PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D Keadaan Stasioner Pada pembahasan sebelumnya mengenai fungsi gelombang, telah dijelaskan bahwa potensial dalam persamaan Schrödinger dapat berupa fungsi dalam dan. Pada pembahasan ini kita asumsikan bahwa potensial tidak bergantung waktu. Dengan begitu, persamaan Schrödinger dapat dipecahkan dengan menggunakan metode separasi variabel. Fungsi gelombang Ψ(,) dapat disusun dari fungsi yang hanya bergantung dan fungsi yang hanya bergantung. Ψ(,) = (1) Persamaan Schrödinger untuk satu dimensi adalah Ψ(x,t) = Ψ(x,t) +Ψ(x,t) Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan Schrödinger maka didapatkan = + = + Selanjutnya persamaan dibagi dengan diperoleh 1 = 1 + (3) Persamaan (3) merupakan persamaan dalam dua variabel yang terpisah, variabel untuk ruas kiri dan variabel untuk ruas kanan. Oleh karena kedua ruas berbeda variabel maka persamaan (3) dapat dipenuhi, jika dan hanya jika sama dengan suatu konstanta. Kita misalkan konstanta tersebut adalah E. Alasan pemilihan konstanta E akan menjadi jelas pada pembahasan berikutnya.
Ruas kiri dari persamaan (3) menjadi 1 = = = ln = =!"#$/ (4) Oleh karena fungsi gelombang Ψ(,) yang kita cari merupakan hasil kali dari solusi bergantung x, yaitu dan solusi bergantung t, yaitu maka konstanta C kita biarkan diserap oleh sehingga persamaan (4) menjadi =!"#$/ (5) Ruas kanan dari persamaan (3) menjadi 1 + = + = (6) Persamaan (6) adalah bentuk persamaan Schrödinger tak bergantung waktu. Sebelum bentuk potensial diketahui, kita tidak dapat memecahkan persamaan ini untuk memperoleh solusi! Dengan demikian, fungsi gelombang yang kita cari dapat dituliskan menjadi Ψ(,) =!"#$/ (7)
Paling tidak, ada tiga hal yang diperoleh dari metode separasi variabel dalam menyelesaikan persamaan Schrodinger, yaitu 1. Solusinya, yaitu Ψ(,) merupakan keadaan stasioner. Hal ini karena rapat probabilitas dan nilai ekspetasi dari variabel dinamisnya tidak bergantung waktu. Rapat probabilitasnya adalah Ψ(,) = Ψ (,) Ψ(,) Ψ(,) =,"#$/!"#$/ Ψ(,) = (8) Nilai ekspektasi dari suatu variabel dinamis dengan operator.(,/) adalah.(,/) = Ψ (,).(,/) Ψ(,)!.(,/) =,"#$/.(,/)!"#$/!.(,/) =.(,/)! (9) Tampak bahwa rapat probabilitas pada persamaan (8) tidak bergantung waktu. Persamaan (9) juga menunjukkan bahwa setiap nilai ekspektasi konstan terhadap waktu, dengan kata lain tidak ada sesuatu yang terjadi pada keadaan stasioner.. Hasil pengukuran energi total setiap saat adalah sama. Dalam mekanika klasik, energi total yang dimiliki partikel disebut dengan Hamiltonian, yaitu jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. 4(,/) = / + (10) Operator Hamiltonian adalah operator untuk energi total yang diperoleh dengan mensubstitusikan operator momentum, / 67 = 8 89 ke persamaan (10) sehingga didapatkan
4 67 = + (11) Dengan menggunakan operator Hamiltonian, persamaan (6) menjadi 4 67 = (1) Persamaan (1) ini disebut sebagai persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen, dengan 4 67 adalah operator, adalah fungsi eigen, dan adalah nilai eigennya. Oleh karena 4 67 adalah operator Hamiltonian maka nilai eigennya adalah energi total sehingga pemilihan konstanta dalam separasi variabel sebelumnya menjadi jelas di sini. Sekarang kita hitung nilai ekspektasi energi total, 4 yaitu 4 = 4 67 dengan mensubstitusikan persamaan (1) maka diperoleh 4 = 4 = untuk ternormalisasi maka 4 = Selanjutnya kita hitung nilai ekspektasi dari 4, yaitu 4 = 4 67 4 = 4 67 :4 67 ; 4 = 4 67 4 = 4 67
4 = 4 = 4 = Dengan demikian, deviasi standar Δ4 adalah Δ4 = ( 4 4 ) =/ Δ4 = ( ) =/ Δ4 = 0 Artinya adalah distribusi energi total pada berbagai keadaan memiliki sebaran nol. Dengan demikian, pengukuran energi total setiap saat adalah sama, yaitu E. 3. Solusi umumnya adalah kombinasi linear dari solusi separasinya. Pada bagian berikutnya akan kita lihat bahwa persamaan Schrödinger tak bergantung waktu memiliki banyak solusi ( =,, >, ) dan tiap-tiap solusi tersebut bersesuaian dengan konstanta separasi masing-masing ( =,, >, ). Dengan demikian, terdapat perbedaan fungsi gelombang untuk tiap-tiap level energi yang diijinkan (Ψ = (,),Ψ (,),Ψ > (,) ). Ψ = (,) = =!"# @ $/ Ψ (,) =!"# A $/ Ψ > (,) = >!"# B $/ Adapun solusi umumnya adalah kombinasi linear dari semua Ψ C (,), yaitu Ψ(,) = DE F F!"# G $/ (13) FH= dengan E F adalah koefisien ekspansi.