.4 Persamaan Schrodinger Berganung Waku Mekanika klasik aau mekanika Newon sanga sukses dalam mendeskripsi gerak makroskopis, eapi gagal dalam mendeskripsi gerak mikroskopis. Gerak mikroskopis membuuhkan mekanika khusus yang disebu mekanika kuanum. Gerak parikel mikroskopis adalah gerak gelombang (menuru de Broglie) maka salah sau meode membangun mekanika kuanum adalah dengan pendekaan gelombang, oleh karena iu maka mekanika kuanum juga disebu mekanika gelombang.
Perbedaan mendasar anara mekanika klasik dengan mekanika kuanum adalah bahwa dalam mekanika klasik sae ( posisi, kecepaan, momenum dan gaya yang bekerja) suau parikel pada saa erenu dapa dienukan secara eksak dengan menggunakan hukum Newon. Sedang pada mekanika kuanum, karena adanya prinsip keidakpasian pada pengukuran momenum parikel, maka sae suau parikel idak dapa dienukan dengan pasi eapi orang hanya dapa menenukan kebolehjadian suau parikel menempai sae erenu.
Dalam mekanika kuanum sae suau sisem dapa diperoleh manakala fungsi gelombang parikel dikeahui. Unuk mengeahui fungsi gelombang orang harus mempunyai persamaan gelombang parikel mikroskopis. Karena persamaan gelombang ini diperoleh oleh Schrodinger, maka persamaannya disebu persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger merupakan janungnya mekanika kuanum, karena melalui persamaan Schrodinger inilah fungsi gelombang dapa diperoleh.
Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang menyaakan hubungan anara urunan perama fungsi gelombang erhadap waku dengan urunan kedua fungsi ersebu erhadap koordina. Disimpulkan fungsi gelombang merupakan fungsi koordina dan waku.
Persamaan Schrodinger gelombang sebuah parikel sau dimensi. Persamaannya Schrodinger menggunakan fungsi gelombang fisik, misal fungsi rambaan gelombang harmonik sau dimensi, yaiu: F(, = A. e i ( k ) (-7) Dimana: k = / = ; = panjang gelombang; = frekuensi gelombang
Turunan perama erhadap : F(, = i A. e i ( k ) = i F(, (-8) Turunan kedua erhadap : Inga! F(, d = i k.a. e i ( k ) = k F(, (-9) i F(, d = k.a. e i ( k ) = k F(, (-9)
Jika urunan perama dibagi urunan kedua ), ( ), ( k i d F F Jadi F ), ( = k i ), ( d F (-0)
Dalam mekanika kuanum jadi E = h = E / h = = E / h = E (-) Menuru dualisme de Broglie, p = h / sehingga: k = / = p / h = p k = p (-) k = / =
Subiusi (-) dan (-) ke dalam (-0) menghasilkan: F(, E p = i F(, (-3) Karena sudah masuk ke daerah kuanum, maka noasi fungsi gelombangnya digani (, sehingga (-3) diulis: (, E = T + V E p = i (, (-4) E adalah jumlah energi kineik T dan energi poensial V, jadi
(, T V p = i (, (-5) Aau jika dipisahkan (, T p = i (, V p + i (, (-6) Jika T digani p / m, ( mv p mv ; T mv ; T mv. m ) (, = i m (, V p + i (, (-7)
aau jika ruas kiri dan kanan dikalikan ( i ) (, i = m (, V p (, (-8) Sebenarnya (-8) ersebu sudah merupakan persamaan Schrodinger, eapi yang lebih lazim (, di suku kedua ruas kanan digani dengan k (, yaiu analog dengan (-9) sehingga (-8) boleh diulis: (, i k = p / = m (, V p k (, (-9)
dan karena k = p /, maka (-9) juga boleh diulis: (, i = m (, V (, (-0a) Persamaan (-0a) iu adalah persamaan gelombang Schrodinger berganung waku unuk sebuah parikel dalam sau dimensi. Kadang-kadang beberapa buku menulis (-0a) dalam benuk: (, i = m (, V (, (-0b)
Apakah makna fisik ruas kiri persamaan Schrodinger? Kia elah ahu bahwa sesuai dengan (-8) maka: (, = i (, Ruas kiri dan kanan dikalikan i Jadi i (, = (, padahal = h. h
jadi i (, = h (, Karena h = E, maka: aau i (, = E (, (-) i (, (, = E (-)
Bagaimana makna fisik Ruas Kanan? Kia elah ahu bahwa makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (,. Jadi ruas kananpun = E (, m (, V (, = E (, (-3) dengan demikian maka: m V = E (-4)
Dalam mekanika kuanum maka m V juga disebu operaor energi. Jadi dikenal dua macam operaor energi yaiu dan i m V.
Pada perkembangan berikunya nani operaor energi yang lebih populer adalah m V yang juga dikenal dengan nama operaor Hamilon aau H. Jadi aau: H = E = m m V V (-5b) (-5a)
Kia ahu bahwa m V = operaor unuk E padahal kia juga ahu bahwa E = T + V maka sudah dapa dipasikan bahwa m = operaor unuk T aau operaor energi kineik. Jadi T = m (-6)
Tenang Fungsi Gelombang Kaa sae suau sisem mengacu pada kecepaan posisi parikel pada saa erenu sera gaya yang bekerja pada parikel ersebu. Dalam mekanika klasik, epanya menuru hukum Newon, massa epa sae sisem dapa diprediksi secara eksak apabila sae sisem saa ini dikeahui. Dalam mekanika kuanum, sae sisem direpresenasikan oleh fungsi gelombang yang merupakan fungsi koordina dan waku. Informasi masa depan suau sisem dalam mekanika kuanum dapa dikalkulasi dengan menggunakan persamaan Schrodinger, hanya saja karena adanya prinsip keidakpasian pada pengukuran posisi dan
momenum, maka prediksi secara eksak seperi yang erjadi pada mekanika klasik idak dapa diberikan oleh fungsi gelombang. Fungsi gelombang memua semua informasi mengenai sisem yang didiskripsinya. idak dapa memberikan informasi posisi secara epa seperi yang dilakukan oleh mekanika klasik. Jawaban yang benar erhadap peranyaan ersebu diberikan oleh Ma Born beberapa saa seelah Schrodinger menemukan persamaan Schrodinger.
Born membua posula bahwa: d (-7) (, merupakan peluang pada waku unuk menemukan parikel sepanjang sumbu yang erleak anara dengan + d. Fungsi (, adalah fungsi kerapaan peluang (probabiliy densiy) unuk mendapakan parikel di sembarang empa sepanjang sumbu.
Sebagai conoh: dianggap bahwa pada sembarang waku erenu 0 sebuah parikel didiskripsi oleh fungsi gelombang a. e b dengan a dan b adalah eapan real. Jika kia mengukur posisi parikel pada saa 0, kia dapa memperoleh sembarang harga sebab nilai rapa peluangnya yaiu a e b idak nol, berapapun harga -nya. Nilai = 0 adalah lebih baik dibandingkan nilai yang lain karena di iik asal ( = 0), harga mencapai maksimum.
Unuk membua hubungan yang epa anara dengan hasil pengukuran eksperimenal, kia harus mengambil sejumlah sisem idenik yang idak saling berineraksi, masing-masing berada dalam keadaan yang sama. Kemudian kia dapa mengukur posisi masingmasing sisem. Jika kia mempunyai n sisem dan membua n pengukuran, dan jika dn adalah banyaknya pengukuran yang dimana kia menjumpai parikel erleak anara dan + d, maka dn /n adalah peluang mendapakan parikel pada posisi anara dan + d. Jadi: dn = n d n dn d =
dan grafik n dn d versus adalah kerapaan peluang. Mekanika Kuanum pada dasarnya dilandasi oleh sifa saisikal (bagian per bagian aau sampel). Konsekuensinya: memahami keadaan sisem pada saa erenu, kia idak dapa memprediksi hasil pengukuran posisi secara pasi. Kia hanya dapa memprediksi kemungkinan dari berbagai hasil yang mungkin. Teori Bohr yang menyaakan bahwa elekron beredar pada linasan yang berjarak pasi dari ini, merupakan pernyaaan yang idak dapa dierima oleh mekanika kuanum.
Orbial s (n =, l = 0, m = 0)
Orbial p (n =, l =, m = )
.5 Persamaan Schrodinger Tak Berganung (Bebas) Waku Persamaan Schrodinger bebas waku unuk sebuah parikel dalam sisem sau dimensi adalah d d ( ) + m (E V () ) ( ) 0 (-8) Persamaan (-8) dapa diurunkan dari persamaan (-0a) melalui langkah-langkah sebagai beriku: Perlu dikeahui bahwa (, ) adalah gabungan dari dan dan dinyaakan: (, ) =. (-9)
Jika (-9) dimasukkan ke dalam (-0a) diperoleh: (-30) = m + V (, i Jika kia baasi bahwa fungsi energi poensial hanya merupakan fungsi saja dan bebas waku, maka (-30) diulis: i = m + V () aau i d d d d + V() (-3) = m
Jika (-3) dibagi seelah iu hasilnya dibagi maka diperoleh: d d m d d i. + V =. () () + V = d d m d d i (-3) Liha kembali i ), ( ), ( = E (-) Jika ruas kiri (-3) dibandingkan dengan (-) maka ruas kiri (-3) iu adalah E, jadi (-3) dapa diulis:
E = + V () d d m aau d d m = E + V () (). V 0 = E m d d m () ) V (E 0 = d d m Disusun ulang
Aau jika dibalik akan menjadi d d ( ) + m (E V ) ( ) () (-8) 0 Persamaan di aas adalah persamaan (-8) yang kia urunkan. Selanjunya unuk mengeahui penyelesaian kia ikui langkah beriku: Seperi ruas kanan, ruas kiri (-3) = E, maka: d = E aau i d d = i E d yang jika diinegralkan:
ln ie + c jadi C ie / e. e = A. / e ie Konsana A pada dapa dilimpahkan pada pada perkalian (-9) sehingga: = ie / e (-33) (, ) =. (-9) Jika (-33) dimasukkan kedalam (-9) maka kia peroleh benuk fungsi gelombang sebuah parikel dalam sisem sau dimensi yaiu:
ie / (, ) = e. (-34) Tampak bahwa fungsi gelombang parikel merupakan fungsi komplek, padahal kerapaan peluang adalah (,. Unuk fungsi komplek harga kuadra absolunya adalah hasil kali fungsi iu dengan fungsi konjuganya. (, = *. (, ) (, ) (-35) * adalah fungsi konjuga dari (, ) (, ) yaiu (, yang i-nya digani i.
.6 Probabilias kerapaan peluang = (, = *. (, ) (, ) peluang mendapakan parikel pada segmen sepanjang d yaiu dari sampai + d adalah (, d = *. (, ) (, ) d, Cara unuk menenukan peluang renang erenu misal dari a s/d b adalah dengan menjumlahkan peluang dari segmen ke segmen sepanjang anara a dan b. adalah penginegralan. Jadi Penjumlahan seperi iu pada dasarnya P ( a < < b ) = b (, d = a a b * (, ). d (-36). (,
Jika inerval a s/d b adalah ~ s/d + ~ maka peluang dijumpai parikel pada inerval ersebu pasi =, arinya pasi menjumpai parikel jika kia mencarinya mulai dari posisi ~ s/d + ~. Jadi dapa diulis P ( ~ < < +~ ) = ~ ~ ~ d = (, ) ~ * (, ). d = (-37). (, Fungsi gelombang parikel yang memenuhi persamaan (-37) disebu fungsi gelombang ernormalisasi.
Soal-soal Bab. Hiunglah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elekron yang melinas dengan kecepaan /37 kali kecepaan cahaya. (dengan kecepaan ersebu, pendekaan relaivisik boleh diabaikan).. Fungsi kerja Na adalah,8 ev. Tenukan: a) energi kineik maksimum dari fooelekron yang diemisi oleh Na, jika proses foolisrik ersebu menggunakan cahaya ulra viole yang panjang gelombangnya 00 nm. b) berapa panjang gelombang cahaya maksimal yang masih dapa menghasilkan foolisrik erhadap Na?
3. Keika J.J Thomson melakukan invesigasi erhadap elekron melalui eksperimen abung sinar kaoda, ia melakukan pengamaan erhadap sifa-sifa elekron dengan menggunakan pendekaan mekanika klasik. a) Jika elekron diakselerasi dengan energi kineik 000 ev, dan melalui celah yang lebarnya 0, cm, berapakah besarnya sudu difraksi dalam gambar. b) Berapa lebar celah yang diperlukan agar elekron dengan energi kineik 000 ev menghasilkan = o? 4. Dikeahui sebuah parikel dalam sisem sau dimensi yang dinyaakan oleh fungsi:
= a e -i b e -b m / a dan b adalah konsana dan m adalah massa parikel. Dengan menggunakan persamaan Schrodinger berganung waku, enukan fungsi energi poensial bagi sisem ersebu. 5. Dikeahui sebuah parikel dalam sisem sau dimensi yang dinyaakan oleh fungsi: = b c e. Tenukan energi parikel ersebu jika dikeahui: Fungsi energi poensial = V = c / m b = konsana ; c = nm ; m =,00. 0 30 kg
6. Pada saa erenu, sebuah parikel dalam sisem sau dimensi, dideskripsi oleh = ( / b 3 ) /.e / b dengan b = 3 nm. Jika pada saa iu diadakan pengukuran erhadap, maka: (a) Tenukan probabiliasnya agar hasil pengukurannya anara 0,9 dan 0,900 nm (anggaplah bahwa d ama kecil dibandingkan dengan 0,9 nm) (b) Tenukan probabiliasnya agar hasil pengukurannya anara 0 dan nm. (c) Unuk bernilai berapakah, probabilias akan minimum? (idak perlu dijawab secara kalkulus) (d) Bukikan bahwa ernormalisasi.
Jawaban:. Gelombang de Broglie : p = h p = m. v Dengan memasukkan harga m dan v elekron, p dapa dihiung. Jika p sudah dikeahui, dapa dihiung. Jika dikeahui = h mv 37 c 8 =.,9979 0.m/ s 37 34 6,66080 J. s 3 9,09380. kg.,99790 37 34 6,66080 J. s 3 9,09380. kg 886.7737. m/ s 8. m/ s
34 6,66080 J. s -4.99330. kg. m/ s 3,340 0 m Penginga sauan: W = F.S J = N.m F = m.a N = kg.m/s Jadi J = kg.m /s P = F/A Pa = N/ m = 9.86936676 0-6 am am = 035.0 Pa am = Pa = Bar = mmhg Hiung
. Dalam foolisrik berlaku a) E foon = h. = h. c = + E kineik dengan memasukkan harga dan dan fungsi kerja maka enegi kineik dapa dihiung Dikeahui: Fungsi kerja Na =,8 ev =,8.607733 0-9 J 00 nm = 00 0-9 m = 0-7 m h. c = + E kineik h. c E kineik 6,66080 34 J. s,99790 00. nm 8. m / s,8. ev
34 8 6,66080 J. s,99790. m/ s -9,8.60.0. J 7 0. m -5.98640. J. m -9,8.600. J 7 0. m 0,9930 9,930 8 9-9. J,8.60 0.J -9. J,8.60 0.J b) Unuk menghirung ambang gunakan: h. c >
3. a) Unuk menghiung sudu difraksi kia gunakan relasi: p = p sin p dihiung dari relasi : p. = h dengan = lebar celah p dihiung dari energi kineik elekron, inga : E k = p / m Dikeahui: b) solusinya merupakan kebalikan dari a. Kia elah ahu harga p, selanjunya kia cari harga p melalui p = p sin Selanjunya dapa dihiung.
4. Persamaan Schrodinger berganung waku adalah: (, i m (, = + V (, (, (4-6) Kia selesaikan dulu ruas kiri: (, -i b - b m / i = a e i e a e - b m / i d d e -i b a e - b m /. i. b i e -i b
- b m / b a e. e -i b b Dengan demikian persamaan (4-6) menjadi: (, = + V b (, (, (, ) m Selanjunya kia selesaikan suku perama ruas kanan: m (, m a e -i b e - b m /
- i b d bm /.a e e m d - i b d d bm /.a e m. d d e - i b d bm bm /.a e m.- d e bm - i b d bm /. m a e d.e. m bm a e - i b e bm / b m e bm /
bm - i b bm / b m. a e e m m. bm b m b. b m Sekarang persamaan Schrodinger menjadi: b (, b m b. (, + V (, (,
aau b (, b m b. (, + V (, (, aau b b m b. + V (, Jadi fungsi energi poensialnya adalah: V (, = b b. b m = b b + m b = b m
5. Berbeda dengan soal no. 4 yang fungsi gelombangnya merupakan fungsi dan, maka pada soal no. 5 ini fungsi gelombangnya hanya merupakan fungsi, sehingga unuk menyelesaikannnya kia gunakan persamaan Schrodinger ak berganung waku (Persamaan 5-) d d ( ) + m (E V () ) ( ) 0 (5-) Jika V kia masukkan akan kia peroleh: d ( ) d + m (E c / m) ( ) = 0 Kia selesaikan suku perama ruas kiri:
d ( ) d d d d d. e c d d. e c d d d c e c e d d d e c e c c e e c e c e c
Dengan demikian persamaan Schrodinger menjadi: ( m c / m aau: m c / m m c / m c / m m
Jadi: m m m m m m