6.3 PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

6.3 PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN Penjelasan dari proses-proses kelahiran murni dan kematian murni telah diskusikan pada bagian 6.1 dan 6.2 bahwa X(t) memungkinkan untuk naik ataupun turun. Jadi, apabila pada saat waktu t, proses berada pada state n, setelah bergerak secara acak, bergerak ke state terdekat lainnya n+1 atau n-1. Hasil dari proses kelahiran dan kematian dapat dianggap sebagai analogi waktu kontinu dari sebuah random walk ( bagian 3.53) proses kelahiran dan kematian merupakan cara yang baik dari permodelan ststistik, ragam model parameter proses kelahiran dan kematian pemodelan adalah sebuah variasi fenomena. pada waktu yang sama metode standar dari analisis berlaku untuk menentukan jumlah ( kuantitas ) seperti distribusi stasioner dan mean ( rata-rata ). Pada Bagian ini berisi beberapa contoh dari proses kelahiran dan kematian dan ilustrasi bagaimana keduanya digunakan untuk menggambarkan kesimpulan tentang fenomena yang bervariasi. 6.3.1 Dalil seperti pada kasus proses kelahiran murni, diasumsikan bahwa X(t) adalah sebuah proses Markov pada state 0,1,2,... dan dengan probabilitas transisinya Pij(t) sebagai berikut : Pij(t) = Pr { X(t+s)=j X(s)=i } untuk semua s 0 Diasumsikan bahwa Pij(t) sebagai berikut : 1. Pi,i+1(h) = ih + o(h) dengan 0, 0 2. Pi, i-1(h) = ih + o(h) dengan 0, 0 3. Pii(h) = 1 ( h + o(h) dengan 0, 0 4. 0 5. 0, 0,, 0 dengan i= 0,1,,,, o(h) di setiap kasus bergantung pada i, matriksnya sebagai berikut : 0 0 0 A= 0 0 0 disebut INFINITESIMAL GENERATOR dari prosesnya. Parameter dan disebut infinitesimal kelahiran dan infinitesimal kematian. Pada postulates 1 dan 2 diasumsikan bahwa apabila proses berawal di state, kemudian pada interval waktu

yang kecil probabilitas dari populasi meningkat / menurun oleh 1 yang merupakan proporsional esensi untuk panjang interval. Selama adalah probabilitas, dipunyai Pij ( t ) 0 Dan 1...(6.18) Menggunakan sifat proses Markov, didapatkan turunannya, disebut persamaan Chapman- Kolmogorov.....(6.19) Pada persamaan tersebut state bergerak dari state ke state pada saat waktu t, bergerak melalui state pada waktu dan dari ke pada waktu. Ini merupakan analog waktu kontinu dari formula. (3.11) Sejauh ini kita baru bisa menyebutkan probabilitas transisi. Untuk mendapatkan probabilitas, kita harus menspesifikasikan dimana proses itu berawal atau secara umum distribusi probabailitas untuk state inisial, diperoleh: Pr Dimana 0 6.3.2 Waktu Singgah Dengan asumsi sebelumnya, kita bisa menghitung distribusi variabel random dalam state i dengan adalahwaktu singgah; jika prosesnya dalam state i, berapa distribusi waktu singgah ( ) pertama kali sampai prosenya meninggalkan state i? Jika kita anggap probabilitas di mana waktu antar kedatangan selanjutnya (waktu tunggu ) suatu waktu tertentu Jika kita menyesuaikan ini dengan sifat Markov bahwa h 0 {postulat 3} 1 atau µ 1 maka µ jika digunakan 0 1 solusi dari persamaan ini adalah

µ Contohnya, mengikuti distribusi exponensial dengan mean µ. Bukti yang ditunjukan tersebut tidak cukup lengkap karena kita harus menggunakan hubungan intuitif tanpa pembuktian yang formal. Menurut postulates 1 dan 2,selama durasi waktu sepanjang h, sebuah transisi terjadi dari state i ke i+1 dengan probabilitas dan dari state i ke i-1 dengan probabilitas µ. Ini disesuaikan berdasarkan intuisi bahwa, jika sebuah transisi ini terjadi pada waktu t, probabilitas yang ditetapkan transisi ini untuk state i+1 adalah / µ dan untuk state i-1 adlh µ / µ. Hal itu membawa kita pada sifat proses penting dari proses kelahiran dan kematian, bagaimanapun, didalam deskripsi gerakan mengikuti : proses singgah pada state i selama waktu singgahnya mengikuti distribusi exponensial dengan parameter µ. Ketika meninggalkan state i proses memasuki salah satu dari state i+1 dengan probabilitas / µ atau memasuki state i-1 dengan probabilitas µ / µ. Pergerakannya random kecuali pada pada saat periode waktu yang sudah pasti/ditentukan. Prosedur sederhana untuk mengkonstruksi proses kelahiran dan kematian adalah menentukan parameter kelahiran dan kematian,. Dan membangun stukturnya dengan memanfaatkan deskripsi sebelumnya tentang waktu tunggu dan probabilitas transsisi bersarat dari berbagai state. Kita tentukan proses realisasi sebagai berikut. Andaikan X(0)=I ;partikel acak variable random, berdistribusi eksponensial dengan parameter, dari state i perpindah dengan probabilitas / untuk state (i+1) dan dengan probabilitas / untuk state (i- 1). Selanjutnya partikel berpindah secara acak ke state lain, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya diamati nilai t 1 dari distribusi eksponensial dengan parameter adalah waktu perpindahan di state i. Dilemparkan sebuah koin dengan probabilitas kepala /.

Jika kepala (ekor)yang didapat kita pindah partikel ke state i+1(i-1). Di state i+1 kita observasi nilai t 2 dari distribusi eksonensial dengan parameter,itu merupakan waktu perpindahan yang diperbaiki di state ke dua yang dikunjungi. Jika partikel di trasisi pertama masuk state i-1, waktu perpindahan selanjutnya adalah t 2 yang merupakan observasi dari distribusi eksponensial dengan parameter. Setelah itu percobaan Berbouli dilakukan untuk memilih state selanjutnya yang akan disinggahi, dan proses berlangsung pada cara yang sama. Hasil dari penghitungan prosedur perhitungan sampling proses realisari, bentuknya sebagai berikut, 0 1,, X(t)=,.. Dengn mengambil sampel dari distribusi eksponensial dan bernouli. Kita akan mengkontuksikan contoh dari prosesnya. Hasil ini mungkin lebih baik dan akan dibahas pada buku senlanjutnya. Proses yang diperoleh pada cara ini dinamakan proses asosiasi minimal dengan perhitungan matix A dalam (6.17). postulat 1 sampai 5 dari sub 6.3.1. Faktanya ada beberapa proses markov yang prosesnya sama dengan pembangkinya yang sangat kecil. Untungnya tak muncul komplikasi dalam model penomena umum. Pada kasus khusus proses kelahiran dan kematian untuk 0, kondisi cukup bahwa ada proses markov dengan fungsi probabilitas transisi untuk relasi yang kecil (6.18) dan (6.19) (6.21) Dimana 1,, 1,2,3,. Pada beberpa contoh kondisi proses kelahiran dan kematian (6.21) memenuhi asosiasi proses kalahiran dan kematian dengan parameter nya ditentukan secara unik.

6.3.3. Persamaan diferensial proses kematian dan kelahiran Seperti pada kasus proses kelahiran dan kematian murni probabilitas transisi (t) cukup pada sistem persamaan turunan diketahui sebagai batas bawah persamaan turunan Kolmograf. Diberikan: (t)= (t)+ (t) ij(t)=, (t) - ( + (t)+, (t), і 1 Dan batasan (0)= Dari persamaan (6.19), diperoleh :,,,,, 1, 1. Menggunakan postulates 1,2,3 dari bab 6.3.1 Maka = 1,,, = 11 =, 1, Perpindahan (t) ruas kiri dan kanan dibagi oleh persamaan h,kita dapatkan setelah 0,, Persamaan batas bawah berada pada interval (0,t+h), dimana h positif dan kecil, pada 2 periode 0,,,, Dan pengujian transisi pada masing-masing periode pada persamaan ini didapatkan batas bawah adalah hasil dari first step analysis first step analysis berakhir lebih cepat pada interval di h.

Perbedaan hasil dari first step analysis dari penggabungan waktu interval 0, pada periode 2. 0,,, Dan berdasarka hasil dari kondisi yg kuat,kita dapat dapat menentukan persamaan diferensial selanjutnya 0 1 2 j-1 j j+1..,,,,, j 1 (6.24) Dengan kondisi inisial yang sama 0 yang diketahui sebagai batas persamaan diferensial Kolmograv. Untuk mendapatkan persamaan tersebut kita ganti t dan h pada persamaan (6.23) dengan diasumsikan pada penambahan postulat 1,2&3 dapat ditunjukan bahwa bentuk akhirnya bermanfaat pada persamaan diferensial. 0(h). Mengingat pernyataan yang sama sebelumnya akan lebih Kondisi cukup (6.24) adalah / 0 1 untuk kj, j-1, j+1 dimana 0 1 cenderung mendekati nol dengan semua batasnya sama dengan k untuk j tertentu sebagaimana h->0. dalam kasus ini kita dapat membuktikan persamaaan. CONTOH Proses Pertumbuhan linier dengan Imigrasi, kelahiran dan kematian yang disebut proses pertumbuhan linier jika λ n = λn + a dan µ n = µn dengan λ > 0, µ > 0, dan a > 0. proses tersebut

terjadi secara alami dalam studi reproduksi biologi dan pertumbuhan penduduk. Jika n state menggambarkan ukuran populasi saat ini, maka tingkat rata-rata seketika pertumbuhan λn + a. Demikian pula, probabilitas state dari proses penurunan oleh satu setelah berlalu dari h durasi waktu kecil µnh + o(h). λn merupakan faktor pertumbuhan alami penduduk karena ukuran saat ini sedangkan faktor kedua mungkin ditafsirkan sebagai tingkat yang sangat kecil kenaikan penduduk karena sumber eksternal seperti imigrasi. Komponen µn yang memberikan tingkat kematian rata-rata sangat kecil dari populasi ini memiliki interpretasi yang jelas. Jika kita pengganti nilai-nilai di atas λn dan µn dalam (6.24) kita memperoleh P' i0 (t) = ap i0 (t) + µp i1 (t), P' ij (t) = [ λ( j 1) + a ] P i, j 1 (t) [(λ + µ)j + a] P ij (t) + µ(j + 1) P i,j+1 (t), j 1 Sekarang jika kita kalikan persamaan j dengan j dan jumlah, berarti nilai yang diharapkan memenuhi persamaan diferensial M '(t) = a + (λ µ) M (t) dengan M kondisi awal M(0)=i, if X (0) = i. Solusi persamaan ini adalah M (t) = at + i if λ = µ, dan M (t) = { l} + i if λ µ. (6.25) Saat kedua atau mungkin varians dihitung dengan cara yang sama. Sangat menarik untuk dicatat bahwa M (t) as t if λ µ, jika λ < µ, sedangkan jika λ <µ ukuran populasi mean untuk t besar adalah sekitar

Hasil ini menunjukkan bahwa dalam kasus kedua, dimana pada λ <µ, populasi stabil dalam jangka panjang dalam beberapa bentuk keseimbangan statistik. Memang dapat ditunjukkan bahwa distribusi probabilitas membatasi {π j } ada yang lim t P ij (t) = π j, j = 0, 1,... membatasi distribusi tersebut untuk kelahiran umum dan proses kematian adalah subyek dari bagian berikutnya. 1. Sebuah proses kelahiran dan kematian hanya dapat memiliki banya finitely state. Sebagai contoh sederhana, pertimbangkan kelahiran kedua state dan proses kematian dengan λ 0 = λ, µ 1 = µ, dan λ 1 = µ 0 = 0. Tentukan P ij (t) dengan memecahkan persamaan (6,24). Catatan: P 01 (t) = 1 P 00 (t). JAWAB: 0 0 1 2. Dalam kasus pelayaan praktek dokter diasumsikan kedatangn seoarang pasien mengikuti proses poison dengan laju kedatangan 2 orang dalam 1jam, daln lama pemeriksaan 15 menit, bagaimana proses poisonya? Jawab: Missal sitem trsebut dalam keadan steady-state maka probabilitas p 0 dan p 1 adalah

Jika (ketangan pasien persatuan waktu seorang pasien sama dengan 1/rata-rata waktu pelayana untuk seorang pasien) Maka 0.6667 2 4 Sehingga dokter akan lebih banyak ngangur