KALKULUS TINGKAT LANJUT, oleh A.B. Panggabean Hak Cipta 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-882262; 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail: info@grahailmu.co.id Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memper banyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: 978-602-262-264-2 Cetakan ke I, tahun 2014
BAB I KATA PENGANTAR Buku ini diberi nama Kalkulus Lanjutan sebab isinya merupakan lanjutan dari apa yang sudah ditulis dalam buku Kalkulus sebelumnya. Isi buku ini dibagi dalam 5 Bab; BAB I Fungsi Lebih dari Dua Peubah (Variabel) z = f (x,y), BAB II Integral Lipat Integral Ganda, BAB III Persamaan Diferensial (P.D), BAB IV Banjar dan Deret, BAB V Vektor Analisis, Persamaan Linear Simultan, Determinan. Setiap bab di atas memuat beberapa topik dan setiap topik memuat contoh soal serta penyelesaiannya. Dalam mempelajari Bab V di atas terutama mengenai persamaan linear simultan, pembaca diharapkan sudah memahami matriks dan determinan. Pada tahun 1980 2005, penulis mengajar di Fakultas Teknologi Industri Universitas Trisakti, Jakarta. Sesuai dengan kurikulum/silabus kalkulus pada waktu itu, saya mengajarkan bab-bab tersebut kepada mahasiswa jurusan Teknik Elektro dan Teknik Mesin pada semester II. Penulis mengakui bahwa buku ini memiliki banyak kekurangan dan jauh dari sempurna, namun setidaktidaknya pasti dapat membantu para pembaca dalam mempelajari Kalkulus. Terima kasih banyak saya sampaikan kepada penerbit Graha Ilmu Yogyakarta atas kerja sama yang sangat baik, sehingga buku ini dapat diterbitkan.
vi Kalkulus Tingkat Lanjut Akhirnya penulis mengharapkan kiranya buku ini dapat menjadi kenang-kenangan bagi cucu penulis Fernando, Fernanda dan Marcella Panggabean yang pada waktu ini masih belajar di Amerika Serikat. Penulis Penulis
BAB I DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI v vii BAB I FUNGSI LEBIH DARI DUA PEUBAH (VARIABEL) 1 1.1 Limit Fungsi Lebih dari Dua Variabel Bebas z = f (x, y) 2 1.2 Derivatif Parsial 3 1.3 Diferensial Total Suatu Fungsi 7 1.4 Diferensiasi Fungsi Implisit 10 1.5 Bidang Singgung pada Permukaan di Titik P (x 1, y t, z 1 ) 12 1.6 Maksimum dan Minimum 13 BAB II INTEGRAL LIPAT INTEGRAL BERULANG 17 2.1 Mengubah Urutan Integral, Menentukan Batas Integrasi 21 2.2 Khusus Integral Lipat Tiga 26 2.3 Menulis Integral Lipat Tiga dengan Integral Berulang 27 2.4 Mengganti Variabel dalam Integral 28 2.5 Benda Putar Koordinat Kutub 31 2.6 Panjang Busur 32 2.7 Luas Permukaan Lengkung 32 2.8 Titik Berat Moment Inersia 35 BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) 41 3.1 Persamaan Diferensial Tingkat Pertama dan Derajat Satu 42 3.2 Persamaan Diferensial yang Dapat Dipisahkan 43 3.3 Persamaan Diferensial Homogen 44 3.4 Transformasi Perubah 46 3.5 Persamaan Diferensial Linear 47 3.6 Persamaan Bernoulli 48
viii Kalkulus Tingkat Lanjut 4.7 Faktor Integrasi 49 3.8 Persamaan Differensial Linear dengan Koefisien Tetapan 52 BAB IV BANJAR DAN DERET 61 6.1 Banjar dan Limit 61 6.2 Deret Hitung (DH) 63 6.3 Konvergen Divergensi Suatu Deret 66 6.4 Syarat Perlu untuk Konvergen 67 6.5 Menguji Konvergen Divergen Suatu Deret 68 6.6 Deret dengan Suku-suku Bergantian Positif dan Negatif 72 6.7 Konvergen Mutlak Konvergen Bersyarat 75 6.8 Deret Fungsi, Deret Pangkat Deret Kuasa 77 6.9 Deret Taylor dengan Sisa (Perluasan Deret Teori Rata-rata) 80 6.10 Deret Mac. Laurin 82 BAB V VEKTOR ANALISIS, PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN, DETERMINAN 85 5.1 Vektor Radius 88 5.2 Penjumlahan Vektor, Perkalian Skalar dengan Vektor 89 5.3 Perkalian Skalar (dat Product) Vektor 91 5.4 Panjang Vektor dan Jarak Dua Vektor 92 5.5 Proyeksi Sebuah Vektor Terhadap Vektor Lainnya 95 5.6 Ruang Linear: Garis Lurus dan Bidang Rata 96 5.7 Vektor Bebas dan Tidak Bebas Linear 103 5.8 Ruang Vektor (Vector Space) di R n 107 5.9 Basis dan Dimensi 108 5.10 Hasil Kali Vektor 111 5.11 Persamaan Linear Simultan 113 5.12 Luas Jajaran Genjang Volume Pararel Epipedum 123 5.13 Sifat Determinan 128 5.14 Kofaktor dan Minor Suatu Determinan 131 5.15 Uraian Lebih Lanjut Mengenai Matriks 132 5.16 Perkalian Dua Matriks 133 5.17 Inversi Matriks (Matriks Kebalikan) 135 5.18 Matriks Adjoint 137 DAFTAR PUSTAKA 143 TENTANG PENULIS 145 -oo0oo-
BAB I FUNGSI LEBIH DARI DUA PEUBAH (VARIABEL) Fungsi yang sudah dibicarakan adalah fungsi dengan dua variabel, ditulis dalam bentuk: 1. Eksplisit 2. Implisit, 0 Tempat kedudukan (T.K) titik yang memenuhi fungsi ini adalah sebuah kurva (lurus atau lengkung) pada bidang rata (Gambar 1) Akan dipelajari fungsi lebih dari dua variabel, khusus dari tiga variabel yang ditulis dalam bentuk: 1. Eksplisit, 2. Implisit,, 0 Tempat kedudukan (T.K) titik-titik yang memenuhi fungsi ini adalah sebuah permukaan (rata atau melengkung dalam ruang). (Gambar 2)
2 Kalkulus Tingkat Lanjutan Dapat diperluas sebagai berikut:,,,,, bentuk eksplisit dengan,,,,, variabel bebas.,,,,,,, 0 bentuk implisit 1.1 Limit Fungsi Lebih dari Dua Variabel Secara khusus bagi fungsi, Pengertian limit dari dapat dikembangkan pada, sebagai berikut: Limit, adalah L bila x mendekati a dan y mendekati b, jika untuk suatu bilangan 0 (bagaimanapun kecilnya) dapat ditemukan suatu bilangan pas sedemikian sehingga untuk semua dan semua y dengan dan berlaku, Contoh: lim lim cos lim. lim cos 2 0 2.1 2 sin lim sin sin 2 1 Dengan cara yang sama dapat diperluas bagi fungsi,,,,, Soal : Tentukan limit dari soal di bawah ini (jika ada) Jawab : 1. 0 1. lim 2. lim 3. lim 4. lim 2. Tidak mempunyai limit 3. 1 4.