MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson

Transkripsi

1 MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC

2 MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 5 Proses Poisson SMART AND STOCHASTIC

3 Pengantar Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog dengan percobaan Bernoulli, percobaan atau proses Poisson akan mengkaji (i) banyak sukses dalam suatu periode waktu, dan (ii) waktu (kontinu) yang dibutuhkan untuk mendapatkan sukses yang pertama. Distribusi yang terlibat dalam (i) adalah distribusi Poisson, sedangkan distribusi yang berkaitan dengan (ii) adalah distribusi eksponensial. Sebagai gambaran untuk melihat proses Poisson, perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut.

4 Ilustrasi-1 Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Misalkan waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ 1 dan µ 2.

5 Waktu yang dihabiskan nasabah di tempat layanan adalah...

6 Ilustrasi-2 Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ 1 dan µ 2. Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2.

7 Ilustrasi-3 Para nasabah datang ke suatu tempat layanan, dengan dua meja layanan, mengikuti proses Poisson dengan laju λ. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ 1 dan µ 2. Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2.

8 Jawab: Misalkan S i menyatakan waktu layanan meja ke-i. Misalkan X waktu hingga kedatangan nasabah berikutnya. Peluang/proporsi nasabah yang dilayani kedua meja adalah P(X > S 1 + S 2 ) = P(X > S 1 + S 2 X > S 1 )P(X > S 1 ) µ 1 = µ 2 µ 2 + λ µ 1 + λ

9 Waktu Antar Kedatangan Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Misalkan T 1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Untuk n > 1, misalkan T n menyatakan waktu tersisa antara kejadian ke-(n 1) dam kejadian ke-n. Barisan {T n, n = 1, 2,...} adalah barisan waktu antar kejadian (interarrival times).

10 Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Untuk menentukan distribusi dari T n, perhatikan bahwa kejadian {T 1 > t} terjadi jika dan hanya jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval [0, t], sehingga P(T 1 > t) = P(N t = 0) = e λt Jadi T 1 berdistribusi eksponensial dengan mean 1/λ.

11 Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Perhatikan juga bahwa sedangkan P(T 2 > t) = E ( P(T 2 > t T 1 ) ), P(T 2 > t T 1 = s) = P(tidak ada kejadian pada (s, s + t] T 1 = s) = P(tidak ada kejadian pada (s, s + t]) = e λt Dengan demikian, T 2 juga peubah acak eksponensial dengan mean 1/λ, dan T 2 saling bebas dengan T 1. Demikian seterusnya untuk T 3, T 4,..., T n yang juga berdistribusi eksponensial dan peubah acak-peubah acak tersebut saling bebas.

12 Waktu Tunggu Ilustrasi Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Statistik lain yang kita perhatikan berikut adalah S n yaitu waktu kedatangan kejadian ke-n atau waktu tunggu (waiting time) hingga kejadian ke-n, S n = T T n, n 1 yang berdistribusi... (distribusi Erlang?)

13 Ilustrasi Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Misalkan turis-turis datang ke suatu pulau mengikuti Proses Poisson dengan parameter λ = 1 per hari. 1 Berapa waktu yang diharapkan hingga turis kesepuluh datang? 2 Berapa peluang bahwa waktu yang dibutuhkan (elapsed time) antara turis kesepuluh dan kesebelas datang melebihi 2 hari?

14 Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Jawab: E(S 10 ) = E(T 1 + +T 10 ) = E(T 1 )+ +E(T 10 ) = 10 (1/λ) = 10 P(T 11 > 2) = exp( 2λ) = exp( 2(1)) = exp( 2)

15 Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Misalkan T K menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk klaim-klaim asuransi diproses; T 1 menyatakan waktu yang dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T 1, T 2,... saling bebas dan berdistribusi dengan fungsi peluang f (t) = 0.1 e 0.1 t, t > 0 dengan t diukur dalam setengah-jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaim akan diproses pada 5 jam kedepan. Berapa peluang bahwa setidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam?

16 Waktu Antar Kedatangan Waktu Tunggu Jawab: P(T 1 10) = 1 P(T > 10) = 1 e 1 Selanjutnya, N 10 POI(10(1/10) = POI(1). Jadi, P(N 10 3) = 1 P(N 10 = 0) P(N 10 = 1) P(N 10 = 2) = 1 e 1 (1/1!) e 1 (1 2 /2!) e 1 =

17 Ilustrasi dan kajian tentang peubah acak waktu antar kedatangan serta waktu tunggu diatas telah menggiring kita untuk memahami lebih jauh tentang proses Poisson dan alasan mengapa proses ini penting. Proses Poisson (PP) adalah proses menghitung (counting process) untuk banyaknya kejadian yang terjadi hingga suatu waktu tertentu Proses ini sering disebut proses lompatan (jump process karena keadaan akan berpindah ke yang lebih tinggi setiap kali kejadian terjadi

18 Proses Menghitung Suatu proses stokastik {N t, t 0} adalah proses menghitung (counting process) jika N t merupakan total banyaknya kejadian (events) yang terjadi sampai waktu t. Sebagai contoh, (i) banyaknya orang yang masuk ke suatu restoran pada waktu/sampai waktu t, (ii) banyaknya gol yang diciptakan pemain, dan (iii) banyaknya klaim asuransi yang masuk.

19 Proses menghitung {N t, t 0} haruslah memenuhi kriteria berikut: N t 0 N t bernilai integer Jika s < t maka N s N t Untuk s < t, N t N s adalah banyaknya kejadian pada interval (s, t]

20 Dua sifat penting yang melekat pada proses menghitung adalah sebagai berikut. Pertama, kenaikan independen (independent increments). Suatu proses menghitung {N t } memiliki independent increments jika banyak kejadian yang terjadi pada [s, t], yaitu N t N s, saling bebas dengan banyak kejadian sampai waktu s. Dengan kata lain, banyak kejadian yang terjadi pada selang waktu yang saling asing adalah saling bebas. Kedua, kenaikan stasioner (stationary increments). Suatu proses menghitung {N t } memiliki stationary increments jikadistribusi banyak kejadian pada setiap selang hanya bergantung pada panjang selang.

21 Definisi-1 Ilustrasi Proses menghitung {N t, t 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0), jika N 0 = 0 Proses memiliki kenaikan independen Banyaknya kejadian di sebarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan mean λt. Untuk setiap s, t 0 P ( {N s+t N s = n} ) λt (λt)n = e, n = 0, 1, 2,... n!

22 Definisi-2 Ilustrasi Proses menghitung {N t, t 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0), jika N 0 = 0 Proses memiliki kenaikan stasioner dan independen P ( {N h = 1} ) = λh + o(h) P ( {N h 2} ) = o(h)

23 Diskusi Ilustrasi Tunjukkan bahwa kedua definisi proses Poisson diatas identik.

24 Ilustrasi Misalkan {N t } proses Poisson dengan laju λ = 2. Hitung (i) P(N 5 = 4), (ii) P(N 5 = 4, N 6 = 9), (iii) E(2N 3 4N 5 ), (iv) Var(2N 3 4N 5 )

25 Jawab: P(N 5 = 4) = e 2 5 (2 5) 4 4!

26 P(N 5 = 4, N 6 = 9) = P(N 5 = 4, N 6 N 5 = 5) = P(N 5 = 4) P(N 6 N 5 = 5) = e 2 5 (2 5) 4 4! e 2 2 (2 2) 5 5!

27 E(2N 3 4N 5 ) = 2E(N 3 ) 4E(N 5 ) = 2(2 3) 4(2 5)

28 Var(2N 3 4N 5 ) = 4Var(N 3 ) + 16Var(N 5 N 3 ) = 4(2 3) + 16(2 2)

29 Misalkan {N t } proses Poisson dengan laju λ. Misalkan s, t > 0, dan k j 0. Tentukan distribusi N s+t diberikan N s = j.

30 Kita ketahui bahwa N s dan N s+t N s saling bebas. Jadi, P(N s+t = k N s = j) = P(N s+t N s = k j N s = j) = P(N s+t N s = k j) = P(N t = k j) Dengan kata lain, N s+t N s = j

31 Misalkan {N t } proses Poisson dengan laju λ. Misalkan s, t 0. Tentukan distribusi N t diberikan N s+t = n.

32 Jawab: N t N s+t = n Bin(n, t s + t ).

33 Misalkan {N t } proses Poisson dengan laju λ = 3. Hitung peluang T 2 > 5 diberikan N 4 = 1.

34 Jawab: P(T 2 > 5 N 4 = 1) = P(T 2 > 5 T 1 4) = P(T 2 > 5) = e 15

35 Pandang dua proses Poisson {N 1 (t)} dan {N 2 (t)} yang saling bebas dengan parameter, berturut-turut, λ 1 dan λ 2. Kita mendapatkan N(t) = N 1 (t) + N 2 (t), yang juga merupakan proses Poisson dengan parameter λ 1 + λ 2.

36 Bukti: Misalkan N(t) = N 1 (t) + N 2 (t). Untuk 0 t 1 < t 2 < < t T, saling bebas. Jadi, saling bebas. N 1 (t 1 ), N 1 (t 2 ) N 1 (t 1 ),..., N 1 (t T ) N 1 (t T 1 ), N 2 (t 1 ), N 2 (t 2 ) N 2 (t 1 ),..., N 2 (t T ) N 2 (t T 1 ) N(t 1 ), N(t 2 ) N(t 1 ),..., N(t T ) N(t T 1 )

37 Kita ketahui, N 1 (t j ) N 1 (t j 1 ) POI(λ 1 (t j t j 1 )) dan N 2 (t j ) N 2 (t j 1 ) POI(λ 2 (t j t j 1 )). Jadi, N(t j ) N(t j 1 ) POI ( (λ 1 + λ 2 )(t j t j 1 ) ) atau, dengan kata lain, {N t } proses Poisson dengan rate λ 1 + λ 2.

38 Ilustrasi Mahasiswa-mahasiswa MA ITB akan datang ke Gedung Matematika melewati pintu Tamansari atau pintu DayangSumbi. Kedatangan mahasiswa melalui kedua pintu tersebut, berturut-turut, mengikuti proses Poisson dengan parameter λ 1 = 1/2, λ 2 = 3/2 per menit. Berapa peluang tidak ada mahasiswa yang datang pada selang waktu 3 menit? Hitung mean waktu antara kedatangan mahasiswa-mahasiswa. Berapa peluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu DayangSumbi?

39 Jawab: dan N TS + N DS = N T POI(2). N TS POI(1/2), N DS POI(3/2)

40 Karena λ = 2 = 1/2 + 3/2, maka T 1 exp(2), P(T 1 > 3) = e 6 E(T k ) = 1/2 P(T DS < T TS ) = 3/4

41 Penjualan tiket pertandingan semifinal AFF 2014 mengikuti tiga proses Poisson sbb: penjualan tiket harga sebenarnya: 2/jam penjualan tiket harga diskon (harga tembak kali...): 4/jam penjualan tiket VIP: 0.3/jam

42 Hitung: (a) waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya, (b) waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya, (c) peluang bahwa penjualan tiket setelah tiket harga sebenarnya adalah tiket harga sebenarnya yang lain, (d) peluang bahwa tiket VIP akan dijual/terjual pada 30 menit kedepan, (e) peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya adalah tiket diskon

43 Jawab: N t = N TS (t) + N TD (t) + N TVip (t), dengan parameter λ = λ TS + λ TD + λ TVip = 6.3. Jadi (a) E(T) = 1/6.3 = (b) 1/0.3=3.33 (c) λ TS /λ = (d) T VIP Eksp(λ TVIP ); P(T VIP < 1/2) = 1 e (0.3)(1/2) (e) N B(3, λ TD /λ), dimana N banyak tiket harga diskon yang terjual; P(N 2) = =

44 Di suatu terminal bis, Bis A dan Bis B datang saling bebas mengikuti proses Poisson. Ada sebuah bis A datang setiap 12 menit dan sebuah bis B setiap 8 menit. Misalkan Yun untuk melakukan observasi terhadap bis-bis tersebut. Berapa peluang bahwa tepat 2 bis A akan datang pada 24 menit pertama dan tepat 3 bis B datang pada 36 menit pertama? Hitung mean waktu tunggu (expected waiting time) hingga sebuah bis datang. Berapa peluang bahwa diperlukan waktu setidaknya 20 menit untuk 2 bis B datang?

45 Jawab: N A adalah PP dengan λ = 1/12 N B adalah PP dengan λ = 1/8 P(N A (24) = 2, N B (36) = 3) = ( )( ) e /2! e /3!

46 Diketahui: T A (1) exp(1/12), T B (1) exp(1/8). Jadi, T = min(t A (1), T B (1)) exp(5/24) E(T) = 24/5

47 P(T B (1) + T B (2) 20) = 3.5 e 2.5 Catatan: S = T B (1) + T B (2) Ga(2, 1/8)

48 Diketahui suatu proses Poisson {N t } dengan parameter λ. Misalkan setiap kali terdapat suatu kejadian, kejadian tersebut dapat diklasifikasi ke Tipe I dengan peluang p atau Tipe II dengan peluang 1 p, yang saling bebas untuk seluruh kejadian.

49 Jika N 1 (t) dan N 2 (t) berturut-turut adalah kejadian tipe I dan II pada selang [0, t] maka {N 1 (t)} adalah proses Poisson dengan parameter λ p {N 2 (t)} adalah proses Poisson dengan parameter λ (1 p) Kedua proses saling bebas

50 Ilustrasi Seorang pemulung menemukan koin-koin sepanjang jalan. Koin-koin ditemukan menurut proses Poisson dengan rate 0.5 koin/menit. Perinciannya sbb: 60% koin % koin % koin 1000 Tentukan ekspektasi bersyarat koin-koin yang didapat pemulung sepanjang satu jam perjalanan, diberikan dia mendapat 10 koin 500.

51 Jawab: Misalkan N 1 (t), N 2 (t), N 3 (t) menyatakan banyak koin 100, 500, 1000 yang didapat hingga waktu t. Ketiga proses Poisson {N 1 (t)}, {N 2 (t)}, {N 3 (t)} saling bebas; rate ketiga proses adalah λ 1 = 0.5(0.6) = 0.3; λ 2 = 0.5(0.2) = 0.1; λ 1 = 0.5(0.2) = 0.1.

52 Jadi, E ( 100N 1 (60) + 500N 2 (60) N 1 (60) N 2 (60) = 10 ) =

53 Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua jenis polis yaitu polis K dan M. Pengajuan klaim yang datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 9 (per hari). Pemilihan klaim secara acak menunjukkan bahwa peluang polis jenis K terpilih adalah 1/3. Hitung peluang bahwa klaim-klaim polis jenis K (atau M) yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2. Berapa peluang bahwa total klaim yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2?

54 Jawab: N K (t) adalah proses Poisson dengan parameter λ p = 3; N M (t) adalah proses Poisson dengan parameter λ (1 p) = 6. P(N K (1) < 2) = P(N K (1) = 0) + P(N K (1) = 1) = 4 e 3 P(N M (1) < 2) = P(N M (1) = 0) + P(N M (1) = 1) = 7 e 6 P(N 1 < 2) = P(N 1 = 0) + P(N 1 = 1) = 10 e 9

55 Ike datang ke halte bis transjakarta pukul 8.15 pagi. Informasi yang ada sbb: - hingga pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 1 (per 30 menit) - mulai pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 2 (per 30 menit) Berapa waktu tunggu yang diharapkan (expected waiting time) Ike hingga sebuah bis datang?

56 Jawab: T w p.a. yang menyatakan waktu tunggu; T w exp(1/30), T w 45; T w exp(1/15), T T > 45; E(T w ) = E(T w T w 45)P(T w 45) + E(T w T w > 45)P(T w > 45)