INFERENSI VEKTOR RATA RATA Dsusu utuk memeuh salah satu tugas mata kulah multvarat Dsusu oleh: Ast Aula Rahma (6796) Khaerusa Mahmudah (69) Lucky Heryat Jufr (673) Rsa Nur Vauzyah (6933) Syfa Isa (66) PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 9
KATA PENGANTAR Pu da syukur kehadrat Allah SWT yag telah melmahka rahmat da karuaya sehgga eyusu daat meyelesaka makalah dega bak. Salam da salawat selalu tercurahka keada uuga kta ab besar Muhammad SAW. Pada makalah aka dbahas megea feres vektor rata rata ada ormal multvarat. Peyusu meyadar bahwa dalam makalah mash terdaat bayak kekuraga. Peyusu megharaka krtk da sara dem kesemuraa dalam eyusua makalah selautya. Akhr kata semoga makalah daat bermafaat bag eyusu da ara embaca ada umumya. Badug, Ju 9 Peyusu
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah. Permasalaha.3 Tuua Peulsa.4 Metode Peulsa.5 Sstematka Peulsa BAB II LANDASAN TEORI. Matrks Dsers. Dstrbus Normal Multvarat.3 Beberaa Dstrbus Statstk BAB III ISI 3. Plausblty dar BAB IV PENUTUP 4. Kesmula...5 4. Sara...5 DAFTAR PUSTAKA...6
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Ketka kta megguaka statstka utuk megu hotess maka mucullah dua macam hotess berua hotess eelta da hotess statstka. Teatya hotess eelta kta rumuska kembal mead hotess statstka yag seada. Hotess statstka harus mecermka dega bak maksud dar hotess eelta yag aka du. Pada hakkatya ada dua es hotess statstka. Jes ertama adalah aabla data kta berua oulas yag kta eroleh melalu sesus. Dega data oulas, hotess statstka cuku berbetuk H. Tdak derluka hotess H. Msalya dalam hal rerata, hotess statstka tu berbetuk H: > 6. Jka data oulas memlk rerata d atas 6 maka hotess dterma da ka tdak maka hotess dtolak. Karea seluruh oulas sudah dlhat maka keutusa mead keasta. Jes kedua adalah aabla data kta berua samel yag kta eroleh melalu earka samel. Basaya samel tu berua samel acak, bak dega cara egembala mauu dega cara taa egembala. Dega data samel, hotess statstka mead H da H. Msalya dalam rerata, hotess statstka tu berbetuk H : 6 da H : > 6. Syaratya adalah tadaya lha ketga. Dalam hal data samel, serg terad bahwa hotess eelta drumuska kembal mead H. Pegua hotess dlakuka melalu eolaka H. Selautya dega syarat tdak ada lha ketga ada hotess, maka eolaka H daat dartka sebaga eermaa H. Jad egua hotess eelta dlakuka melalu cara tak lagsug yak melalu eolaka H da melalu tadaya lha ketga ada hotess. Dalam makalah aka dbahas egua hotess tetag erbedaa atara vektor rata-rata da vektor kosta. Mr halya dega egua hotess ada stuas uvarat. tetag erbedaa atara rata-rata da kosta. Pada stuas multvarat uga derluka syarat-syarat agar rumus-rumus utuk egua hotess tu berlaku. Pada egua hotess utuk uvarat dsyaratka bahwa oulas yag bersagkuta berdstrbus ormal. Sesua dega tu, ada egua hotess utuk multvarat dsyaratka bahwa oulas yag bersagkuta berdstrbus ormal multvarat.
Utuk memeroleh metode utama dalam meetuka feres dar samle, kta aka memerluas kose terval keercayaa uvarat mead daerah keercayaa multvarate. Berdasarka eelasa ada bab sebelumya, telah delaska feres samel dega megguaka t erval T smulta. Namu sergkal kta uma terval yag lebh edek utuk blaga m yag kecl, yatu ketka m. Dalam hal, aka lebh mudah utuk megguaka da meetaka terval keercayaa yag relatf edek, yag dbutuhka utuk membuat kesmula (ferece). Ketka ukura samel besar, egua hotess da daerah keercayaa utuk daat dkostruks taa aggaa ormaltas. Utuk umlah besar, kta daat membuat taksra tetag rata-rata oulas mesku dstrbus awalya adalah dskrt. Masalah la yag tmbul adalah ketka beberaa la observas hlag. Pegestmasa terhada la yag hlag erlu dlakuka utuk memermudah egolaha da meemuka statska cukuya.. Permasalaha.. Rumusa Masalah. Pada dasarya egua hotess vektor rata-rata olulas multvarat membahas megea hubuga atara vektor rata-rata oulas multvarat dega kosstestas data. Oleh karea tu rumusa makalah yag daat dambl adalah aakah suatu vektor rata-rata oulas multvarat aka selalu kosste dega data yag dmlk?. Perbedaa egua hotess dega megguaka maksmum lkelhood da hottelg T ada ormal multvarate. 3. Meetaka terval keercayaa yag lebh edek dar hotellg T, yatu dega metode baferro. 4. Meetuka terval utuk samel besar 5. Megetahu cara estmas da redks dar beberaa observas yag hlag... Pembatasa masalah Dalam makalah, masalah yag dbahas aka membahas egua hotess vektor rata-rata oulas multvarat serta ladasa teor yag medukugya.
.3 Tuua Peulsa Tuua dar eulsa makalah adalah utuk megetahu dega melakuka egua hotess aakah vektor rata-rata oulas meruaka sebuah la lausble utuk rata-rata oulas ormal. Perbedaa egua hotess dega megguaka maksmum lkelhood da hottelg T ada ormal multvarate.meetaka terval keercayaa yag lebh edek dar hotellg T, yatu dega metode baferro. Meetuka terval utuk samel besar. Megetahu cara estmas da redks dar beberaa observas yag hlag..4 Metode Peulsa Metode yag dguaka dalam eulsa makalah yatu stud ustaka yag yag dlakuka d erustakaa da teret..5 Sstematka Peulsa Sstematka eulsa makalah yatu : a. BAB I Pedahulua terdr dar latar belakag masalah, rumusa masalah da embatasa masalah, tuua eulsa, metode eulsa da sstematka eulsa; b. BAB II Ladasa teor yag bers matrks dsers, dstrbus ormal multvarat, da beberaa dstrbus statstk. c. BAB III Is yag membahas megea egua hotess aakah vektor rata-rata oulas meruaka sebuah la lausble utuk rata-rata oulas ormal. Perbedaa egua hotess dega megguaka maksmum lkelhood da hottelg T ada ormal multvarate.meetaka terval keercayaa yag lebh edek dar hotellg T, yatu dega metode baferro. Meetuka terval utuk samel besar. Megetahu cara estmas da redks dar beberaa observas yag hlag. d. BAB IV Peutu yag bers kesmula da sara.
BAB II LANDASAN TEORI. Matrks Dsers Pada stuas uvarat, ka varabel acak memuya daerah harga (atau lalaya adalah),,, K,, K,, maka rata-rataya adalah da N N. varasya adalah ( ) Jka dar la-la yag mugk tu haya terseda satu samel acakya saa, msalya,, K,, maka rata-rata da varas yag daat dhtug adalah rata-rata da varas samel saa, yag meruaka taksra bag rata-rata da varas tersebut.,, K, Rata-rata samel adalah s ( ). da varas samelya adalah Pada stuas multvarat yag melbatka varabel acak,, K, ; msalka meyataka la ke- dar varabel, dmaa N. L L M M O M N L N N Jka meyataka rata-rata dar varabel, maka daat dsusu matrks rata-rata berorde Nθ θ sesua dega d atas, yatu L L M M O M L
,, K, dmaa N N. Ukura yag mr dega varas-kovaras, dega rumus Σ ( ) ( ) Daat dhtug: adalah Σ yag dsebut matrks dsers atau matrks L L Σ M M O M L N r N r dmaa ( ) N N k s tk k N t s ( )( ). Telah kta keal bahwa da dsebut varas dar sedag k dsebut kovaras atara k. Itulah sebabya maka Σ dsebut matrks varas-kovaras dar. Seert yag telah dtuukka dalam bab, Σ A, dmaa A adalah matrks Jumlah N Kuadrat da Hasl Slag (JKHS) dar, da daat dtuukka bahwa JKHS() A ( ) ( ) Σ ΣΣ L ΣΣ ΣΣ Σ L ΣΣ M M O M ΣΣ ΣΣ Σ L
dmaa ( ) N r r N N da ( )( ) k s tk k t s erlu dgat bahwa k ρ ρ k, dmaa ρ koefse korelas atara da ; k smaga baku dar ; smaga baku dar ; kovaras atara da. k k k k Jka la-la dua varabel tersebut haya terseda samel acak la dar ta-ta varabel, maka terdaat matrks data L L M M O M L Taksra utuk matrks rata-rata u adalah rata-rata samel, yatu matrks berorde. L L M M O M L,, K, dmaa Adau taksra utuk matrks dsers, Σ, adalah matrks dsers samel, S,yatu matrks berorde berkut
S ( ) ( ) Σ ΣΣ L ΣΣ ΣΣ Σ L ΣΣ θ M M O M ΣΣ ΣΣ L Σ s s L s s s s θ L M M O M s s s L dmaa ( ) r r k ( s )( tk k ) t s s s varas samel utuk Σ - s kovaras samel atara da k k ΣΣ. - k. Dstrbus Normal Multvarat Varabel acak dkataka berdstrbus Normal dega rata-rata, da varas τ, damaa τ >, ka fugs keadata robabltas dar tertetu oleh rumus f ( ) e, utuk < π < Grafk dar y f() meruaka kurva atau gars legkug, yag lazm dkataka berbetuk loceg (rsa betuk loceg).
Pada stuas mutvarat, terlbat lebh dar satu varabel. Sekelomok varabel (,, K, ) dkataka berdstrbus ormal -varat dega vektor ratarata (,,, ) K da matrks varas-kovaras atau matrks dsers Σ, ka fugs keraata robabltas bersama dar -varabel tu tertetu oleh rumus. (,, K, ) f e Σ dmaa K Σ ( ) ( ) ( π ) (,, K, ) K Σ M Tamak adaya kemra atara rumus fugs keraata robabltas uvarat da multvarat. Pada uvarat : ( ) Σ, dketahu, sehgga ( π ) π, da ( )( ) ( ) K Khususya ka, terdaat
ρ Σ ρ ( ρ ) Σ ; ( ρ ) ρ Σ ρ (, ) K Σ ρ (, ) ρ ρ ( )( ) + ρ Fugs keraata robabltas Normal Bvarat, da rumusya adalah f (, ) e π ρ Q dmaa Q ( )( ) + ρ ρ korelas atara da ; rata-rata dar ; smaga baku dar ; Grafk dar z f (, ) meruaka luasa legkug, mr ermukaa suatu loceg. Kalau luasa legkug dotog dega bdag datar yag seaar dega bdag (, ) maka rsaya adalah suatu els. Els tu tertetu oleh suatu ersamaa berbetuk Q k, atau
( )( ) + k Els demka, utuk harga-harga k yag sesua, meruaka batas daerah eolaka H ada egua hotess dalam Aalss Bvarat da dsebut els keraata sama..3 Beberaa Dstrbus Statstk Pada Statstka Uvarat sudah dkeal sfat bahwa aabla berdatrbus (, ) N, yatu berdstrbus Normal dega rata-rata da varas, maka rata-rata samel, yatu, berdstrbus τ N, ka samel tu adalah samel acak sebesar. Dega kata la berdstrbus Normal Baku ka syarat-syarat tersebut deuh. Salah satu sfat yag telah terbukt secara matemats alah bahwa aabla varabel v berdstrbus Normal Baku, sedag w v, maka w berdstrbus χ dega deraat kebebasa. Berhubug dega tu maka ( ) atau ( )( ) ( ) berdstrbus χ dega deraat kebebasa aabla syarat-syarat tersebut d atas tereuh. Pada stuas multvarat terdaat sfat yag mr dega sfat tersebut. Aabla,,, K berdstrbus Normal Multvarat (, ) N Σ, dmaa (,, K, ), sedag Σ adalah matrks dsers, sedag (,,, ) meyataka vektor rata-rata dar samel acak, da aabla K,
(,, K, ) Σ W M maka W berdstrbus χ dega deraat kebebasa : dmaa meyataka besarya samel. Pada stuas uvarat, aabla tak dketahu maka dstrbus daat dtau dalam hubugaya dega varas samel, yatu bahwa berdstrbus t dega deraat s kebebasa. Juga telah dbuktka bahwa aabla varabel v berdstrbus t dega deraat kebebasa, sedagka ( ). Berhubug dega tu maka (, ) berdstrbus F dega deraat kebebasa (, ). w v, maka W berdstrbus F dega deraat kebebasa S atau ( )( s ) ( ) Pada stuas multvarat terdaat ula sfat yag mr dega tu. Msalka (,, K, ) berdstrbus degavektor rata-rata (,,, ) (,,, ) K, sedag K meyataka vektor rata-rata dar samel acak sebesar, da aabla (,, K, ) W S T dega deraat kebebasa (, ) maka W berdstrbus Hotellg M. Dalam rumus tersebut S adalah matrks dsers samel. Hotellg telah membuktka bahwa aabla varabel W berdstrbus deraat kebebasa (, ) (, ). maka ( ) T, dega W berdstrbus F dega deraat kebebasa
Sfat-sfat dar dstrbus statstk multvarat W tersebut daat dmafaatka utuk megu sgfkas erbedaa atara vektor rata-rata suatu oulas da vektor kosta, atau erbedaa atara vektor-vektor rata-rata dua oulas. Pada stuas uvarat tetag selsh rata-rata dar dua samel acak yag bebas, yatu, dketahu bahwa statstk ( ) ( ) ( ) ( ) s + s + + berdstrbus t dega deraat kebebasa +, aabla a) Samel ertama berasal dar oulas yag berdstrbus Normal, dega rata-rata ; b) Samel kedua berasal dar oulas yag berdstrbus Normal, dega rata-rata ; c) Kedua dstrbus ormal tu memelk varas yag sama; d) besarya samel ertama; besarya samel kedua; e) s varas samel ertama; s varas samel kedua. Maka daat dtulska: t ( ) ( ), atau s + s + + ( ) ( ) ( + ) t s s ( ) ( ) ( ) ( ) + + Jka W t, maka W berdstrbus F dega deraat kebebasa ( ; ) +.
Aabla da berturut-turut meyataka varas dar oulas ertama da oulas kedua, maka ( ) ( ) + berdstrbus Normal Baku; + berdstrbus yag berart bahwa ( ) ( ) kebebasa. Hal berlaku utuk keadaa mauu χ dega deraat Pada stuas multvarat, dstrbus statstk mr dega dstrbus d atas uga ada, asal deuh syarat-syarat yag mr dega stuas uvarat tersebut, yatu a) Poulas ertama berdstrbus Normal -varat dega vektor rata-rata (,,, ) K ; b) Poulas kedua berdstrbus Normal -varat dega vektor rata-rata (,,, ) K ; c) Kedua oulas memlk matrks varas-kovaras yag sama. Jka syarat-syarat tu deuh, da samel ertama memuya vektor rata-rata (,,, ) K da matrks varas-kovaras S, sedag samel kedua memuya vektor rata-rata (,,, ) θ K da matrks varas-kovaras S, da ka W ( ) ( ) S ( ) ( ) θ maka W berdstrbus T dega deraat kebebasa ( ; ) + dmaa ( ) ( ) S S + S +.
+ Hal berart ula bahwa W ( + ) ( ; ) +. berdstrbus T dega deraat kebebasa Jka Σ da Σ, berturut-turut adalah matrks varas-kovaras dar oulas ertama da oulas kedua, bak utuk keadaa Σ Σ mauu utuk keaadaa Σ Σ, maka da berdstrbus Normal -varat dega vektor rata-rata ( ) matrks varas-kovaras Σ Σ + Σ.
Oleh : Khaerusa Mahmudah (69) BAB III 3. Plausblty dar sebaga sebuah la utuk sebuah rata-rata oulas ormal. ISI Kta memula dega meggat kembal teor uvarat utuk meetuka ka sebuah la tertetu adalah la lausble utuk rata-rata oulas. Dar seg adag egua hotess, masalah daat drumuska sebaga suatu u bersag hotess. H : melawa H : Jka,, K, adalah samle acak dar sebuah oulas ormal egua statstk yag sesua adalah ( ) t, θ dmaaθ θ daθ s s ` ( ) ( ) U statstk adalah memuya sebuah dstrbus-t studet s dega deraat kebebasa. Kta tolak H, bahwa adalah sebuah la lausble dar, ka damat t melebh sebuah ttk ersetase tertetu dar sebuah dstrbus dega deraat. Tolak H ketka t berla besar yag ekuvale dega meolak H ka kuadratya, ( ) ( )( ) ( ) t s (3 - ) s berla besar. Varabel t adalah kuadrat arak dar rata-rata samel dega la u. Ut arak yag dyataka dalam eryataa dar s atau smaga baku yag derkraka dar. Ketka da s telah damat, u mead: Tolak H meuu ke H, ada taraf sgfkas α, ka ( )( ) ( ) ( α ) s > t (3 - )
dmaa t ( α ) meadaka batas atas ( ) deraat kebebasa. α th ersetl dar dstrbus-t dega Jka H tdak dtolak, kta meymulka adalah sebuah la lausble utuk ratarata oulas ormal. Aakah la la dar aka selalu kosste dega data? Jawabaya ya! Pada keyataaya selalu sebuah hmua dar la lausble utuk sebuah rata-rata oulas ormal. Dar yag dketahu hubuga atara daerah eermaa utuk u H : melawa H : da terval keercayaa utuk adalah {Jaga meolak H : ada level α } atau t ( α ) s equvale dega terletak ada terval keercayaa α t - α ( ) ± ( ) s atau s s t ( α ) + t ( α ) (3-3) Iterval kofdes memeuh semua la bahwa tdak aka dtolak oleh u dar H :. Sebelum samel dlh, terval kofdes ( α ) % ada (3-3) adalah sebuah terval acak karea ttk akhr tergatug ada varabel acak, da s. Kemugka bahwa terval memeuh adalah α ; atar blaga besar seert terval deede, ( α ) % aka memeuh. Sekarag ertmbagka masalah yag meetuka ka sebuah vektor adalah sebuah la lausble utuk rata-rata dar sebuah dstrbus ormal multvarat. Kta aka berroses oleh aalog dar egembaga uvarat
Suatu geeralsas kuadrat arak ada (3 - ) adalah aalog multvarat T S ( ) ( ) ( ) S ( ) (3-4) dega ` ( ), θ S ( )( ), θ da ( ) ( ) M Statstk T damaka Hotellg s T sebaga eghormata ada Harold Hotellg, seorag eloor dalam aalss multvarat, yag ertama megamat dstrbus samlg. Ds ( ) S adalah eaksr matrk kovaras dar. Hal sesua dega teorema akbat yag meyataka Dberka,, K, adalah sebuah samel acak dar dstrbus gabuga yag memuya rata-rata vektor da kovaras matrks Σ. Maka adalah estmator takbas dar da kovaras matrksya adalah Σ Jka damat umumya arak T terlalu besar sehgga terlalu auh dar maka hotess H : aka dtolak. Pada lagkah berkutya tabel khusus dar ersetase ttk T tdak derluka utuk u formal hotess. I bear karea ( ) ( ) F T aka berdstrbus, (3-5) dmaa F, meruaka sebuah varabel acak dega deraat kebebasa da -.
Utuk mergkas, dsaka sebaga berkut: ( ) ( ) ( ) P T > F, - ( Σ) Dberka,, K, sebuah samel dar sebuah oulas N,. ( )( ) Maka dega da S, α, - ( α ) ( ) ( ), - ( ) ( ) - P ( ) S ( ) > F ( α ) (3-6) aau yag bear da Σ. Ds F α adalah batas atas α th ersetl dar dstrbus F., - Peryataa (3-6) meuuka sebuah u utuk hotess H : melawa H :. Pada taraf sgfkas α, tolak H meuu H ka ( ) ( ) ( ) ( ) α T S > F, ( ) (3-7) Pada baga sebelumya kta gambarka cara dmaa dstrbus Wshart geeralsas dstrbus Ch-kuadrat. Daat dtuls T yag maa berbetuk ( )( ) ( ) ( ) vektor acak matrk acak Wshart vektor acak ormal multvarat deraat kebebasa ormal multvarat I beraalog ada atau ( )( ) ( ) t s
varabel varabel acak Ch-kuadrat varabel acak ormal deraat kebebasa acak ormal utuk kasus uvarat. Karea ormal multvarat da varabel acak Wshart berdstrbus deede, dega fugs destas gabugaya dar roduk ormal margal da dstrbus Wshart. Dega megguaka kalkulus, dstrbus daat deroleh dalam betuk dstrbus gabuga. T seert tersebut datas Adalah arag, dalam keadaa multvarat, s dega sebuah u H :, dmaa semua komoe vektor rata-rata adalah tertetu dbawah hotess ol. Basaya lebh bak mecar daerah dar la sehgga lausble utuk memecah data yag damat. Cotoh 3. Dberka data matrk utuk sebuah samel acak berukura 3 dar sebuah oulas ormal bvarat 6 8 9 6 3 Evaluas yag damat dar kasus? Solus 9,5 da α.5 T utuk [ ]. Aakah dstrbus samlg 6 + + 8 3 8 9 + 6 + 3 6 3 da
s s s ( 6 8) + ( 8) + ( 8 8) 4 ( 6 8)( 9 6) + ( 8)( 6 6) + ( 8 8)( 3 6) 3 ( 9 6) + ( 6 6) + ( 3 6) 9 ad sehgga da 4 3 S 3 9 9 3-3 9 S 4 ( 4)( 9) ( 3)( 3 ) 3 4 9 7 8 9 3 9 9 T 3[ 8 9, 6 5] 3[,] 4 9 7 6 5 7 7 9 Sebelum samel dlh, T memlk dstrbus dar sebuah varabel acak Tolak H ka maka ( ) ( 3 ) ( ) ( ) T >, 3 F.5 4 F.5 4 99.5 798 F ( ) ( ) ( ), 3, ( α ) H dterma sehgga [ ] oulas ormal. Cotoh 3.. Karea T ( ) ( 3 ) 3.778 < 798 F.5, 3 9,5 adalah sebuah la lausble utuk rata-rata Persras dar wata sehat daalss. Tga komoe, sweat rate, sodum cotet, da 3 otassum cotet, telah dukur da dla. U hotess H : [ 4,5,] melawa : [ 4,5,] dataya dberka ada tabel berkut: ( ) H ada taraf sgfkas α.. Utuk
TABEL 3. SWEAT DATA Idvdual 3 ( Sweat rate ) ( Sodum ) ( Potassum) 3.7 48.5 9.3 5.7 65. 8 3 3.8 47..9 4 3. 53. 5 3. 55.5 9.7 6 4.6 36. 7.9 7.4 4.8 4 8 7. 33. 7.6 9 6.7 47.4 8.5 5.4 54..3 3.9 36.9.7 4.5 58.8.3 3 3.5 7.8 9.8 4 4.5 4. 8.4 5.5 3.5. 6 8.5 56.4 7. 7 4.5 7.6 8. 8 6.5 5.8.9 9 4. 44.. 5.5 4.9 9.4 Sumber : Courtesy of Dr. Gerald Bargma Dar hasl erhtuga komuter deroleh: 4.64.879. -.8 45.4, S. 99.798-5.67 9.965 -.8-5.67 3.68 da.586 -..58.58 -,.4 - S -..6 -.
Sehgga aka deroleh.586 -.,58 4.64 4 T [ 4.64 4, 45.4 5,9.965 ] -..6 -. 45.4 5.58 -..4 9,965.467 ll [.64,- 4.6,-.35 ] -.4.6 ll 9.74 Membadgka yag damat T 9.74 dega la krtsya ( ) ( ) ( ) 9 3 F ( α ) (.) 3.353(.44) 8.8, F 3,7 7 karea T 9.74 > 8.8, maka H dtolak ada taraf sgfkas %. Kesmulaya [ 4,5,] meruaka suatu la lausble utuk. Satu betuk dar statstk-t adalah varas (taa erubaha) d bawah erubaha ddalam ut egukura dar dega betuk Y C + d ( ) ( ) ( ) ( ), C osgular (3-8) Sebuah trasformas dar egamata sesama mucul ketka sebuah kostata b adalah yag dkuragdar varabel ke- utuk membetuk b da hasl dar erkala dega kostata a > utuk medaatka a ( b ) berskala umlahya a ( b ). Sebelum erkala yag berusat da oleh seta matrk osgular aka meghaslka ersamaa (3-8). Karea sebuah cotoh, oeras yag melbatka eggata ( ) a b yag bersesuaa ada roses megubah suhu dar Fahrehet ke Celcus. dega Dberka egamata,, K, da trasformas ada (3-8), aka megkut suatu teorema akbat yatu
Kombas ler dalam A ada a + a + K+ a a a K a a a a a a a + + K+ K A M M O M M M O M M aq + aq + K+ aq aq aq K aq memlk vektor rata-rata samel A da kovaras matrks ASA Sehgga y C + d da S ( y y )( y y ) CSC Selautya, oleh ersamaa ( + ) ( ) + ( ) ( ) AE ( ) B E Y E E Y E AB y da ersamaa kombas ler dar Z Z Z ( ) ( ) ( ) ( ) E Z E C C Σ Cov Z Cov C CΣ C maka aka dhaslka ( ) ( ) ( ) ( ) C memuya y E Y E C + d E C + E d C + d Oleh karea tu, T dhtug dega y s da sebuah la hotess, Y C + d adalah ( Y, ) Y ( Y, ) T y S y ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) C CSC C C CSC C ( ) ( ) ( ) C C S C C ( ) ( ) ( ) S ( ) ( ) Persamaa yag terakhr dkeal sebaga la dar T dhtug dega s.
Oleh : Rsa Nur vauzyah (6933) 3. Hottelg T da U Perbadga Lkelhood Kta erkealka statstk-t aalog dega arak kuadrat uvarat, t. Ada sebuah rs umum utuk megkotruks lagkah-lagkah egua yag dsebut metode erbadga lkelhood da statstk-t daat deroleh sebaga u raso lkelhood dega H :. U raso lkelhood memlk beberaa sfat otmal yag layak utuk samel besar, da terutama sekal utuk erumusa hotess dalam eryataa arameter ormal multvarat. Kta ketahu bahwa maksmum lkelhood ormal multvarat sebaga da Σ adalah bervaras la kemugkaya dberka oleh, Σ ( ) ma L, Σ ( π ) Σˆ e (3-9) da ˆ dmaa Σ ˆ ( )( ) adalah eaksr maksmum lkelhood. Sebaga eggat bahwa eaksr maksmum lkelhood ˆ da ˆΣ dlh dar da Σ yag meruaka alasa terbak utuk la yag damat dar samal acak. Utuk hotess H :, ormal lkelhood megkhususka ada L (, Σ) e ( ) ( ) Σ (3-) Σˆ ( π ) Utuk meetuka aakah adalah la yag tak mugk utuk, maksmum ( Σ ) dbadgka dega maksmum L (, ) L, erbadgaya damaka statstk erbadga lkelhood. Dega megguaka ersamaa (5-9) da (5-) deroleh, Σ yag derbolehka. Hasl ( Σ) ( Σ) ma L,, Σ Raso Lkelhood ma L,, Σ Σˆ Σˆ (3-)
Σˆ Σ ˆ Jka la egamata Padaa statstk utuk dsebut Wlks lamda. erbadga lkelhood terlalu kecl, hotess H : tdak mugk mead bear, oleh karea tu dtolak. Secara rc, u raso lkelhood utuk H : melawa H :, tolak H ka ˆ ( )( ) Σ Λ < c ˆ Σ ( )( ) α (3-3) dmaa c α adalah batas bawah ( α ) th ersetl dar dstrbus Λ. (Catata bahwa statstk u raso lkelhood adalah sebuah kuasa erbadga varas yag derumum). Akbat 3.. Dberka,, K, adalah samel acak dar oulas derdstrbus N (, Σ ). Maka u ada (5-7) meruaka dasar dat H : melawa H :, karea T yag ekvale dega u raso lkelhood dar Λ + T ( ). Metode Perbadga Lkelhood Umum Kta sekarag aka memertmbagka metode erbadga lkelhood umum. Dberka θ adalah sebuah vektor yag memeuh semua arameter oulas yag dketahu, da dberka L( θ ) adalah fugs lkelhood yag deroleh dega megevaluas keadata destas dar,, K, ada la yag damat,, K,. Vektor arameter θ megambl la dalam hmua arameter Θ. U raso lkelhood utuk H : θ Θ meuu ke H : θ Θ ka ( θ ) ma L θ Θ Λ ma L < c (bab -6) θ Θ ( θ )
dmaa c adalah kostata tertetu yag dlh. Secara tutf, kta tolak H ka maksmum dar lkelhood yag deroleh dega memertukarka θ ada hmua Θ yag lebh kecl dar maksmum lkelhood yag deuh oleh varas θ utuk semua la ada Θ. Ketka maksmum ada emblag dar ersamaa (bab -6) lebh kecl dar maksmum eyebut, Θ tdak memeuh la lausbel utuk θ. Pada seta alkas dar metode erbadga lkelhood, kta aka memerluka dstrbus samlg dar statstk u raso lkelhood Λ. Sehgga c daat dlh utuk meghaslka sebuah u dega sebuah taraf sgfkas α tertetu. Bagamaau, ketka ukura samelya besar da kods keteratura tertetu deuh, dstrbus samlg dar l Λ yag ddekat oleh sebuah dstrbus ch-kuadrat. Akbat 3. Ketka ukura samel besar ma L Λ Λ ma L ( θ ) θ Θ l l adalah aroksmas dar varabel acak θ Θ ( θ ) dega deraat kebebasaya v v (dmes dar Θ ) (dmes dar Θ ). χ v-v 3.3 Daerah Keercayaa da Perbadga Smulta dar Komoe Rata-rata Daerah yag dtetuka oleh sebuah data, utuk semetara, kta otaska dega R(), dega [ ],, K, adalah matrks data. Daerah R() dkatakaa aka mead daerah keercayaa ( α ) % ka sebelum samle dlh, [ θ yagsebearya] P R( ) aka mecaku la α Daerah keercayaa utuk rata-rata dar dmes- yag berdstrbus ormal deroleh dar (-6). Sebelum samel dlh, ( ) ( ) P ( ) S ( ) F, ( α ) α Utuk sebarag la da tdak dketahu.
Utuk samle khusus, da S daat dhtug da ketaksamaa ( ) ( ) ( ) ( α ) S F /( ) aka medefska daerah, R(),, dalam ruag dar semua la arameter yag mugk. Dalam kasus, daerah aka mead ellsod dega usat. Ellsod adalah daerah keercayaa ( α ) utuk. Daerah keercayaa ( α ) % % utuk rata-rata dar dmes- yag berdstrbus ormal adalah hmua yag dtetuka oleh semua sedemka sehgga ( ) ( ) S ( ) F, ( ) ( ) α ( ) dmaa, ( )( ) S, da egamata.,, K, adalah samle Utuk 4, kta tdak daat meggambarka daerah keercayaa utuk. Aka teta, kta daat meghtug sumbu- dar ellsod keercayaa da aag relatfya. Hal dtetuka dar la ege λ da vector ege e dar S. Seert dalam ersamaa ( ) ( ) Σ c, arah da aag sumbu- ( ) ( ) dar ( ) S ( ) c F ( α ) aka dtetuka oleh, ( ) λ c / λ ( ) F α / ( ), Ut seaag vector ege e. Berawal d usat, sumbu- dar ellsod keercayaa adalah ± λ ( ) F ( ) ( α ), e dmaa Se λ e,,, K, Perbadga dar λ aka membatu dalam megdetfkas umlah relatf dar s emaaga seaag asaga sumbu-.
Oleh : Lucky Heryat Jufr (673) Peryataa Keercayaa Smulta Ketka daerah keercayaa ( ) ( ) S c, dega c adalah kostata, daat dlhat dega teat hubuga megea la lausble utuk, aa saa t dar kesmula yag basa dmasukka dalam eryataa keercayaa tetag rata-rata komoe tuggal. Selautya, kta guaka atura bahwa eryataa keercayaa yag tersah, sebakya memertahaka kesmultaaa-ya dega tggya robabltas yag dtetuka. Hal meruaka ama dalam meetuka robabltas terhada bayakya eryataa salah yag meyebabka terval keercayaa smulta. Kta awal dega meggat eryataa keercayaa smulta yag berhubuga dega daerah keercayaa bersama berdasarka statstk Msalka berdstrbus N (, Σ ) da betuk kombas lerya yatu T. Z l + l + K+ l l Sebagamaa yag kta ketahu bahwa E( Z) l da z Var( Z) l Σl. Sela tu, z berdasarka akbat 4., Z berdstrbus N ( l, l Σl ). Jka samle acak,, K, dar oulas berdstrbus N (, Σ ) adalah memugkka, maka samle megguaka kombas ler yatu. Jad, Z s daat dtuls dega Z l + l + K+ l l,,, K, Rata-rata da varas dar z, z, K, z adalah z l da s l Sl, dmaa da S adalah z vektor rata-rata da matrks kovaras samle dar keercayaa s, berturut-turut. Iterval keercayaa smulta daat dkembagka dega ertmbaga dar terval l utuk sebarag l. Utuk l tertetu da tdak dketahu, terval keercayaa ( α ) z % utuk z l adalah berdasarka raso-t studet s t z s ( l l ) z l Sl (3-4)
Sehgga deroleh eryataa ( α sz ) ( α ) z t z z + t s z atau ( α l Sl ) ( α ) l Sl l t l l + t (3-5) dmaa t ( α ) ). adalah batas atas ( α ) % dar dstrbus-t dega deraat kebebasa (- Ketdaksamaa (3-5) daat dyataka sebaga eryataa megea komoe dar vektor rata-rata. Sebaga cotoh, dega [,,,] l K, l da ketdaksamaa (3-5) meghaslka terval keercayaa basa utuk rata-rata dar oulas ormal. Dalam kasus l l S s, elasya, kta aka meetuka beberaa eryataa keercayaa megea komoe, dega meghubugka koefse keercayaa α, dega memlh koefse vector l yag berbeda. Bagamaau, hubuga keercayaa dega semua eryataa yag dambl bersama adalah buka α. Berdasarka tus, aka dhubugka koefse keercayaa kolektf α dega terval keercayaa sehgga dhaslka oleh semua lha l. Nla tersebut harus meggat koefse keercayaa yag besar dega sebak-bakya. Nla tersebut ada dalam betuk terval yag lebh luas dbadgka dega terval ada ketdaksamaa (3-5) utuk lha l yag sesfk. Dberka data hmua,, K, da l tertetu, terval keercayaa dalam ketdaksamaa (3-5) adalah hmua dar lal utuk t ( l l ) t S l l ( α ) atau, ekvale dega t ( l l ) ( l ( )) t l Sl l Sl α ( ) (3-6)
Daerah keercayaa smulta dberka oleh hmua la l yatu utuk semua l. Namakya atas utuk meduga bahwa kostata t ( α ) (3-6) aka dgatka oleh la yag lebh besar yatu sembarag l. t relatf kecl dalam ersamaa c, ketka eryataa dkembagka utuk Meggat la l utuk t c, secara otomats kta eroleh ketetaa : ma t ma l l ( l ( )) l Sl Dega megguaka Mamzato lemma : d ( ), da B S, deroleh : ma ( d ) B d B d, dmaa l, ma l ( l ( )) l ( ) ( ) ma ( ) S ( ) T l Sl l l Sl (3-7) Utuk l seada dega S ( ). Akbat 3.3 Msalka,, K, samle radom dar oulas berdstrbus N (, Σ ) Dega Σ deft ostf. Maka, kesmultaa utuk semua l, terval ( ) ( ) ( ) ( ) l F, ( α ) l Sl. l + F, ( α ) l Sl aka memuat l dega robabltas α. Bukt :Dar ersamaa (bab 5-3), ( ) ( ) T S c termasuk ( l l ) l Sl c utuk seta l, atau l Sl l Sl l c l l + c utuk seta l. Dega memlh
( ) ( α ) / ( ) c F, memberka terval yag aka memuat dega robabltas α P T c. l utuk semua l, I adalah teat megarahka ke terval yag smulta dar akbat 3.3 sebaga terval- T, karea ecakua robalbltas dtetuka oleh dstrbus l [,, K, ], l [,, K,], dega demka [,,,] T. Berturut-turut kta lh l K utuk terval-t membolehka kta utuk meymulka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s F ( α ) + F ( α ),, ( ) ( ) s s F ( α ) + F ( α ),, M M M ( ) ( ) s s F, ( α ) + F, ( α ) semua memeroleh kesmultaa dega koefse keercayaa α. (3-8) Catata bahwa, taa modfkas koefse α, kta daat membuat eryataa turua dar sesua dega [,,,,,,,,,,] k l K l K l k K, dmaa l da l k. Dalam kasus l l S s s + s k kk, da kta memuya eryataa ( ) ( ) ( ) ( ) s s + s s s + s F ( α ) + F ( α ) k kk k kk k, k k, (3-9) Kesmultaa Iterval keercayaa T meruaka de utuk data soog. Koefse keercayaa α teta tdak tergat utuk sebarag emlha l, sehgga kombas ler dar komoe yag mafaat emerksaaya berdasarka emerksaa dar data daat dhtug.
Perbadga Iterval Keercayaa Smulta dega Iterval Pada Satu Waktu Sebaga alteratf, utuk memmalsr teradya kesalaha dalam melakuka edekata utuk meetuka terval keercayaa adalah dega memertmbagka komoe ada satu waktu, seert yag telah delaska ada ersamaa (3-5) dega [,,,,,,] dmaa terval l l K l K,. Pedekata megabaka struktur kovara dar varable- da membawa kta ke ( α s ) ( α ) t + t ( α s ) ( α ) t + t M M M ( α s ) ( α ) t + t s s s (3-) Walauu sebelum egambla samlg, terval ke- d atas memlk robabltas α melut, kta tdak tahu aa yag meyataka secara umum, megea kemugka semua terval memuat masg-masg s. Utuk member eceraha terhada masalah, dega memertmbagka kasus khusus dmaa egamataya berdstrbus ormal gabuga da L L Σ M M O M L Karea egamata ada varable ertama adalah deedet, begtuula utuk varable kedua, da seterusya. Atura yag deroleh yatu utuk erstwa deedet daat dguaka sebelum samel dlh, ( ) ( α )( α ) L( α ) P semua terval t ada 3 memuat s ( α ) Utuk memastka robabltas α bahwa semua eryataa megea komoe ratarata secara umum, terval tuggal harus lebh luas dar terval tersah. Luas terval bergatug ada da, sebagamaa dalam α.
Oleh : Ast Aula Rahma (6796) 3.4 Perbadga Iterval Rata - Rata T Smulta Da Iterval Boferro Dar Komoe Utuk memeroleh metode utama dalam meetuka feres dar samle, kta aka memerluas kose terval keercayaa uvarat mead daerah keercayaa multvarate. Berdasarka eelasa ada bab sebelumya, telah delaska feres samel dega megguaka t erval T smulta. Namu sergkal kta uma terval yag lebh edek utuk blaga m yag kecl, yatu ketka m. Dalam hal, aka lebh mudah utuk megguaka da meetaka terval keercayaa yag relatf edek, yag dbutuhka utuk membuat kesmula (ferece). Sehgga kta daat meetaka la terval yag lebh edek dar t erval aka dbahas ada embahasa berkut dserta dega stud kasusya. Metode Boferro utuk Perbadga Bergada T. Metode seert Sergkal erhata kta terbatas ada blaga yag kecl dar eryataa keercayaa tuggal. Dalam stuas seert memugkka utuk melakuka sesuatu yag lebh bak dar kesmultaa terval dar akbat 3.3. Jka blaga m dar komoe rata-rata khusus, atau kombas ler l l + l + K+ l, adalah kecl, terval keercayaa smulta daat dkembagka mead lebh edek (lebh teat) dar ada terval-t smulta. Metode alteratf utuk erbadga bergada damaka Metode Boferro, karea dkembagka dar kemugka yag membawa ama ketdaksamaa tersebut. Adakata, sebelum ke kumula data, eryataa keercayaa megea kombas ler m yatu l, l, K, l m adalah yag dharuska. Msalka C otas dar eryataa keercayaa megea la dar P C bear α,,, K, m. l dega
[ ] P semua C bear P alg sedkt satu C salah m ( ) ( ) P ( C bear) P C salah ( α α K α ) + + + m m (3-) Ketdaksamaa (3-), kasus khusus dar ketdaksamaa Boferro, memeuh emerksaa utuk megotrol keseluruha la kesalaha α + α + K + αm, taa memerhatka struktur korelas d belakag eryataa keercayaa. Hal uga fleksbel dalam megotrol la kesalaha utuk kelomok dar eryataa etg da sembag dega lha la utuk eryataa etg yag kurag. Msalka kta kembagka estmas terval keercayaa utuk hmua terbatas yag terdr dar komoe dar. Tak cuku formas dalam keetga yag relatve dar komoe, kta memertmbagka terval t-tuggal α s ± t,,, K, m dega α α. Karea m ( α ) s P t memuat α ±,,,, m m K, kta eroleh dar ersamaa m (3-) α s α α α P ± t memuat, semua + + + m L 4 m 44443 m m (3-) α betuk m Utuk tu, dega keseluruha tgkat keercayaa lebh besar dar atau sama dega α, kta daat membuat eryataa m : α s α s t + t α s α s t + t M M M α s α s t + t (3-3)
Peryataa dalam ketdaksamaa (3-3) daat dbadgka dega ketdaksamaa dalam (3-8). Nla ersetase t α ( ) sebalkya tervalya mash dalam struktur yag sama. meggatka ( ) F ( α ) / ( ) 3.5. Iferes Vektor Mea Poulas Utuk Samel Besar, ta, Ketka ukura samel besar, egua hotess da daerah keercayaa utuk daat dkostruks taa aggaa ormaltas. Utuk umlah besar, kta daat membuat taksra tetag rata-rata oulas mesku dstrbus awalya adalah dskrt. Keutuga berasosas dega samle besar yatu kemugka kehlaga formas dar statstc cuku da S adalah kecl. Sela tu, da S yag meruaka statstc cuku utuk oulas ormal adalah hal yag medasar oulas ormal multvarate, dmaa formas tersebut aka dguaka utuk membuat taksra. Peaksra utuk samle besar adalah medekat dstrbus χ. Sebagamaa kta tahu dar bab sebelumya bahwa ( ) ( S / ) ( ) ( ) S ( ) medekat dstrbus χ dega deraat kebebasa adalah, maka P [ ( ) S ( ) χ ( α)] α Msalka,,..., adalah samle acak dar oulas dega mea da kovaras Σ. Jka - besar, hotess H : dtolak dega alteratve H : ada taraf sgfkas α ka ( ) S ( ) χ ( α) > Msalka,,..., adalah samle acak dar oulas dega mea da deft ostf kovaras Σ. Jka - besar, maka l ± χ ( α) ( l Sl / ) Dmaa seta l memuat l dega robabltas - α. Akbatya kta daat membuat terval kofdes (-α )%
s ± χ (α memuat ) s ± χ (α memuat )... s ± χ ( α memuat ) Oleh : Syfa Isa (66) 3.6 Peaksr Vektor Mea Ketka Beberaa Vektor Iferes Hlag Serg kal beberaa komoe dar vektor observas tdak ada. Maka dalam meyelesaka masalah tersebut dega megguaka tekk EM algorthm, dseta teras memlk dua lagkah yak : Predks Estmas Megguaka statstka cuku utuk estmas arameter Msal,,, adalah samel acak beroulas ormal varate (, ). Algortma redks da estmas berdasar ada statstka cuku sebaga berkut: T Σ T Σ ( ) S +
Lagkah Predks : Utuk seta () adalah komoe vektor yag hlag, da () adalah komoe Σ vektor yag ada. Utuk eduga da dar lagkah estmas dguaka mea dstrbus bersyarat () da dberka () utuk meduga la yag hlag. Sehgga: () ( E( ;, Σ) () ) () ( () () + Σ Σ ) Meduga kotrbus () utuk T : () () () () ( ) E( ;, Σ) Σ Σ Σ Σ + () () () () () () () E( ;, Σ) ( ) () Meduga kotrbus () utuk T : Kotrbus ertama dumlahka utuk seta dega komoe hlag. Hasl dgabug dega data samel meghaslka T da T. Lagkah estmas: Dhtug eduga maksmum lkelhood terevs: Cotoh 5.7 halama 4 Estmaslah oulas ormal dega mea da Σvaras, hmua dataya sebaga berkut: T Σ T
(3,4) 3 7 6 5 5 Jawab: Deroleh rata-rata samel adalah : 6 4 3 kemuda substuska rata-rata tersebut ke la yag hlag, sehgga deroleh estmas terhada varas, yatu : 5 33 3 3 4 3 4 Lagkah ertama adalah Predks, dalam memredks la yag hlag kta megguaka estmas terhada da, dsubstuska Σ ke statstka cuku T da T. Komoe yag hlag, darts sehgga: 3 () () Σ 3 3 3 3 33 dduga () () ( () + Σ Σ ) 6 +, 4 3 4 3 4 5 5.73 3 4 Σ Σ Σ + 4 3 4 3 4 5 (5.73) 4 + 3.99
Utuk data hlag ada komoe ke 4, darts sebaga: Dduga : Kotrbus terhada T : [ ] [ ] ] [,7,8 5.73,3 ], [, 3 3 () () 3 Σ 33 3 3 3 3 Σ, 5; 34 4 4 4 4 E ) ( 3 34 Σ + Σ +.3 6.4 4) (5 5 4 3 6 Σ, 5; 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 E [ ] +.97 8.7 8.7 4.6.3 6.4.3 6.4 ] 4 3 [, 5 4 3 4 4 Σ, 5; ) ( 34 34 4 34 4 34 4 4 E ) ( 34 4 4 6.5 3. (5)..3 6.4
Peduga Statststka cuku: T 3 + + + 3 + + + 3 3 33 + + + 4 4 34 4.3 4.3 6. Selautya adalah lagkah estmas, dega megguaka maksmum lkelhood terevs sebaga berkut: T 48.5 7.7.8 7.7 6.97.5.8.5 74. T 4.3 6.3 4.3.8 4 6. 4. 48.5 Σ T 7.7 4.8 7.7 6.97.5.8 6.3.5.8 [6.3 74. 4..8 4.].65.3.8.3.58.8.8.8.5.65. 58 Terlhat da lebh besar dar estmas ertama observas yag hlag. Sedagka 33.5sama dega estmas awal. Dar hasl tersebut, kta harus melakuka Σ teras yag sama sama eleme eleme da sama da tdak dgat. Estmas da berakhr ketka : Σ ( ˆ ) Σˆ ( ˆ ) χ ( α) memeuh dega keercayaa elsode (- α )%.
BAB IV PENUTUP 4. Kesmula ) Dar aalss da erhtuga yag telah dlakuka ada stud kasus daat dtuukka [ 3, 7,] meruaka suatu la lausble utuk. Dega kata la vektor rata-rata oulas multvarat aka selalu kosste dega data yag dmlk. ) Pegua hotess dega megguaka rumus erhtuga T yag berbetuk T S ( ) ( ) ( ) S ( ) mauu 3) Daat kta lhat dar eryataa smulta d atas bahwa komoe dar melod, temo da meter tdak terbukt sebaga la yag mugk utuk la akhr ratarata.(dega deraat kebebasa 9%, la yag kta tetaka teat dega erhtuga atau tdak) 4. Sara berkut: Agar kesalaha daat termmalka maka eyusu member sara sebaga a. Perguakalah software yag memada dalam melakuka egua hotess terutama dalam erhtuga erkala matrksya. Software yag eyusu saraka utuk meghtug erkala matrks adalah Math Lab. b. Derluka kehat-hata dalam melakuka eguta karea sergkal terad ketdakcocoka hasl erhtuga yag dsebabka kekelrua memasuka data.
DAFTAR PUSTAKA Johso, Rchard A. ad Dea W. Wcher. Thrd Edto. Aled Multvarate Statstcal Aalyss. New Jersey: Pretce Hall, Eglewood Clffs. Suryato, Dr. 988. Metode Statstka Multvarat. Jakarta: Dearteme Peddka da Kebudayaa.