BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Pendahuluan Model penurunan nla konds jembatan yang akan destmas mengatkan data penurunan konds jembatan dengan beberapa varabel kontnu yang mempengaruh penurunan kondsnya. Data penurunan ddapat dar data nla konds jembatan yang dnyatakan sebaga skala dskrt ordnal 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Dengan menetapkan data dskrt ordnal sebaga varabel tak bebas (dependen) dan data kontnu sebaga varabel bebas (ndependen), maka model probablstk probt dan/atau logt dapat dterapkan. Selanjutnya model probt dapat dkembangkan sebaga model probt terurut. Pada bab n akan dbahas mengena pengukuran data nla konds jembatan yang dnyatakan dalam data rang. Selanjutnya dbahas model penurunan konds jembatan IBMS yang dgunakan oleh Dnas Bna Marga. Sebaga pengantar pembahasan model probt terurut, model probt dan model logt yang merupakan bentuk sederhana dar model probt terurut akan dbahas pula pada bab n. Sebaga penutup bab n, akan dbahas mengena bentuk model penurunan konds jembatan yatu model probt terurut. 2.2 Pengukuran Data Konds Data konds jembatan ddapat dar hasl nspeks. Data tersebut dpresentaskan sebaga skala pengukuran dskrt ordnal, yang dsebut data rang. Menurut Madanat et al. (1995), nla yang dberkan tdak mengndkas jarak tap nla, hanya berupa urutan/ rangkng. Nla n d lapangan umumnya dgunakan untuk data kualtatf. Sebaga contoh, data konds jembatan yang dpresentaskan dengan nla 0, 1, dan 2 dmana 0 merepresentaskan konds bak, 1 merepresentaskan konds sedang, dan 2 merepresentaskan konds buruk. 5
Greene (1993) menambahkan bahwa data rang adalah data kuanttatf dmanap perbedaan konds yang dpresentaskan oleh nla konds 1 dan 0 tdak sama dengan perbedaan antara nla konds 2 dan 1. Selanjutnya data rang n ddapat langsung dar nspeks pada konds jembatan. Pengamblan data dar jembatan-jembatan n tdak dlakukan acak karena harus ddapat dar setap jembatan. Jad data bukan sampel data acak. Tetap data n bersfat probablstk karena adanya error dalam pengukuran / penlaan (Madanat et al., 1995). Error n dsebabkan faktor subjektvtas yang berbeda dar para nspektor/ observator setap melakukan penlaan. Menurut IBMS (1993), nla konds jembatan dkatkan dengan lma aspek yang berhubungan dengan kerusakan dengan pembobotan yang danggap sama. Lma aspek tersebut antara lan: a. Struktur Jka kerusakan pada jembatan berbahaya maka dber nla 1, jka kerusakan pada jembatan tdak berbahaya maka dber nla 0. b. Tngkat kerusakan Jka tngkat kerusakan parah maka dber nla 1, jka tngkat kerusakan tdak parah maka dber nla 0. c. Perkembangan volume kerusakan Jka jumlah kerusakan lebh besar atau sama dengan 50% dar area/ volume/ panjang, maka dber nla 1. Jka tdak mencapa 50% dar area/ volume/ panjang, maka dber nla 0. d. Fungs Jka elemen jembatan sudah tdak berfungs, maka dber nla 1. Jka elemen jembatan mash berfungs, maka dber nla 0. e. Pengaruh Jka kerusakan mempunya pengaruh pada elemen lan, maka akan dber nla 1. Jka kerusakan tdak mempunya pengaruh pada elemen lan, maka dber nla 0. Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 6
Nla konds jembatan yang berupa data rang adalah jumlah angka dar pernyataan tersebut d atas. Total nla konds jembatan adalah antara 0 sampa dengan 5. Data rang yang menyatakan nla konds jembatan sebagamana yang dpaka dalam IBMS dnyatakan dengan angka 0 sampa dengan 5, sesua dengan urutan yatu 0 = bak sekal, 1 = bak, 2 = rusak rngan, 3 = rusak berat, 4 = krts, 5 = runtuh/tdak berfungs. Nla konds jembatan tersebut dperoleh dar hasl nspeks yang dlakukan pada setap elemen jembatan dar sebuah bangunan nfrastruktur jembatan secara keseluruhan. Seluruh kerusakan yang terjad pada setap elemen jembatan tersebut dcatat dan dnla yang kemudan nla tersebut menjad nla konds dar jembatan yang bersangkutan. Dalam pelaksanaan nspeks suatu jembatan, selang waktu antara nspeks pertama dengan kedua serta selang waktu antara nspeks kedua dan ketga danggap konssten, msalnya dlakukan setap tanggal 1 Januar. 2.3 Peluang Transs Markov Pada saat n, peluang transs Markov telah dgunakan secara luas dalam manajemen jembatan untuk mengestmas penurunan konds jembatan (Madanat et al., 1995). Peluang transs menyatakan besarnya peluang dmana suatu konds akan mengalam perubahan dar satu konds ke konds yang lan pada suatu waktu tertentu. Penurunan konds jembatan menyatakan perubahan konds jembatan dar konds lebh bak menjad konds yang kurang bak dalam suatu waktu tertentu. Besarnya peluang terjadnya penurunan konds jembatan dnyatakan dengan peluang transs. Menurut Madanat et al. (1995), transs atau perubahan bersfat probablstk d alam dkarenakan oleh beberapa hal sebaga berkut : a. Perubahan konds berupa varabel yang tdak teramat. Secara langsung, proses perubahan konds yang terjad tdak dapat damat karena perubahan konds tdak dapat dpredks dengan past d alam. Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 7
b. Adanya error dalam pengukuran. Sepert yang telah djelaskan pada sub bab sebelumnya, adanya error dalam pengukuran dsebabkan jumlah observator atau orang yang terlbat dalam pengamblan data d lapangan banyak dengan subjektvtas yang berbeda-beda serta waktu penlaan yang tdak sama. c. Sfat stokastk dar proses perubahan konds. Proses stokastk adalah suatu barsan kejadan yang memenuh hukum-hukum peluang (Karln dan Taylor, 1975). Proses perubahan konds mengandung ketdakpastan atau tdak dapat dduga d alam sehngga memenuh hukumhukum peluang. Hal n mengakbatkan proses perubahan konds memlk sfat stokastk d alam. Menurut Ross (2000), proses stokastk yang memenuh sfat Markov dkenal dengan ranta Markov. Msalkan terdapat suatu proses stokastk {X n, n = 0, 1, 2,...} yang mempunya ruang keadaan berupa hmpunan berhngga atau hmpunan terblang. Jka X n =, maka proses berada pada konds pada waktu n. Untuk semua 0,..., n-1,, j dan semua n 0, berlaku sfat PX { = jx =,..., X =, X = } = PX { = jx = } (2.1) n+ 1 0 0 n 1 n 1 n n+ 1 n Dengan sfat sepert d atas, proses stokastk tersebut dnamakan ranta Markov. Persamaan (2.1) menyatakan bahwa pada ranta Markov, konds mendatang (X n+1 ) salng bebas dengan konds lampau (X n-1 ) dan bergantung pada konds saat n (X n ). Msalkan nla p j merepresentaskan peluang perubahan konds dar ke j. Karena peluang bersfat non-negatf maka ddapat p 0,, j 0, p = 1, = 0,1,... j j= 0 j Dar matrks peluang transs bsa dlhat berapakah peluang perubahan konds suatu jembatan dar nla konds lebh bagus ke nla konds lan yang lebh buruk. Bentuk umum matrks peluang transs yang akan dgunakan adalah sebaga berkut: Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 8
p p. P =.. p 00 10 m0 p p p 01 11 m1......... p p p 0n 1n mn (2.2) n dengan p = 1; =0, 1,,m ;, j=0, 1,, n dan m = n adalah nla konds j = 0 j terbesar. Secara khusus pada jembatan, nla konds terbesar yang terjad yatu nla 5, yang menyatakan konds jembatan runtuh. Dengan mensusttuskan m=n=5 pada bentuk umum matrks peluang transs Markov d atas, ddapat bentuk matrks peluang transs Markov yang akan dgunakan menjad sebaga berkut: p00 p01 p02 p03 p04 p05 p10 p11 p12 p13 p14 p15 p 20 p21 p22 p23 p24 p25 P = (2.3) p30 p31 p32 p33 p34 p35 p 40 p41 p42 p43 p44 p45 p50 p51 p52 p53 p54 p55 5 dengan p = 1; =0, 1,,5 ;, j=0, 1,, 5 j= 0 j Dengan adanya asums bahwa tdak ada penanganan atau perbakan pada bangunan nfrastruktur, maka perubahan konds hanya terjad dar nla konds lebh bak ke nla konds lebh buruk. Akbatnya, tdak ada perubahan konds dar nla konds lebh buruk menjad nla konds lebh bak. Ddapat peluang perubahan konds dar konds ke konds j yatu p j pj, = 0,1,...,5, j = 0,1,...,5 = (2.4) 0, > j Sehngga bentuk matrks peluang transs Markov yang akan dgunakan menjad sebaga berkut : Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 9
p00 p01 p02 p03 p04 p05 0 p11 p12 p13 p14 p15 0 0 p 22 p23 p24 p25 P = (2.5) 0 0 0 p33 p34 p35 0 0 0 0 p 44 p45 0 0 0 0 0 1 2.4 Model Penurunan Konds Secara alamah, suatu jembatan akan mengalam perubahan konds dar waktu ke waktu. Faktor-faktor d alam sepert umur, konds cuaca, dan konds lalu lntas d jembatan akan mempengaruh konds jembatan. Jka jembatan dbarkan begtu saja, tanpa adanya perlakuan perbakan ataupun pemelharaan, maka perubahan konds yang terjad adalah penurunan konds jembatan. Untuk mengetahu sepert apa penurunan konds suatu jembatan, perlu dcar sepert apakah model penurunan konds jembatan. Menurut IBMS (1993), perubahan nla konds jembatan dmodelkan dengan menggunakan kurva kerusakan atau kurva penurunan konds jembatan. Kurva n dgunakan untuk mengestmas nla konds suatu jembatan berdasarkan umur jembatan. Penentukan nla konds pada kurva penurunan konds menurut IBMS (1993) yatu dengan menggunakan persamaan sebaga berkut: t 100 1 N CM () t = 5 a dmana : CM(t) = Condton Mark, yatu nla konds pada tahun t t = Umur elemen N = Umur rencana elemen a,b = parameter-parameter persamaan 1 b (2.6) Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 10
Jka nla a, N, t dasumskan tetap sedangkan b berubah-ubah, dengan menggunakan bantuan program Maple 9 sepert yang dnyatakan dalam Lampran F, ddapat kurva penurunan konds jka a=4, N=50 sebaga berkut: Dar gambar 2.1 dsampng, terlhat pola penurunan konds jembatan untuk nla b yang berubah-ubah. Dmsalkan 3 nla b yang berbeda, yatu b=2 (kurva a dengan warna merah); b=2,5 (kurva b dengan warna hjau); dan b=3 (kurva c dengan warna bru). Gambar 2.1 Kurva Penurunan Konds asums a, N, t tetap dan b berubah-ubah a.) b=2; b.) b=2,5; c.) b=3 Kurva yang dngnkan adalah kurva yang memotong sumbu tegak (sumbu-y) CM=0 pada saat t=0 dan CM=5 pada saat t=n. Ddapat dar Gambar 2.1 d atas, kurva yang palng sesua adalah kurva a dengan nla b=2. Pada kurva tersebut, sumbu y terpotong pada CM=0 pada saat t=0 sedangkan sumbu-x terpotong pada CM=5 pada saat t=n=50. Jka nla b, N, t dasumskan tetap sedangkan a berubah-ubah, dengan menggunakan bantuan program Maple 9 sepert yang dnyatakan dalam Lampran F, ddapat kurva penurunan konds jka b = 2, N = 50 sebaga berkut: Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 11
Dar gambar 2.2 dsampng, terlhat pola penurunan konds jembatan untuk nla a yang berubah-ubah. Dmsalkan 3 nla a yang berbeda, yatu a=3 (kurva a dengan warna merah); a=4 (kurva b dengan warna hjau); dan a=5 (kurva c dengan warna bru). Gambar 2.2 Kurva Penurunan Konds asums b, N, t tetap dan a berubah-ubah a.) a=3; b.) a=4; c.) a=5 Kurva yang dngnkan adalah kurva yang memotong sumbu tegak (sumbu-y) CM=0 pada saat t=0 dan CM=5 pada saat t=n. Ddapat dar Gambar 2.2 d atas, kurva yang palng sesua adalah kurva b dengan nla a=4. Pada kurva tersebut, sumbu y terpotong pada CM=0 pada saat t=0 sedangkan sumbu-x terpotong pada CM=5 pada saat t=n=50. 2.5 Model Penurunan Konds Jembatan Bna Marga Untuk memodelkan nla konds jembatan yang mengalam penurunan konds, Drektorat Bna Marga menggunakan model IBMS d atas. Pada model Bna Marga dgunakan N = 50, nla a = 4.66, b = 1.9051 (Muchydn, 2005) sehngga ddapat persamaan sebaga berkut : t 100 1 50 CM () t = 5 4,66 1 1,9051 dmana : CM(t) = Condton Mark, yatu nla konds pada tahun t (2.7) Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 12
t = Umur elemen Kurva penurunan konds jembatan yang dhaslkan dar persamaan (2.7) d atas yatu sebaga berkut: 0 BMS Deteroraton Model N=50, a=4.66, b=1.9051 1 2 CM 3 4 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Umur (tahun) Gambar 2.3 Tpkal kurva kerusakan (Sumber : Departemen PU, 1993) Dmsalkan umur elemen (t) adalah 40 tahun. Dengan mensubsttuskan nla tersebut pada persamaan (2.7), ddapat nla konds jembatannya sebaga berkut: 40 100 1 50 CM () t = 5 4,66 1 1,9051 = 2,8517 Ddapat nla konds jembatan tersebut adalah 2,8517 3. Nla 3 artnya konds jembatan berada pada konds rusak berat. Jka dperhatkan pada kurva d atas, terlhat bahwa ttk perpotongan umur elemen 40 tahun berpotongan dengan ttk CM pada nla 2,8517 atau dbulatkan menjad 3. Dar persamaan kurva penurunan konds pada program IBMS tersebut terlhat bahwa faktor umur elemen jembatan danggap sebaga satu-satunya faktor Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 13
yang palng berpengaruh ddalam penurunan konds suatu bangunan nfrastruktur jembatan. Faktor-faktor lan yang turut berpengaruh pada lebh cepat atau tdaknya penurunan konds suatu elemen jembatan, sepert msalnya faktor lalulntas yang melewatnya, faktor lngkungan dmana bangunan nfrastruktur jembatan tersebut berada serta faktor kualtas konstruks, danggap memberkan pengaruh yang tdak terlalu besar, sehngga dabakan. 2.6 Model Logt Dalam pemodelan probablstk dkenal adanya model logt dan probt. Model-model n serng dgunakan dalam kasus dmana varabel dependennya berupa data dskrt. Pada sub bab n akan dbahas mengena model logt atau yang basa dsebut model regres logstk. Namun sebelum tu, akan djelaskan mengena dstrbus logstk yang dgunakan dalam model logt. Menurut Greene (1993), dstrbus logstk memlk fungs dstrbus kumulatf sebaga berkut: 1 F( x) =Λ ( x) = (2.8) x 1 + e Sedangkan fungs kepadatan peluangnya yatu : f ( x) = Λ( x)[1 Λ ( x)] 1 1 = 1 x 1+ e 1+ e x x 1 1+ e 1 = x x 1+ e 1+ e x 1 e = x x 1+ e 1+ e x e f( x) = (2.9) x 2 (1 + e ) Model logt adalah model tak lner yang menggunakan dstrbus logstk dalam pengandaan faktor error ε. Selan tu, model n juga menggunakan Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 14
varabel dummy sebaga varabel dependennya. Varabel dummy yang dmaksud dsn adalah jens varabel dskrt yang mempunya dua nla, yatu 0 dan 1. Msalkan Y adalah varabel respon yang benla 1 yang menyatakan sukses dan 0 yang menyatakan gagal. Msalkan pula X adalah varabel faktor-faktor yang mempengaruh Y. Jka P menyatakan besarnya peluang terjadnya sukses dan 1-P menyatakan besarnya peluang terjadnya gagal, maka bentuk model logt adalah sebaga berkut: P Y = logt = log = βx + ε 1 P (Agrest, 1996) (2.10) dan Y dmana : Y > = = logt 1, jka Y 0 0, jka Y 0, =1,..n (2.11) β ε = koefsen parameter = error, ε berdstrbus logstk (Agrest, 1996). Bentuk model sepert yang dnyatakan pada persamaan (2.10) d atas ddapat dar transformas dstrbus logstk. Jka error ε berdstrbus logstk, maka berdasarkan persamaan (2.11) ddapat persamaan untuk peluang terjadnya Y = 1 sebaga berkut P = P( Y = 1) = PY > ( 0) = P( β X + ε > 0) = P( ε > β X ) = P( ε < β X ) = F( β X ) 1 = (2.12) + P 1 X e β Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 15
Persamaan untuk peluang terjadnya Y = 0 ddapat sebaga berkut 1 P = P( Y 0) = P( β X + ε 0) = P( ε β X ) = P( ε β X ) = 1 F( β X ) βx e 1 P = (2.13) βx 1 + e Dar persamaan (2.12) dan (2.13) ddapat bentuk logt Y Y P = logt = log 1 P 1 βx = log 1+ e βx e βx 1+ e 1 = log X e β X ( e β ) = log = β X Terbukt haslnya sama dengan persamaan (2.10) yang telah dsebutkan d halaman sebelumnya. Pada Gambar 2.4 d bawah dgambarkan kurva model logt yang menyatakan propors sukses dan merupakan presentas dar persamaan peluang sukses pada persamaan (2.12) 1 = + P 1 X e β Kurva tersebut terlhat membentuk huruf S yang mendekat nla 0 dan 1. Bentuk n umum dgunakan untuk memodelkan respon yang berupa data bner yang dnyatakan dengan nla 0 atau 1 (Wesberg, 1985). Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 16
a.) b.) Gambar 2.4 Kurva model logt (a.) jka nla β >0; (b.) jka nla β <0 (Agrest, 1996) Pada Gambar 2.4 d atas, kurva 2.4a menggambarkan model logt jka nla β>0. Pada kurva tersebut, varabel respon akan mengalam kenakan jka nla peluang suksesnya mengalam kenakan. Kurva 2.4 b menggambarkan model logt jka nla β<0. Pada kurva tersebut, varabel respon akan mengalam penurunan jka nla peluang suksesnya mengalam kenakan. 2.7 Model Probt Selan model probt, dalam pemodelan probablstk dkenal juga adanya model probt. Sepert halnya model logt, model probt n juga serng dterapkan pada kasus analss data dskrt nomnal. Model probt dkenalkan pertama kal oleh Chester Blss pada tahun 1934, dmana kata probt merupakan kependekan dar probablty unt. Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 17
Menurut Yong (2003), model probt adalah model tak lnear yang menggunakan varabel dummy sebaga varabel dependennya dan mengandakan faktor error ε berdstrbus normal 2 N(0, σ ). Varabel dummy yang dmaksud dsn adalah jens varabel dskrt yang mempunya dua nla, yatu 0 dan 1. Varabel dummy tersebut dhubungkan dengan varabel respon yang tdak teramat namun ngn dketahu. Pada model probt, dgunakan dstrbus normal dengan rataan ( µ ) dan varans 2 σ 2 N(0, σ ) dalam transformasnya. Dstrbus normal 2 N(0, σ ) n memlk fungs kepadatan peluang sebaga berkut: 1 2 ( 1/2 )( x / σ ) f( x) = φ( x) = e (2.14) 2πσ Sedangkan fungs dstrbus kumulatf nya yatu : x 1 F( x) =Φ ( x) = ( t) dt = e dt 2πσ x 2 ( 1/2 )( t / σ ) φ (2.15) Bentuk kurva Normal sepert yang dgambarkan pada Gambar 2.5 d bawah n σ µ Gambar 2.5 Kurva Normal x Dar Gambar 2.5 d atas dapat dlhat bahwa kurva normal memlk nla maksmum pada saat x = µ. Kurva smetrs kr kanan terhadap sumbu tegak yang melalu rataan µ (Walpole, 1995). Msalkan Y adalah varabel respon yang benla 1 yang menyatakan sukses dan 0 yang menyatakan gagal. Msalkan pula X adalah varabel faktor-faktor yang mempengaruh Y. Jka P menyatakan besarnya peluang terjadnya sukses, maka bentuk model probt adalah sebaga berkut: ( ) Y = probt = Φ P = β X + ε (2.16) 1 Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 18
1, jka Y > 0 dan Y = 0, jka Y 0 dmana : = koefsen parameter β (2.17) 1 Φ = nvers fungs dstrbus normal standar ε = error, ε berdstrbus logstk (Agrest, 1996). Bentuk model sepert yang dnyatakan pada persamaan (2.16) d atas ddapat dar transformas dstrbus normal. Jka error ε berdstrbus normal, maka berdasarkan persamaan (2.17) ddapat persamaan untuk peluang terjadnya Y = 1 sebaga berkut P = P Y > ( 0) = P( β X + ε > 0) = P( ε > β X ) = P( ε < β X ) P = F( β X ) (2.18) Dar persamaan (2.18) d atas ddapat Y Y = probt =Φ 1 =Φ 1 ( ( β )) F X ( P) β X 1 =Φ φ() t dt = β X Terbukt haslnya sama dengan persamaan (2.16) yang telah dsebutkan d awal. Kurva model probt membentuk huruf S, sepert yang dgambarkan pada Gambar 2.6 d bawah n. Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 19
Gambar 2.6 Kurva model probt (Greene, 1993). Pada Gambar 2.6 d atas, kurva model probt membentuk huruf S yang mendekat nla 0 dan 1. Kurva tersebut mrp dengan bentuk kurva model logt yang telah dgambarkan pada Gambar 2.4 sebelumnya. Pada Gambar 2.7 d bawah n, dgambarkan kurva model probt yang terlhat lebh landa d bandng kurva model logt, perbedaannya kecl. Hal tersebut mengakbatkan model probt dan logt basanya mengarah pada kesmpulan yang sama untuk data yang sama dalam praktek (Garson, 1998). Gambar 2.7 Kurva model probt dan model logt Menurut Garson (1998), model logt berdasarkan pada asums bahwa varabel respon merepresentaskan varabel kualtatf yang tak teramat dan Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 20
menggunakan dstrbus logstk. Sedangkan model logt berdasarkan pada asums bahwa varabel respon merepresentaskan varabel kuanttatf yang tak teramat dan menggunakan dstrbus kumulatf Normal. Dalam model penurunan konds jembatan, model probt yang dkembangkan dplh untuk dgunakan karena varabel penurunan konds jembatan bersfat kuanttatf tak teramat. 2.8 Model Probt Terurut Dalam statstk, kata terurut basa dgunakan dalam katannya dengan skala pengukuran. Varabel yang mempunya skala terurut serng dsebut varabel ordnal. Nla yang dberkan tdak mengndkas jarak tap nla, tetap hanya berupa urutan/ rangkng. Sebaga contoh, data konds jembatan yang drepresentaskan secara berurutan dengan nla 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 dmana 0 menyatakan konds terbak dan 5 menyatakan konds terburuk. Model probt terurut adalah model yang dkembangkan dar model probt untuk memodelkan varabel respon yang berupa data dskrt ordnal (Greene, 1993). Model probt terurut dperkenalkan pertama kal dalam lmu sosal untuk memodelkan karakterstk yang tdak dapat dobservas dalam populas. Model n mengasumskan adanya varabel acak kontnu yang tdak terobservas dan memungknkan untuk mengenal adanya pengaruh laten d alam (Madanat et al., 1995). Ide utama dar model probt terurut adalah adanya varabel laten kontnu yang dhubungkan dengan respon ordnal yang dobservas. Selan tu, ada threshold yang membag daerah menjad beberapa kategor ordnal (Jackman, 2003). Model probt terurut dgunakan untuk mengkonstruks ncremental model dmana beda nla konds adalah ndkator dar laten penurunan konds. Model n dtambahkan pada nla konds awal untuk mengestmas nla konds selanjutnya. Model n juga dapat dgunakan untuk menghtung matrks transs non statoner. Untuk tap nla konds, model penurunan konds yang berbeda Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 21
dkembangkan. Hal n dsebabkan proses mekansme penurunan konds yang berbeda untuk tap konds. Msalkan X n adalah varabel yang palng berpengaruh terhadap penurunan konds nfrastruktur sepert panjang bentang, lebar, umur, beban lalu lntas (AADT), tpe permukaan yang dgunakan, dan faktor lngkungan. Msalkan pula U n adalah fungs dar varabel palng berpengaruh. Maka U n dapat ddefnskan sebaga laten penurunan konds dan drepresentaskan oleh varabel acak. Msalkan U n adalah laten penurunan konds untuk fasltas n dalam state. U n dasumskan berada dantara 0 dan karena adanya laten penurunan konds yang dharapkan selalu bernla tak negatf, sesua dengan pemberan nla rang pada konds jembatan. Ddapat model penurunan konds laten untuk tap state konds yang dnyatakan dengan hubungan lner antara laten penurunan konds U n dan hmpunan varabel yang palng berpengaruh yang terobservas X n adalah sebaga berkut: dmana U n β X n logu n ' = β X + ε n n = laten penurunan konds untuk fasltas n dalam state = parameter yang akan destmas = varabel palng berpengaruh dar fasltas n ε n = error, ε : N(0,1) (2.19) Penggunaan logartma pada persamaan (2.21) d atas dgunakan untuk menjamn nla U n selalu tak negatf. Jka nla U n negatf, maka yang terjad adalah kenakan konds. Berdasar asums bahwa tdak ada kegatan pemelharaan dan rehabltas yang dlakukan, maka hal n tdak mungkn terjad. Selan tu, melhat sfat fss penurunan konds yang dsebabkan varabel yang berpengaruh, termasuk konds sebelumnya, maka dperkrakan proses penurunan konds tdak akan bsa mengkut model lner sederhana. Msalkan suatu jembatan yang retak atau rusak d suatu tempat dan mengalam penurunan konds, maka pada waktu yang akan datang jembatan n akan mengalam penurunan konds lag dan perubahan n kemungknan tdak akan mengkut model regres lner karena Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 22
beban lalu lntas dan varabel alam lannya. Hal yang mungkn terjad adalah proses penurunan konds mengkut bentuk logartma. Hubungan antara laten penurunan konds U n dengan hmpunan varabel palng berpengaruh yang terobservas (X n ) tdak dapat destmas langsung karena U n tdak terobservas secara langsung. Hal n mengakbatkan parameter β tdak dapat langsung dhtung nla estmasnya. Hal yang dapat dobservas dar bangunan nfrastruktur adalah nla konds. Perubahan nla konds nlah yang akan dgunakan untuk mengestmas model penurunan konds pada persamaan (2.21). Msalkan varabel Z n adalah perubahan nla konds pada fasltas bangunan nfrastruktur ke-n dar suatu state konds. Maka nla Z n akan bernla antara 0 sampa dengan m- untuk nla konds, dmana =0, 1, 2,..., m dan m adalah nla konds terendah (runtuh). Msalkan parameter γ 0, γ 1,..., γ ( 1) merepresentaskan threshold yang memetakan nla kontnu U n ke dalam nla dskrt Z n, dengan γ 0 = 0 dan γ (+1) =. Ddapat hubungan yatu perubahan nla konds, Z n adalah j jka laten penurunan konds dalam perode waktu, U n berada dantara ttk batas γ 0 dan γ (j-1). Secara matemats, hubungan antara dnyatakan Z n dan U n adalah sebaga berkut : Z n = j jka γ j Un < γ ( j +1) untuk j = 0,.., m (2.20) dmana Z n γ = γ γ <... < γ 0 0 < 1 < 2 = perubahan konds pada fasltas n, j = nla konds m = nla konds terendah U n γ j = laten penurunan konds untuk fasltas n = threshold j Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 23
Ilustras hubungan antara Z n dan U n sepert yang dnyatakan pada Gambar 2.8 berkut: 0 1 m- U n Z n γ 0 =0 γ 1 γ 2 γ (m-) Gambar 2.8 Hubungan antara Z n dan U n Analss Probt Pada Model Penurunan Konds Jembatan 24