NAMA : KELAS : 1
2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar) Ordo matriks adalah ukuran matriks berdasarkan baris dan kolom Ordo matriks biasanya ditulis m x n, di mana m menunjukkan banyak baris n menunjukkan banyak kolom A = 2 3 4 4 0 10 Baris Kolom Matriks A dikatakan ordo 2 x 3 ditulis A 2 x 3 JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks Baris Matriks Baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris. A 1 x 3 = [2 1 10] 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 A 4 x 1 = 1 14 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama. 1 2 3 A 3 x 3 = 4 5 6 7 8 9 4. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. Contoh : A 2 x 2 = 1 0 0 1 5. Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya bukan 0, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. A 2 x 2 = 1 0 1 0 0 0 1 D 3 x 3 = 0 5 0 0 0 9
6. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah 0. Matriks nol biasanya dinyatakan dengan O. Contoh : A 2 x 2 = 0 0 0 0 0 0 B 3x2 = 0 0 0 0 7. Transpose matriks Transpose dari suatu matriks A dilambangkam dengan A atau A T. Transpose matriks adalah mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. A 2 x 3 = 5 4 3 5 6 6 10 12 AT 3x 2 = 4 10 3 12 KESAMAAN DUA BUAH MATRIKS Dua buah matriks dikatakan sama apabila dua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemenelemen yang seletak sama. 3 Contoh 1: 2 3 A= 4 7 5 2 2 2x + 5 B = 4 7 4y + 9 2 Jika matriks A = B, tentukan nilai x dan y! Contoh 2: 6 4 Diketahui C = C T dengan C = 3x + 2y 1 5 7z x 5y 2z 7. Tentukan x, y, z! 9
OPERASI ALJABAR PADA MATRIKS Operasi aljabar pada matriks hanya ada tiga, yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila mempunyai ordo yang sama. Penjumlahan dan pengurangan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak. 4 2. Perkalian Matriks a. Perkalian dengan skalar A = a b, k R sehingga c d ka = k a b = ka kb c d kc kd 2 3 Diketahui A= 1 3 2 7 2 3 A = 1 3 2 7 4 5. Tentukan nilai A! 8 4 1 5 = 8 1 2 4. b. Perkalian dua buah matriks Perkalian dua buah matriks adalah proses mengalikan dua buah matriks dengan mengalikan tiap elemen baris matriks sebelah kiri dengan kolom matriks sebelah kanan kemudian dijumlahkan. Syarat perkalian dua buah matriks: Dua buah matriks dapat dikalikan, yaitu matriks A dikali matriks B, jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Contoh 1: Diketahui A = 2 1 3 2 2 1 1 dan B = 1. Tentukan AB! 1 Jawab :
5 Contoh 2: Diketahui A = 2 3 3 dan B = 1. Tentukan AB dan BA! 4 1 2 7 Jawab : BENTUK PERPANGKATAN MATRIKS Misal matriks A adalah matriks persegi. A 2 = A. A A 3 = A 2. A = A. A. A A 4 = A 3. A = A. A. A. A dst Diket A = 2 3 1 4. Tentukan nilai A2 + A T! Perhatikan contoh berikut: Diketahui A = 2 3 3 2, B = 4, C =4. Tentukan : 1 4 0 1 3 7 a. (AB)C b. A(BC) c. A(B+C) d. AB + BC Sifat Operasi pada Matriks 1. Asosiatif Perkalian ABC = A(BC) =(AB)C 2. Distributif Perkalian A(B + C) = AB +BC 3. Komutatif pada Penjumlahan A + B = B + A 4. Asosiatif pada Penjumlahan (A + B ) + C = A + (B + C) 5. A - B B A 6. AB BA 7. k(a+b) = ka + kb
6 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BERORDO 2 X 2 Pengertian determinan matriks ordo 2 X 2 Misalkan A = a c b, ad adalah elemen utama sedangkan bc adalah elemen sekunder. d Determinan matriks A ditulis det A atau A adalah hasil dari perkalian elemen diagonal utama dikurangi perkalian elemen diagonal sekunder. A = a c b = ad bc d 1. Tentukan determinan matriks A = 2 3 4 3 Jawab : 2. Tentukan nilai x yang memenuhi: 3x 1 3 = 0! x + 1 x + 2 Invers Matriks Ordo 2 X 2 Ingat matriks identitas: Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. Matriks Identitas dilambangkan dengan I. Contoh : A 2 x 2 = 1 0 0 1 Lambang Invers Diketahui matriks A maka invers dari matriks A dapat ditulis A -1. Jika A dan B adalah matriks persegi dan berordo sama serta berlaku A.B = B.A = I maka dikatakan bahwa A merupakan invers dari B dan B merupakan invers dari A. Dengan kata lain, jika matriks A dan B saling invers maka: A = B -1 B = A -1 A. A -1 = I B. B -1 = I Buktikan bahwa kedua matriks berikut saling invers! A = 3 2 1 2, B = 1 1 1 3 Jawab :
7 Rumus Invers Matriks Ordo 2x2 Misalkan A = a b c d Maka invers dari matriks A = A -1 = dengan syarat det A 0. d b c a = d b c Elemen a dan d tukar tempat, elemen b dan c diberi tanda - a Matriks singular adalah matriks yang determinannya = 0, matriks singular tidak mempunyai invers. Matriks non singular adalah matriks yang determinannya 0, matriks singular mempunyai invers. Tentukan invers dari: 1. A = 4 2 10 5 Jawab : A -1 = 2. B = 2 1 3 1 B -1 = DETERMINAN MATRIKS BERORDO 3 X 3 Misalkan: a d g A = b e h c f i Determinan matriks ordo 3x3 menggunakan METODE SARRUS a d g A = b e h c f i - x x x a d g a d A = b e h b e c f i c f x x x + = aei + dhc + gbf ceg fha - ibd 1 2 3 A = 4 5 6. Tentukan nilai det A! 7 8 9
8 Penyelesaian Persamaaan Matriks A.X = B A -1. A. X = A - 1. B I. X = A - 1. B X = A - 1. B Jadi, A. X = B X = A - 1. B X. A = B X. A -1. A = B. A - 1 X. I = B. A - 1 X = B. A - 1 Jadi, X. A = B X = B. A - 1 Diketahui : A = 2 5 1 3 dan B = 4. Tentukan matriks X dari: 7 a. A. X = B b. X. A = B Menyelesaikan SPLDV dengan Matriks Menggunakan Invers Bentuk Umum: a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Dapat dinyatakan dalam matriks: a x + b y a x + b y = c c a b x b y = c c a Misalkan A = a a b, X = x b y, B = c c maka dapat ditulis sebagai : A.X = B. Sehingga SPLDV di atas dapat diselesaikan dalam bentuk: A. X = B X = A - 1. B
9 Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut menggunakan invers matriks: 3x - 2y =7 4x + y = 13 Aturan Cramer (menggunakan determinan matriks) Bentuk Umum: a x + b y = c a x + b y = c i. Nilai x dapat ditentukan sebagai berikut: x = =.... ii. Nilai y dapat ditentukan sebagai berikut: y = =.... Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut menggunakan aturan Cramer: 2x + y = 5 3x - 2y = 4
10 Menyelesaikan SPLTV dengan matriks (menggunakan determinan) Bentuk Umum: a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d i. Nilai x dapat ditentukan sebagai berikut: x = ii. Nilai y dapat ditentukan sebagai berikut: y = iii. Nilai z dapat ditentukan sebagai berikut: z = Tentukan nilai x, y, dan z dengan aturan cramer! 2x + 4y + z = 17 x + 3y + 4z = 15 3x - 2y + 5z = 5