahwa a dan b beradjacent di G 1 jika dan hanya jika f(a) dan f(b) beradjacent di G 2, untuk setiap a dan b di V 1. Fungsi f yang seperti ini disebut suatu isomorfisma. 37

37 Isomorfisme Contoh Tunjukkan bahwa graph G(V, E) dan H(W,F) isomorfis. u 1 u 2 v 1 v 2 u 3 G u 4 v 3 H v 4 38

38 Isomorfisme Jawab Fungsi F dengan: f(u 1 ) = v 1, f(u 2 ) = v 4, f(u 3 ) = v 3, f(u 4 ) = v 2 adalah suatu pemetaan bijektif dari V ke W. u 1 u 2 v 1 v 2 u 3 G u 4 v 3 H v 4 39

39 Isomorfisme Contoh Tunjukkan bahwa graph G(V, E) dan H(W,F) tidak isomorfis. b b a c a c e G d e H d 40

40 Isomorfisme Jawab Perhatikan banyaknya edge & vertex. Perhatikan degree dari setiap vertex. b b a c a c e G d e H d 41