Kolom 1. Pengertian Matriks matriks A. PENGERTIAN MATRIKS Dalam kehiupan sehari-hari an alam matematika, berbagai keterangan seringkali isajikan alam bentuk matriks. Contoh 1: Hasil pertaningan grup I Liga Inonesia 2007 Tim Main Menang Seri Kalah Nilai PSMS 21 12 4 5 40 Sriwijaya FC 20 11 6 3 39 Persija 21 12 3 6 39 Persib 20 11 4 5 37 Persik 20 11 2 7 35 baris Apabila ari aftar tabel contoh tersebut kepala kolom an baris ihilangkan, kemuian susunan lambang bilangan itu iberi tana kurung atau kurung siku, maka susunan itu isebut matriks. Matriks Daftar tabel contoh 1, ialah : 21 12 20 11 21 12 20 11 20 11 4 5 40 6 3 3 6 39 39 4 5 37 2 7 35 Jai Matriks aalah suatu susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang yang iatur paa baris an kolom an iletakkan i alam ua kurung biasa atau kurung siku. Bentuk umum matriks : a 11 a 12 a 1n baris ke-1 a 21 a 22... a 2n A...... a m1 a m2 a mn baris ke-m kolom ke-1 kolom ke n Catatan: Setiap bilangan alam matriks i atas isebut elemen matriks a 11, a 12,, a mn merupakan elemen-elemen matriks A a mn aalah elemen paa matriks A yang terletak paa baris ke-m an kolom ke-n
2. Notasi matriks Suatu matriks inyatakan engan sebuah huruf capital. Misalnya A 4 3 2 6 0 2 3. Oro matriks ; B 1 0 5 6 3 12 Oro suatu matriks itentukan oleh banyaknya baris iikuti banyaknya kolom. A 4 3 2 6 0 2 ; B 5 4 3 1 matriks A mempunyai 2 baris an 3 kolom, maka ikatakan oronya 2 x 3 (ibaca 2 kali 3 ) an itulis A (2 x 3). Matriks B mempunyai 2 baris an 2 kolom, karena banyaknya baris sama engan banyaknya kolom, maka matriks B isebut matriks bujur sangkar. Karena istilah bujur sangkar isesuaikan menjai persegi, maka isebut juga sebagai matriks persegi. Maka matriks B aalah matriks persegi engan oro 2. 4. Macam-macam Matriks a. Matriks baris Matriks yang hanya mempunyai elemen satu baris. Contoh: P 3 2 1 ; Q 1 1 6 7 b. Matriks kolom (lajur) Matriks yang hanya mempunyai elemen satu kolom. K 2 1 ; L c. Matriks Bujur Sangkar (Persegi) 5 1 3 Matriks yang banyaknya baris sama engan banyaknya kolom. Contoh:. Matriks Segitiga 4 3 a b c A B e f 2 6 g h i Matriks persegi yang ipisahkan oleh iagonal, engan elemen-elemen 0 paa separuh bagiannya.
Contoh: 3 2 a 0 0 A B b c 0 0 1 e f 5. Kesamaan Matriks Dua matriks A an B ikatakan sama jika: Oronya sama an Elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) sama. A 4 2 1 3 ; B 12 3 1 4 2 6 2 ; C 1 2 3 4 Dari contoh i atas matriks A B Tetapi A C sebab walaupun elemen-elemen keua matriks sama, tetapi letak elemen-elemen itu berbea, sehingga elemen-elemen yang bersesuaian tiak sama. 6. Transpose Suatu Matriks Dari matriks A apat ibentuk matriks baru engan cara elemen baris 1 matriks A itulis menjai elemen kolom 1 matriks baru, elemen baris 2 matriks A ijaikan kolom 2 matriks baru, an seterusnya. Matriks baru yang iperoleh isebut transpos ari matriks A an inyatakan engan A T (ibaca trans pos A). baris-baris matriks A menjai kolom-kolom matriks A T, an kolomkolom matriks A menjai baris-baris A T. A 1 2 3 4 5 6 A T 1 4 2 5 3 6 1. Penjumlahan an Pengurangan Matriks a. Penjumlahan matriks Dua matriks A an matriks B apat ijumlahkan, jika oro matriks A sama engan oro matriks B. Aapun caranya kita jumlahkan elemen matriks A engan elemen matriks B yang bersesuaian letaknya (seletak). Diketahui : A 5 2 0 6 1 1 3 2 ; B 2 3 0 7 B. OPERASI MATRIKS ; C 8 1 3 5 6 2, tentukan : a. A + C b. A + B c. B t + C
Jawab : a. A + C 5 2 0 1 3 2 + 8 1 3 5 6 2 5 + 8 2 1 0 + 3 1 + 5 3 + 6 2 + 2 13 1 3 6 9 0 b. A + B tiak terefinisi untuk penjumlahan matriks karena oro A B c. B t + C 6 2 0 1 3 7 + 8 1 3 5 6 2 6 + 8 2 1 0 + 3 1 + 5 3 + 6 7 + 2 14 3 3 6 9 9 b. Pengurangan matriks Jika A an B ua matriks yang oronya sama maka matriks hasil pengurangan A an B sama artinya engan menjumlahkan matriks A engan matriks lawan B. Jai A B A+(- B) Contoh: Diketahui matriks A 4 7 3 2 a. A B A + B 4 7 3 2 2 1 3 2 4 7 3 2 an matriks B 2 1 3 2 + 2 1 3 2 2 6 0 4 b. B A B + A 2 1 3 2 4 7 3 2 2 1 3 2 + 4 7 3 2 2 6 0 4 Karena A B tiak sama engan B A maka paa pengurangan matriks tiak berlaku hukum komutatif. 2. Perkalian Matriks a. Perkalian skalar (bilangan real) engan matriks Definisi Misalnya k R an A a ij aalah suatu matriks yang beroro mxn. Perkalian bilangan real k engan matriks A aalah suatu matriks baru yang beroro mxn yang iperoleh engan mengalikan setiap elemen paa A engan bilangan real k an iberi notasi ka seemikian sehingga ka ka ij Jika A 3A 3 3 1 6 8 2 4 3 1 6 8 2 4, tentukan matriks yang iwakili oleh 3A 3. 3 3. 1 3. 6 3. 8 3. 2 3. 4 9 3 18 24 6 12
b. Perkalian Matriks engan Matriks Definisi Apabila matriks A a ij aalah matriks yang beroro mxp an matriks B b ij aalah matriks yang beroro qxn maka perkalian matriks A an B yang inotasikan engan AB apat ilakukan apabila pq. Hasil kali matriks AB iefinisikan sebagai matriks C c ij yang beroro mxn engan elemen baris ke I kolom ke j aalah : C ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a ip b qj, engan i 1, 2, 3,.., m j 1, 2, 3,., n Dari efinisi i atas apat iambil kesimpulan : Dua buah matriks apat ikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama engan banyaknya baris matriks ke ua Diketahui matriks A 2 1 3 5 an B 4 7, tentukanlah : a. AB an BA b. Apakah AB BA? Jawab : a. AB 2 1 3 5 4 7 2.4 + 1.7 3.4 + 5.7 8 + 7 12 + 35 15 47 b. Berasarkan efinisi perkalian matriks maka BA tiak terefinisi untuk perkalian matriks sehingga AB BA Diketahui matriks M 2 3 1 2 1 5 0 6 an N 5 3 2 4 Jawab : MN 2 3 1 5 0 6 2 1 5 3 2 4, tentukanlah MN. 2.2 + 3.5 + 1.2 2. 1 + 3.3 + 1.4 5.2 + 0.5 + 6.2 5. 1 + 0.3 + 6.4 4 + 15 + 2 2 + 9 + 4 10 + 0 + 12 5 + 0 + 24 21 11 22 19 C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Suatu Matriks a. Determinan Matriks oro 2 x 2
Misalnya matriks A aalah matriks persegi yang beroro 2x2 yang itulis alam bentuk A a b apat itentukan nilai yang isebut eterminan. Determinan ari matriks c a b A yang inotasikan engan et A, A atau aalah suatu nilai tertentu yang c besarnya a bc Contoh 1 : Tentukan eterminan matriks berikut : A 3 4 5 10 Jawab : et A 3 4 3. 10 4. 5 30 20 10 5 10 Contoh 2 : Tentukan nilai x jika 2x 1 x 5 3 4 Jawab : 2x 1 x 5 3 4 3 (2x 1) 5x 4 6X 3 5x 4 x 4 + 3 7 b. Determinan Matriks Oro 3 x 3 Misalnya matriks A aalah matriks persegi yang beroro 2x2 yang itulis alam bentuk A a 11 a 12 a 13 a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 maka eterminan matriks A et A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 Nilai eterminan apat icari engan bentuk sebagai berikut : et A a 11 1 1+1 a 22 a 23 + a 12 1 1+2 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 1 1+3 a 21 a 22 a 31 a 32 Aa banyak cara untuk menghitung harga eterminan matriks persegi oro tiga. Antara lain engan menggunakan aturan sarrus. Langkah-langkah menggunakan aturan sarrus aalah sebagai berikut: 1. Letakkan kolom pertama an kolom keua i sebelah kanan garis vertikal ari eterminan 2. Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak paa iagonal utama engan hasil kali unsur-unsur yang sejajar engan iagonal utama paa arah kanan, kemuian kurangi engan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar engan iagonal samping. Perhatikan skema berikut: A - - - a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 31 a 32 + + +
A a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 a 31.a 22.a 13 a 32.a 23.a 11 a 33.a 21.a 12 Diketahui A 1 3 1 2 1 5 1 4 1 Tentukan eterminan A engan ua cara tersebut i atas. Jawab : a. et A 1 1 2 1 5 4 1 + 3 1 3 2 5 1 1 + 1 1 4 2 1 1 4 et A 1 1 20 3 2 5 1 8 1 19 + 9 7 17 b. Aturan Sarrus A 1 3-1 2 1 5 1 4 1 1 3 2 1 1 4 (1.1.1) + (3.5.1) + (-1.2.4) (1.1.-1) (4.5.1) (1.2.3) 1 + 15-8 + 1 20-6 Jai A - 17 3. Menentukan Invers Matriks Oro 2 x 2 Misal matriks A a b c engan et A a bc 0 maka invers matriks A aalah : A 1 1 a bc c b a Tentukan invers matriks A 4 7 1 2! Jawab : A 1 1 4.2 7. 1 2 7 1 4 1 1 2 7 1 4 2 7 1 4 4. Minor, Kofaktor an ajoin matriks Sebelum kita membahas ajoin suatu matriks kita harus mengetahui terlebih ahulu minor an kofaktor. a. Minor Missal A matriks bujur sangkar beroro 3 x 3, minor ari elemen a ij matriks A aalah (M ij ) Jai, minor suatu elemen matriks aalah harga eterminan ari elemen-elemen matriks engan menghilangkan baris an kolom yang memuat elemen tersebut. Perhatikan bentuk matriks i bawah ini :
A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 Jika baris ke 1 an kolom ke 1 ihapuskan, maka iperoleh matriks a 22 a 23 sehingga minornya M 11 a 22 a 23 Dengan cara yang sama, iperoleh minor-minor ari matriks A M 11 a 22 a 23 M 21 a 12 a 13 M 31 a 12 a 13 a 22 a 23 M 12 a 21 a 23 a 31 a 33 M 22 a 11 a 13 a 31 a 33 M 32 a 11 a 21 a 21 a 23 M 13 a 21 a 22 a 31 a 32 M 23 a 11 a 12 a 31 a 32 M 33 a 11 a 12 a 21 a 22 b. Kofaktor Missal A matriks bujur sangkar beroro 3 x 3, minor ari elemen a ij matriks A aalah (M ij ) an kofaktor ari elemen a ij K ij aalah (-1) I + j (M ij ). Misalnya : K 11 ( 1) 1+1 M 11 K 21 1 2+1 M 21 K 31 1 3+1 M 31 K 12 ( 1) 1+2 M 12 K 22 ( 1) 2+2 M 22 K 32 ( 1) 3+2 M 32 K 13 ( 1) 1+3 M 13 K 23 ( 1) 2+3 M 23 K 33 ( 1) 3+3 M 33 c. Ajoin Jika matriks A (a ij ), an kofaktor ari elemen a ij kita sebut A ij, maka transpos ari matriks (A ij ) isebut ajoin ari matriks A. a 11 a 12 a 13 A a 21 a 22 a 23 maka ajoin A K t a 31 K 11 K 21 K 31 K 12 K 22 K 32 K 13 K 23 K 33 4. Invers Matriks Oro 3 x 3 Dengan menggunakan matriks ajoin, maka kita apat mencari inverts ari suatu matriks. Jika A aalah matriks persegi, maka: A 1 Aj A et A, et A 0 5. Menyelesaikan Sistem Persamaan engan Menggunakan Matriks a. Sistem Persamaan Linear 2 Variabel Jika iketahui suatu persamaan linear engan variable x an y ax + by e cx + y f
Dapat ituliskan alam bentuk matriks menjai a c b x y e f Untuk mencari x an y menggunakan 2 cara yaitu : a. Sifat invers matriks A. X B maka X A -1. B x y 1 a bc c b a b. Dengan cara eterminan x Dx y Dy e f D a c a c D a c b. Sistem persamaan linear 3 variabel b b e f b Diketahui persamaan linear engan 3 variabel : ax + by + cz p x + ey + fz q gx + y + iz r Persamaan i atas iubah ke alam bentuk matriks oro 3 x 3 a b c e f g i x y z p q r e f Penyelesaian engan cara eterminan : D Dx Dy Dz a b c e f g i p b c q e f r i a p c q f g r i a b p c q g r aei + bfg + c ceg af bi pei + bfr + cq cer pf bqi aqi + pfg + cr cqg afr pi acr + bqg + p pcg aq br Untuk mencari nilai x, y, z yang memenuhi engan : x Dx D, y Dy D, z Dz D