PENENTUAN MODEL KURVA PERTUMBUHAN PADA TULANG RAMUS

Transkripsi

1 Prosdg SPMIPA. pp ISBN : PENENUAN MODEL KURVA PERUMBUHAN PADA ULANG RAMUS Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, Kampus UNDIP embalag, Semarag Abstrak: Model kurva pertumbuha merupaka geeralsas dar model regres multvarate. Dbcaraka peetua model pertumbuha tulag ramus pada satu sampel. Masalah yag dbahas melput uj ormal multvarate, uj kecocoka model, taksra da terval kepercayaa parameter serta uj sgfkas ler. Komputas statstk pada rumus yag dperluka, megguaka peragkat luak statstk SAS. Dega megetahu taksra model yag bear, maka dapat dperguaka utuk alat predks utuk waktu yag la. Kata Kuc: Uj ormal multvarate, Uj kecocoka model, Model kurva pertumbuha. PENDAHULUAN Sesuatu yag megalam pertumbuha, perkembagaya dpegaruh oleh waktu. Sehgga dapat dbuat hubuga atara pertumbuhaya dega waktu. Utuk membuat hubuga, dapat megguaka hubuga ler atara keduaya, yatu memaka model regres ler uvarat atau bergada. Perluasa dar model regres da utuk varabel respoya jamak, megguaka model regres multvarate, yag basa dsebut model kurva pertumbuha. Sela tu model kadag dsebut pula model kurva pertumbuha satu sampel, yag telah dperkealka oleh Rao (959. Agar memeuh asums sepert yag dpersyaratka dalam teor, perlu uj ormal multvatat, yatu utuk megetahu bahwa sebara data berdstrbus ormal multvarate dega vector rataa da matrks kovara, meurut [] da [], da [5]. Sedagka meurut [7] atau [4], utuk medapatka taksra model yag dapat dpercaya kebearaya perlu uj kecocoka model. ulsa aka mecar model pertumbuha tulag ramus dega megambl empat macam umur sebayak dvdu. Uj ormal multvarate megguaka uj statstk skewess da kurtoss. Sedagka uj kecocoka model megguaka, uj raso lkelhood. Sela tu meaksr parameter da terval kepercayaaya, serta dbahas pula uj pecla yag megguaka pertdaksamaa Boferro. Sstem komputas statstk yag mucul pada rumus yag ada, megguaka olaha peragkat luak SAS. Dega medapatka taksra model kurva pertumbuha, maka aka dapat dperguaka sebaga alat predks utuk umur yag la. Sedagka dega megetahu adaya pecla pada kumpula dvdu, secara lagsug dapat dketahu pertumbuha dvdu yag berbeda dar yag laya. Sehgga dapat mejad baha kaja utuk masalah yag la. UJI NORMAL MULIVARIA DAN MODEL KURVA PERUMBUHAN Uj Normal Multvarat berdasarka Statstk Skewess da Kurtoss Msal matrks kovara sampel S ( ( x x ( x x' HD u H' yag maa H ( h,, hp merupaka matrks orthogoal da D u dag (u,, u p. Statstk skewess da kurtoss sampel, masg-masg dberka dega da p p p u ( yj y / j b b p 4 p p u ( yj y j (, 6

2 dmaa j y y b ~ E p, E(b p ~, j. D bawah ormal multvarate ddapat bahwa E(b p ~ Var(b p 6 p 4 ~ p p b p ~ p 6 p ( b p N(, 4 Utuk statstk skewess da kurtoss berlaku hpotesa H : Data berdstrbus ormal multvarate H : Data tdak berdstrbus ormal multvarate Sehgga, jka p b p p, ( 6 maka H dterma, artya data tdak berdstrbus ormal multvarate. Hal serupa, utuk statstk kurtoss, jka p 4 ( b p z / dega z / merupaka ttk atas % dar dstrbus ormal baku. Maka H dterma, artya data tdak berdstrbus ormal multvarate. x ( Model Kurva Pertumbuha Satu Sampel Msal y,, y adalah d N p (,,. Statstk cukupya adalah vector rataa da matrks kovara sampel, masg-masg da y y S ( y y( y y'/( ( Padag kasus blamaa kompoe y megukur respo subjek ke- atas p perode waktu sesudah dlakuka perlakua. Dharapka respo dar perlakua bergatug pada waktu, sehgga betuk umumya adalah B' E( y E( y j,, (4 dega B adalah matrks berukura p x m, j m t t m t t B ' da, m p m m t p t p Selajutya memlh derajat polyomal yag sesua dega model. Uj Kecocoka Model Utuk megetahu kecocoka model dalam (4, perlu duj hpotesa H : B' vs. A : B' (5 dega B merupaka matrks yag dketahu da berukura p x m serta mempuya rak m. Dega demka perlu dcar matrks C yag berukura (p m x p da mempuya rak peuh sedemka hgga 64

3 CB' (6 Meurut Srvastava da Khatr (979 atau Rao (959, uj raso lkelhood utuk H terhadap A ddapat keputusa bahwa, tolak H jka f p m y ' C'( CSC' Cy F p m, f pm, (7 f ( p m dega f S ( y y( y y', y y, f da F pm, f pm adalah ttk atas % dar dstrbus-f yag mempuya derajat bebas p m, f p m. aksra da Iterval Kepercayaa Parameter Jka hpotesa H dar persamaa (5 dterma, selajutya aka dbahas taksra da terval kepercayaa dar parameter. aksra lkelhood maksmum dar dberka dega ˆ ( BS B' BS y (8 Iterval kepercayaa ( - % utuk a ' adalah ˆ a' ( f [ a'( BS B' a] (9 dega da p m f m F m, f p, ( f p p m yc'( CSC' Cy, f ( Uj Hpotesa Ler secara Umum Setelah megetahu bahwa model (4 layak mewakl data, selajutya memutuska derajat polyomal persamaaya, yatu, sebaga peggat dar derajat polyomal m, dapat haya megambl derajat polyomal k, dega k m, agar ddapat persamaa yag sederhaa tetap represetatf. Matrks B dapat berupa ' ' sembarag matrks berukura p x m, utuk m p. Dega meuls B' (, da,, dmaa B adalah matrks berukura p x r, da ' da adalah vector- (m r. Sehgga dapat dtuls bahwa B ' ' ' ' ( B, B B B ( B B B berupa matrks berukura p x ( m r, adalah vector-r, ' Jka tertark dalam uj hpotesa bahwa =, maka hpotesaya dapat dtuls dalam betuk (, I m-r = dega adalah matrks berukura (m r x r da I m r adalah matrks dettas berukura m r. Secara umum, dapat dtuls utuk sembarag hpotesaya sebaga berkut H : U vs. A : ( U dega dtetuka da U: k x m, k m. Hpotesa H dtolak jka f k p m ( d '( UEU ' ( d F f k f dega da d U, E ( BS ˆ p m B' pm yc'( CSC' Cy, k, f k pm, f ( (4 (5 65

4 Batas kepercayaa ( - % utuk parameter berbetuk dbagu oleh vector U (u = a U utuk suatu vector-k a, yatu dega u ˆ ' ( f ( u' Eu p m u' (6 f k F k, f pmk, (7 f p m k dega u adalah aggota subruag yag Uj utuk Pecla pada Model Kurva Pertumbuha Model kurva pertumbuha dberka dega E Y A B xp xq qxm mxp dega kolom ke- dar Y merupaka vector pegamata ke-. Dega meuls A' ( a,, a da Y' ( y,, y (8 ddapat rataa vector pegamata ke- yag dtuls dega E( y B' a,,, (9 Jka rataa pegamata ke- megalam peambaha utuk suatu vector tdak dketahu, maka Dapat dtuls E( y B'( a ( Jka vector pegamata yag la tdak megalam peambaha dalam rataaya (kecual vector pegamata ke, maka model atau hpotesa H dberka dega H E( y j B' aj, j, j,, : E( y B'( a D bawah hpotesa ull H: =, aka berakbat tdak terdapat pecla dalam data. Utuk meguj hpotesa H terhadap sebarag H, lagkah-lagkahya sebaga berkut. Defska A( A' A H A' ( hj h a'( AA a W Y' [ I H] Y e ˆ y Y' A'( AA' P B' ( BW B' B a,,, f m eˆ ' W PW eˆ F m ( h eˆ ' W eˆ f q m p Selajutya, meetuka la Qˆ maks F ( yag maa d bawah hpotesa ull F mempuya dstrbus-f dega derajat bebas m da f m +. Berdasarka pertdaksamaa Boferro, yatu tolak hpotesa H jka Q ~ ( yag maa f m. F m, f -m, Fm, f -m,, merupaka ttk atas ( % ( dar dstrbus-f, dega derajat bebas m da PEMBAHASAN Dketahu data tetag pertumbuha tulag ramus pada aak lak-lak dega umur masg-masg 8; 8,5; 9; da 9,5 tahu. Dataya dsajka dalam abel. berkut. 66

5 Idvdu Idvdu abel. Data Pertumbuha ulag Ramus. Umur (tahu 8 8,5 9 9,5 47,8 46,4 46, 45, 47,6 5,5 5, 48,8 47, 46,8 45, 48,5 5, 5, 49, 47,7 47,8 46, 48,9 5, 54, 49,7 48,4 48,5 47, 49, 5,7 54,5 Umur (tahu 8 8,5 9 9,5 49,8 48, 45, 5, 48,5 5, 48, 49,6 5,7 47, 5, 46, 46, 5, 5,8 47, 5,4 49, 5,8 48,9 5,4 5,7 47,7 54,6 47,5 47,6 Lagkah awal dalam pembahasa adalah meguj dstrbus data, apakah berdstrbus ormal multvarate sepert yag dpersyaratka dalam asums. Uj dstrbus ormal multvaratya megguaka statstk skewess da kurtoss. Berdasarka komputas megguaka program peragkat luak SAS dar data d atas ddapat hasl bahwa: Vector rataa y ' (48,66; 49,6; 5,57; 5,45 da matrks kovaras sampel 6, 6,9 5,78 5,55 6,9 6,45 6,5 5,9 S 5,78 6,5 6,9 6,95 5,55 5,9 6,95 7,47 D dag (5,9;,74;,;, u, dega,47,49 H,5,5 5, 5, 47, 5,6 5, 5,7 49, 5, 5,7 48,4 55, 48, 5, -,59 -,4 -,,6 5,7 54,4 48, 5,9 55,5 55, 49,8 5,8 5, 49,5 55, 48,4 5,8 -,55,48,5 -,46,5 -,6,6 -,6, sedagka. Statstk skewess b 4 =,79, statstk htug da statstk tabel dar Persamaa ( masg-masg adalah 9,454 da 9,488. Berdasarka perbadga laya dapat dtark kesmpula bahwa H dterma, dega kata la bahwa data berdstrbus ormal multvarate. Selajutya aka duj berdasarka statstk kurtoss, yatu statstk kurtoss b 4 =,, statstk htug da statstk tabel dar Persamaa ( masg-masg adalah,99 da,96. Berdasarka perbadga laya dapat dtark kesmpula bahwa H dterma, dega kata la bahwa data berdstrbus ormal multvarate. Sehgga berdasarka uj statstk skewess da kurtoss dapat dkataka bahwa data berdsrtbus secara ormal multvarate. Msal model ler yag cocok berbetuk, dega t + 8,75 meyataka umur E(y t (tahu. Sehgga la t masg-masg dapat berla,75; -,5;,5; da,75, utuk medapatka,75,,5,,5, da 4, 75. Selajutya utuk megetahu kecocoka model, hpotesaya adalah H : B' vs A : B' dega (,,,,,, da ' B,75,5 ( 4,5,75 67

6 Utuk medapatka matrks C sedemka hgga CB = da C mempuya rak peuh 4 =, dega megguaka polyomal orthogoal, dperoleh bahwa C,5,75,75,5 Hpotesa d atas adalah ekuvale dega hpotesa berkut yag lebh sederhaa, H : C '. Berdasarka Persamaa (7 ddapat la statstk htug da statstk tabel, masg-masg adalah F,8 =, da F ;8;,5 =,6. erlhat bahwa la statstk htug lebh kecl dar pada la statstk tabel, maka hpotesa H dterma, dega art bahwa model ler cocok atau layak dpaka. 68 Berkutya meaksr parameter, da berdasarka Persamaa (8, ddapat hasl bahwa ˆ 5,5,86 Sehgga taksra model kurva pertumbuha tulag ramus dberka dega yˆ 5,5, 86 t Jka persamaa dubah dalam betuk umur, ddapat y ˆ 5,5,86 ( t 8,75 8,75,76,86 (umur Sedagka utuk meetuka batas kepercayaa pada a ' sesua dega Persamaa (9 dberka dega a' ˆ f a '( BS B',5 p m a Jka dplh a ' (, t, maka batas kepercayaa utuk gars yag dberka dega betuk t dapat dcar. Pada masalah ddapat =, f = 9, m =, p = 4, Juga, ( BS B ' 6,89,75,75,87 Oleh karea tu, batas kepercayaa utuk, da pm t dberka dega 8,6.,5 (5,5,86t,66.(6,89,55t,87t Jka dplh a ' (,, maka batas kepercayaaya adalah (5,6; 55,94. Dega megaggap modelya adalah ler dalam waktu, aka duj apakah kecederugaya adalah ler. Utuk uj hpotesaya meurut Persamaa ( adalah H : U vs A U Dega megambl U = (,, maka hpotesaya mejad : vs A H Berdasarka Persamaa (, ddapat bahwa k =, m =, p = 4,,, f = 9, =, d =,86 da UEU =,87. Meurut Persamaa ( ddapat bahwa la statstk htug da statstk tabel, masg-masg adalah F,7 = 7,9 da F ;7;,5 = 4,45. Berdasarka la dar statstk htug da statstk tabel, terlhat bahwa hpotesa H dtolak da kesmpulaya bahwa kecederuga lerya adalah sgfka. Utuk terval kepercayaa 95% pada, berdasarka persamaa (6 dega U = (, da 9.(4,45,5 4,974, dperoleh terval (,9;,. 7 Akhrya, aka duj ada tdakya pecla pada data d atas. Dar olaha ddapat hasl: K Q FA Q > FA: tolak Sehgga dapat dkataka bahwa berdasarka Persamaa (, la statstk htugya adalah,69 sedagka meurut Persamaa, la statstk tabelya adalah 8,7 da la Q lebh besar dar pada la FA. Maka hpotesa H dtolak atau terdapat pecla dalam kumpula data yag dperoleh, yatu pada dvdu ke-9. Berdasar adaya pecla dapat dpelajar sfat-sfat dar dvdu tersebut, apakah memag terjad secara umum ataukah karea khusus.

7 KESIMPULAN Berdasarka pembahasa d atas bahwa rataa tulag ramus pada umur 8; 8,5; 9; 9,5 masg-masg adalah 48,66; 49,6; 5,57; 5,45. aksra model kurva pertumbuha tulag ramus dberka dega y ˆ 5,5,86 ( t 8,75 8,75,76,86 (umur. Dega dketahuya taksra dar modelya, maka dapat dperguaka sebaga alat predks utuk umur yag la. Jka dplh a ' (, t, maka batas kepercayaa utuk gars yag dberka dalam betuk t adalah (5,5,86 t,66 x (6,89,55 t,87 t. Dalam masalah terdapat pecla dalam kumpula data yag dperoleh, yatu pada dvdu ke-9. Berdasar adaya pecla dapat dpelajar sfat-sfat dar dvdu tersebut, apakah pecla terjad secara umum atau secara khusus. DAFAR PUSAKA []. Marda, K.V., Measures of Multvarate Skewess ad Kurtoss wth Applcato, Bometrka, Vol. 57, pp. 59 5, 97. []. Marda, K.V., Assessmet of Multormalty ad the Robustess of Hotellg s est, Applcato Statstcs, Vol. 4, pp. 6 7, 975. []. Potthof, R.F., ad Roy, S.N., A Geeralzed Multvarate Aalsys of Varace Model useful especally for Growth Curve Problems, Bometrka, Vol. 5, pp. 6, 964. [4]. Rao, C.R., Some Problems volvg Lear Hypothess Multvarate Aalsys, Bometrka, Vol. 46, pp , 959. [5]. Srvastava, M.S., A Measures of Skewess ad Kurtoss ad a Graphcal Method for Assessg Multvarate Normalty, Statstcs ad Probablty, Vol., pp. 6 67, 984a. [6]. Srvastava, M.S., Methods of Multvarate Statstcs, Joh Wley & Sos, Ic., New York,. [7]. Srvastava, M.S. ad Khatr, C.G., A Itroducto to Multvarate Statstcs, North-Hollad, New York, 979. [8]. Srvastava, M.S. ad Vo Rose, D., Outlers Multvarate Regresso Models, Joural Multvarate Aalsys, Vol. 65, pp. 95 8,