Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2
1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dalam matriks Contoh: 1 2 3 0 1 4, 2 1 0 3, 2 π e 3 0 0 0 1 0 2, 1 3, 4 Ukuran matriks digambarkan sebagai jumlah baris (horizontal) dan jumlah kolom (vertikal). 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 2
Bentuk umum matriks m x n: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 21 a 2n a m1 a m2 a mn Dapat juga ditulis dalam bentuk: a ij atau m n a ij Entri-entri pada baris i dan kolom j dari matriks A ditulis juga dengan simbol A ij, dengan demikian: A ij = a ij 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 3
Catatan: 1. Jika matriks A mempunyai n baris dan n kolom, maka matriks ini disebut matriks bujur sangkar berorder n. 2. Perhatikan matriks bujur sangkar berikut: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 21 a 2n a n1 a n2 a nn Maka entri a 11, a 22,, a nn disebut diagonal utama. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 4
Operasi pada Matriks Definisi: Dua buah matriks didefinisikan sama (setara) jika matriks-matriks ini berukuran sama dan entri-entri yang seletak adalah sama. Jika A = a ij dan B = b ij berukuran sama, maka: A = B jika dan hanya jika A ij = B ij atau ekivalen dengan a ij = b ij untuk semua i dan j. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 5
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi: Jika A dan B matriks-matriks yang berukuran sama, maka 1. Penjumlahan A + B diperoleh dengan menjumlah-kan entri-entri yang seletak. 2. Pengurangan A B diperoleh dengan mengurang-kan entri-entri yang seletak Jika A = a ij dan B = b ij matriks-matriks berukuran sama, maka : A + B ij = A ij + B ij = a ij + b ij A B ij = A ij B ij = a ij b ij 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 6
Perkalian skalar dengan matriks Definisi: Jika A adalah matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali ca adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri di A dengan c. Jika A = a ij, maka ca ij = c A ij = ca ij Catatan: Jika A 1, A 2,, A n matriks-matriks berukuran sama dan c 1, c 2,, c n adalah skalar, maka bentuk c 1 A 1 + c 2 A 2 + + c 1 A 1 disebut sebagai kombinasi linier dari A 1, A 2,, A n dengan koefisien c 1, c 2,, c n. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 7
Perkalian matriks Definisi: Jika A matriks berukuran m r dan B matriks berukuran r n, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran m n, yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: untuk mendapatkan entri baris ke i dan kolom ke j dari AB, keluarkan baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri yang sesuai dari baris dan kolom bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kali dihasilkan. Yanita, Matematika Unand 1-8-2014 8
Maka: AB 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + + a 1r b r1 Dst Atau AB ij = m i=j a i1 b 1j 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 9
Contoh Misalkan: Maka diperoleh 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 10
Maka entri dari AB adalah: Yanita, Matematika Unand 11 1-8-2014
Partisi Matriks Suatu matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks yang lebih kecil dengan cara menyisipkan aturan horizontal dan vertikal antara baris dan kolom yang dipilih. Contoh: Yanita, Matematika Unand 1-8-2014 12
Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris Perkalian ini berguna untuk mencari baris atau kolom tertentu dari hasil kali matrik AB tanpa harus menghitung hasil kali seluruhnya. Kolom ke j matriks AB = A [kolom ke j matriks B] (1) Baris ke i matriks AB = [baris ke i matrik A]B (2) 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 13
Contoh Misalkan: Kolom kedua matriks AB dapat diperoleh dengan menghitung: Kolom kedua matriks B Kolom kedua matriks AB 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 14
Contoh Baris pertama matriks AB dapat diperoleh dengan menghitung Baris pertama matriks A Baris pertama matriks AB 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 15
Secara umum Jika a 1, a 2,, a m adalah baris-baris matriks A dan b 1, b 2,, b m adalah kolom-kolom matiks B, maka rumus Kolom ke j matriks AB = A [kolom ke j matriks B] (1) Baris ke i matriks AB = [baris ke i matrik A]B (2) Menjadi: AB dihitung kolom dengan kolom (3) AB dihitung baris dengan baris (4) Yanita, Matematika Unand 1-8-2014 16
Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linier Perhatikan matriks berikut: Misalkan: a 11 a 12 a 1n a 21 a 21 a 2n A = dan X = a m1 a m2 a mn maka x 1 x 2 x n (5) 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 17
Persamaan (5) menyatakan bahwa hasil kali AX adalah suatu kombinasi linier dari matriks kolom A dengan koefisien yang berasal dari matriks X. Contoh: Hasil kali matriks 1 3 2 1 2 3 2 1 2 2 1 3 Dapat ditulis sebagai kombinasi linier 2 1 1 2 1 3 2 1 + 3 2 3 2 = = 1 9 3 1 9 3 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 18
Hasil kali matriks 1 9 3 1 3 2 1 2 3 2 1 2 = 16 18 35 Dapat ditulis sebagai kombinasi linier: 1 1 3 2 9 1 2 3 3 2 1 2 = 16 18 35 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 19
Contoh Dari contoh sebelumnya Matriks-matriks kolom dari AB dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari matriks kolom A sebagai berikut: 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 20
Transpos dari Matriks Definisi: Jika A matriks berukuran m n, maka transpos dari matriks A, disimbolkan dengan A T adalah matriks yang berukuran n m yang entrientrinya berasal dari pertukaran baris-baris dan kolom-kolom di A, yaitu kolom pertama dari matriks A T adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari A T adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Entri dari baris ke i dan kolom ke j dari A T adalah entri baris ke j dan kolom ke i dari A, yaitu A T ij = A ji 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 21
Jik A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n maka A T = a m1 a m2 a mn a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a nm Contoh: 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 22
Trace dari Matriks Definisi: Jika A matriks bujur sangkar, maka trace dari A, disimbolkan dengan tr(a), adalah jumlah entri-entri pada diagonal utama dari A. Catatan: Trace dari matriks A tidak didefinisikan untuk A yang tidak bujur sangkar. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 23
a 11 a 12 a 1n a Jika A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn maka tr A = a 11 + a 22 + + a nn Contoh 3 4 5 9 A = 1 0 6 4 2 9 3 2 7 2 1 8 maka tr A = 3 + 0 + 3 + 8 = 14 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 24
1.4 Aturan-aturan Matriks Aritmatika dan Invers Teorema 1.4.1: Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku: Catatan: Hukum komutatif tidak berlaku untuk perkalian matriks. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 25
Matriks-matriks khusus 1. Matriks nol 2. Matrik identitas 3. Matriks segitiga atas 4. Matriks segitiga bawah 5. Matriks diagonal Yanita, Matematika Unand 1-8-2014 6. Matriks simetri (untuk matriks bujur sangkar) A = A T 26
Contoh Matriks simetri 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 27
Teorema 1.4.2: Asumsikan bahwa ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, aturan-aturan berikut untuk matriks aritmatika berlaku: 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 28
Teorema 1.4.3: Jika R adalah matriks eselon baris tereduksi dari matriks A (n x n), maka R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas. Bukti: Misalkan matriks eselon tereduksi dari matriks A adalah: Pertimbangkan baris terakhir dari matriks ini. Baris terakhir dari matriks ini berkemungkinan seluruhnya nol atau tidak. Jika tidak, maka baris tidak memuat baris nol, akibatnya setiap baris memiliki leading entri 1. Karena leading 1 yang terjadi semakin jauh ke kanan seperti bergerak turun matriks, maka masing-masing 1 jatuh pada diagonal utama. Karena entri lain pada kolom selain 1 adalah nol, maka haruslah R adalah matriks identitas. Dengan demikian R mempunyai baris nol atau R adalah matriks identitas. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 29
Invers Matriks Definisi: Jika A matriks bujursangkar, dan jika matriks B berukuran sama dengan A, maka dapat dicari sedemikian hingga AB = BA = I. Maka A disebut invertibel dan B disebut invers dari A (atau disimbolkan dengan A 1 ). Jika B tidak dapat didefinisikan, maka dikatakan matriks singular. Contoh: Matriks B = 3 5 1 2 karena dan 2 5 1 3 3 5 1 2 adalah invers dari A = 2 5 1 3 3 5 1 2 = 1 0 0 1 = I 2 5 1 3 = 1 0 0 1 = I Yanita, Matematika Unand 1-8-2014 30
Sifat-Sifat Invers Matriks Teorema 1.4.4: Jika B dan C keduanya invers dari matriks A, maka B = C. Bukti: Diketahui B dan C keduanya invers dari matriks A. Akan dibuktikan B = C. B invers dari A berarti BA = AB = I. C invers dari A berarti CA = AC = I. Kemudian perhatikan bahwa (BA)C = IC = C dan B(AC) = BI = B. Dengan demikian B = C. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 31
a b Teorema 1.4.5: Matriks A = c d invertibel jika ad bc 0. Dan invers dari matriks ini adalah A 1 = 1 ad bc d b c a = d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Bukti: Bukti untuk teorema ini dengan cara buktikan AA 1 dan A 1 A. 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 32
Teorema 1.4.6: Jika A dan B matriks yang invertibel berukuran sama, maka 1. AB invertibel 2. AB 1 = B 1 A 1 Bukti: Diketahui A dan B matriks yang invertibel berukuran sama. Akan dibuktikan 1) dan 2). Perhatikan bahwa AB B 1 A 1 = A BB 1 A 1 = AA 1 = I Dan B 1 A 1 AB = B 1 A 1 A B = B 1 B = I Kemudian perhatikan juga bahwa AB AB 1 = I dan AB 1 AB = I dan Dari persamaan-persamaan ini diperoleh AB 1 = B 1 A 1 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 33
Pangkat pada Matriks Definisi: Jika A matriks bujur sangkar, maka pangkat bilangan bulat nonnegatif pada A adalah A 0 = I dan A n = AA A sebanyak n (n > 0) Jika A invertibel, maka pangkat negatif pada A adalah A n = (A 1 ) n = A 1 A 1 A 1 sebanyak n 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 34
Teorema 1.4.7: Jika A matriks bujur sangkar dan r, s adalah bilangan bulat, maka A r A s = A r+s dan A r s = A rs Teorema 1.4.8: Jika A matriks invertibel, maka 1. A 1 invertibel dan A 1 1 = A. 2. A n invertibel dan A n = (A 1 ) n = A 1 A 1 A 1 n = 0,1,2, sebanyak n, 3. Untuk sebarang skalar tak nol k, maka matriks ka invertibel dan ka 1 = 1 k A 1 1-8-2014 Yanita, Matematika Unand 35
Sifat-sifat Transpos Matriks Teorema 1.4.9: Jika ukuran matriks-matriks berikut sedemikian hingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka: a. A T T = A b. A + B T = A T + B T, c. ka T = ka T d. AB T = B T A T Dan A B T = A T B T Teorema 1.4.10: Jika A matriks invertibel, maka A T juga invertible dan A T 1 1 T = A 1-8-2014 Selesai 11-8-2014 36