UKURAN PEMUSATAN DATA DAN UKURAN LETAK FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA
PENDAHULUAN Untuk mendapatkan gambaranyang lebih jelas tentang sekumpulan data data itu disajikan dalam tabel dandiagram, diagram, masih diperlukan ukuran-ukuranyang merupakan wakil kumpulandata ukuran pemusatan data :ratarata hitung, rata-rata ukur, ratarata harmonis, modus, median ukuran letak: kuartil, desil dan persentil statistikadeskriptif.
MEAN Mean dari sekumpulan bilangan adalah jumlah bilangan- bilangan dibagi oleh banyaknya bilangan. Dalam bahasa Inggris, nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean atau sering dikenal dengan nama mean saja Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol (baca: miu) dan rata-rata hitung dari sample diberi simbol (baca: eks bar). Secara umum rata-rata hitung ditentukan rumus berikut: x = f.x n
ARTI MEAN/RATA-RATA RATA-RATA YANG NILAI MATEMATIKA DARI KELAS VaADALAH 25 RATA-RATA ORANG INDONESIA ITU PENDEK- PENDEK JADI, DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KATA RATA-RATA ITU DIARTIKAN NILAI YANG ADA DI SEKITAR
MEAN Tentukan nilai rata-rata dari data : 2,3,,5,6 Jawab : x 2 + 3 + + 5 + 6 5 = = Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama minggu tercatat seperti pada tabel berikut: Berat (kg) Frekuensi f.x 5 6 30 6 8 8 2 8 8 32 x = f 30 9 f.x = 9 = 30 6. kg
RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN) Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hamper tetap, rata-rata ukur lebih baik dipakai daripada rata-rata hitung, apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data X, X 2,, X n maka rata-rata ukurnya dirumuskan sebagai berikut: G = n X X. X.... 2 3 X n logg = (log X + log X 2 +... + log X n n Contoh: Tentukan ratarata ukur dari: 3, 5, 6, 6,, 0, 2! Penyelesaian: n G = X. X2. X3... X n (3)(5)(6)(6)()( 0)( 2) Log G = 53. 600= log53600= (5,656) = 0, 808 = 6,3 )
RATA-RATA HARMONIK Nilai rata-rata harmonik dari sekumpulan bilangan adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitungdari kebalikan bilanganyang termasuk dalam kumpulan bilangan tersebut. Rata-rata harmonis dari seperangkat data X, X 2,,X n dirumuskan: H = n X = X + X n +... + 2 Example : Tentukan rata-rata harmonis dari, 6,,, 8, 9, 3 Penyelesaian: = + 6 + + + 8 + 9 + 3 X n = 0,250 + 0,66 + 0,2 + 0,2 + 0,25 + 0, + 0,0 =,03 = 6,9
MEDIAN Median dari sekumpulan bilangan adalah bilangan yang ditengah-tengah atau rata-rata bilangan tengah setelah bilangan-bilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Letak Me = data ke Nilai Me = b + p ( n +) 2 n F 2 f Keterangan : b = tepi bawah kelas median p = panjang kelas interval F = frekuensi total sebelum kelas Me f = frekuensi kelas median n = banyak data
MODUS Modus dari sekumpulan bilangan adalah bilangan yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak(terbesar) Mo=b+p Keterangan: d d + d 2 b = tepi bawah kelas modus p = panjang kelas interval d = selisih frekuensi kelasmodus dengan frekuensi kelas sebelumnya d 2 = selisih frekuensi kelasmodus dengan frekuensi kelas sesudahnya
KUARTIL Nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil bawah (Q ), kuartil tengah (Q 2 ), dan kuartil atas (Q 3 ). Kuartil kedua sama dengan median. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah: Susun data menurut urutan nilainya, Tentukan letak kuartil, dan nilai kuartil. Untuk letak kuartil dapat dicari dengan rumus: ( n + ) Q = nilai yang ke- i,i =,2,3 Q I = B i + in ( f ) f. C Keterangan B i = tepi bawah kelas kuartil, n = jumlah semua frekuensi o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil C = panjang interval kelas Ki i o
CONTOH SOAL TUNGGAL. Dik data : 5,5,6,6,6,6,,,8,8,8,9 Letak Me = data ke - = data ke- 6 ( 2 + ) 2 2 Nilai Me = 6 + (-6) = 6,5 2 Modus = 6 2. Tentukan kuartil dari data :,, 3, 8,, 6, 2, 0, 2,,! Penyelesaian : Data diurutkan : 2,3,,6,,8,0,,2,, n =, Q i = nilai ke i Q = nilai ke ( + ) = 3, yaitu Q 2 = nilai ke 2 = 6, yaitu 8 Q 3 = nilai ke 3 = 9, yaitu 2 Modus = tidak ada. ( + ) ( + )
CONTOH SOAL KELOMPOK Nilai (X) 90 85 5 65 60 55 0 Frekuensi (f) 2 3 3 2 TOTAL 25 Q = 35,5 + = 3,5 Q 2 =,5 + = 6,5 Q 3 = 53,5 + 29 = 55,3 Modus? x 0 9 2x0 2 3x0 5 8 x 9 x9 x9
DESIL Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis desil, yaitu desil pertama (D ), desil kedua (D 2 ),, desil kesembilan (D 9 ). Desil ke-5 (D 5 ) sama dengan median. Desil-desil ditentukan dengan jalan: Susun data menurut urutan,tentukan letak desil & tentukan nilai desil. i( n + ) D i = nilai ke, i =,2,, 9 0 Tentukan desil ke- (D ) dan desil ke-9 (D 9 ) dari data berikut ini: 3, 36, 39, 0, 2,,, 5, 5, 60, 6, 65, 6 Penyelesaian: D = data ke (3 + ) 0 = data ke 5,6, yaitu antara data ke-5 dan data ke-6 sebesar 0,6 jauh dari data ke 5 = X 5 + 0,6 (X 6 X 5 ) = 2 + 0,6 ( -2) = 2 +,2 = 3,2
DESIL KELOMPOK Untuk data-data berkelompok, desil dapat dicari dengan rumus berikut: D i = B i + ( f ) in 0 o. C Keterangan: D i = desil ke- i, i =,2,3,, 9 B i = tepi bawah kelas desil ke-i n = jumlah frekuensi jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i C = panjang interval kelas desil ke-i f Di = frekuensi kelas desil ke-i f Di i
PERSENTIL Persentil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi seratus bagian yang sama. Terdapat sembilan puluh sembilan persentil, yaitu persentil pertama (P ), persentil kedua (P 2 ),, dan persentil kesembilan puluh sembilan (P 99 ). Untuk data tunggal, menggunakan rumus: i( n +) P = nilai ke, 00 i =,2,,99 Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), menggunakan rumus: P i = B i + in 00 ( f ). C Keterangan: P i = persentil ke-i, B i = tepi bawah kelas persentil ke-i n = jumlah semua frekuensi i =,2,3,, 99 0 = jumlah semua frekuensi sebelum kelas persentil C = panjang interval kelas, fp i = frekuensi kelas persentil f Pi i o
CONTOH SOAL Berat (Kg) 5 9 50 5 55 59 60 6 65 69 0 Frekuensi (f) 6 35 2 2 3 Jumlah 00 Untuk mencari persentil ke-3 terlebih dahulu dicari kelas persentil ke-3,dari Tabel di atas, diketahui: 3 n = 00, maka (00) = 3& KlsP 3 adalahklske-3 00 B 3 = 5,5 (tepibawahkelaske-3) ( )o 3 f P f 3 = 23, C = 5 = 35 3 x00 00 35 23 x5 P 3 = 5,5 + 2 = 56,5
Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas 00 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan - bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.
a. Data tunggal / berbobot Letak P i = data ke i( n +) 00 dengan i =,2,,99 Contoh : Diketahui data : 9,3,8,,5,6,8,,5, Tentukan P 20 dan P 0