LOGIKA MATEMATIKA ab 1 Dalam setia melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan ikiran. Akal dan ikiran yang dibutuhkan harus memunyai ola ikir yang teat, akurat, rasional, logis, obyektif dan kritis. Dengan menggunakan logika diharakan kita lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan enalaran. Prinsi-rinsi logika sering digunakan dalam enalaran alikasi emrograman untuk tehnologi informasi. 1. Pernyataan ( Kalimat Dekaratif) uatu ernyataan adalah suatu kalimat yang hanya daat memunyai nilai kebenaran saja atau memunyai nilai salah saja dan tidak berlaku kedua-duanya secara bersamaan. a. " Jika x real maka x 0 " Kalimat ini meruakan suatu ernyataan, karena kalimat ini menerangkan sesuatu yang benar. b. "isi-sisi sebuah segitiga siku-siku memunyai anjang yang sama " Kalimat ini meruakan suatu ernyataan sebab kalimat ini menerangkan sesuatu yang salah c. " Harga logaritma suatu bilangan, sama dengan 3 " Kalimat ini bukan meruakan suatu ernyataan, mengingat kalimat ini menerangkan sesuatu yang mungkin enar atau mungkin salah.. Nilai Kebenaran uatu Pernyataan daat menerangkan suatu kejadian yang benar mauun yang salah, maka dierlukan suatu nilai kebenaran untuk membedakan ernyataan yang benar dan yang salah. Untuk menyatakan nilai kebenaran dari ernyataan ada cara yaitu : a. Cara emiris : kebenaran berdasarkan kenyataan ada saat itu ( tergantung ruang dan waktu) b. Cara non emiris : suatu kebenaran yang mutlak. Nilai kebenaran dari suatu ertnyataan dituliskan dengan lambang ( ) = isi-sisi sebuah segitiga siku-siku memunyai anjang yang sama maka dalam hal ini ( ) = 3. Pernyataan berkuantor. Ada dua kuantor, yaitu: a. kuantor universal dengan notasi ( untuk semua, seluruh, setia,.) - ( x), x 0 - etia kucing memunyai ekor Pernyataan ini benar sebaba tidak daat ditemukan kucing yang tidak memunyai ekor. b. Kuantor eksensial dengan notasi ( ada, beberaa, diantara,. ) - ( x), x 3 6 ernyataan ini benar sebab daat ditemukan beberaa bilangan yang jika dijumlah dengan 3 memunyai nilai 6 Oerasi-oerasi ada Logika. eerti ada system bilangan real, matriks atauun fungsi, maka ada logika matematika, kita juga mengenal oerasi antara ernyataan, antara lain : a. Oerasi Negasi / Ingkaran uatu ernyataan yang baru yang nilai kebenarannya kebalikan dari ernyataan semula. Negasi ernyataan ditulis ~ ( bukan ) Tabel kebenaran : P ~ Matematika MA 1
~(~) : ada bilangan real yang logaritmanya sama dengan satu ~ : emua bilangan real logaritmanya tidak sama dengan satu b. Oerasi Konjungsi Oerasi yang menggabungkan ernyataan dan menjadi ernyataan majemuk yang menggunakan kata enghubung dan dilambangkan Kata-kata tetai, hanya saja, walauun identik dengan dan. ebuah konjungsi akan benar aabila nilai kebenaran dari dan keduanya benar, dalam hal lain sebuah disjungsi akan salah. Tabel kebenaran Konjungsi P Q Negasi dari Konjungsi ~ ( ) ~ ~ ` : " x 0 untuk semua bilangan real : " log x 0 untuk setia x real : " x 0 untuk setia x real dan log x>0untuk setia x real" () =, () = maka ( ) = c. Oerasi Disjungsi uatu ernyataan majemuk yang terbentuk dari ernyataan dan menggunakan kata enghubung atau dilambangkan V Disjungsi ada macam : Disjungsi Inklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena dua ernyataan benar, atau hanya salah satu ernyataan yang benar Disjungsi eksklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena salah satu ernyataan saja yang benar karena tidak mungkin keduanya benar. Dalam ersoalan jika tidak ada ernyataan /keterangan maka diangga disjungsi inklusif. Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif P Q Matematika MA
Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif P Q : "x = 0 meruakan akar ersamaan x x 0 " : "x = 1 meruakan akar ersamaan x x 0 " Jadi : " x = 0 meruakan akar ersamaan x x 0 atau x = 1 meruakan akar ersamaan Terlihat bahwa ( ) = x x 0 Ingkaran dari Konjungsi : ~( V ) ~V~ Konse konjungsi dan disjungsi ada rangkaian listrik a. Konse konjungsi daat digambarkan sebagai hubungan seri 1 Lamu menyala hanya jika sakelar. dan terhubung. Jika hanya salah satu sakelar yang 1 terhubung lamu tidak menyala. (lihat table kebenaran konjungsi) b. Konse disjungsi daat digambarkan sebagai hubungan arallel ada rangkaian listrik tersebut. Pada rangkaian seerti gambar, lamu akan menyala aabila sakelar dan terhubung atau salah 1 satu sakelar saja yang terhubung. c. Oerasi Imlikasi ( ernyataan bersyarat) Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " Jika.maka." Pernyataan disebut sebab (hiotesis/antesenden) dan ernyataan disebut kesimulan(konklusi/konsekwen) ebuah imlikasi akan salah jika hiotesanya benar tetai konklusinya salah dalam hal lain akan benar. Imlikasi " Jika maka " dilambangkan : Jakarta terletak di Pulau Jawa : Jakarta meruakan ibu kota negara Indonesia y: Jika Jakarta terletak di Pulau Jawa, maka Jakarta meruakan ibu kota Negara Indonesia. Parto berjanji ada Parti " Jika hujan maka ia akan datang ke rumah Parti " Matematika MA 3
hari hujan, Parto datang hari tidak hujan, Parto tidak datang Parto ingkar janji jika hari hujan ia tidak datang Tabel Kebenaran Imlikasi P Q Negasi dari Imlikasi : ~ ( ) ~ ( uktikan ) uatu ernyataan jika maka.. bernilai selalu benar (tautologi) dinamakan Imlikasi Logis dan untuk mengetahui suatu ernyataan adalah imlikasi logis maka erlu engujian dengan tabel kebenaran. Konvers, Invers dan Kontraosisi Dari imlikasi daat dibuat imlikasi-imlikasi lain yaitu : a. disebut Konvers dari b. disebut Invers dari c. disebut Invers dari Imlikasi : Jika x = 3, maka x = 9 Invers : jika x 3, maka x 9 Konvers : Jika x = 9, maka x = 3 Kontra osisi : Jika x 9, maka x 3 Hubungan antara Imlikasi, Konvers, Invers dan Kontraosisi Konvers Kontraosisi Konvers d. Oerasi iimlikasi ( bi kondisional / ekuivalensi). Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "..jika dan hanya jika." dibaca : " jika dan hanya jika " Tabel kebenaran iimlikasi P Negasi biimlikasi : ~ ( ) ( ~ ) (~ ) uktikan!! uatu biimlikasi akan benar jika nilai kebenaran dari sama dng nilai kebenaran dari AC adalah segitiga sama kaki jika dan hanya jika A Jika ernyataan biimlikasi benar untuk semua keadaan(tautology) maka disebut biimlikasi logis. Matematika MA 4
e. Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah sebuah ernyataan majemuk yang selalu benar dalam segala hal. P ~ ~ ( ~) ( ~) adalah imlikasi logis Kontradiksi : Adalah ernyataan majemuk yang selalu salah dalam segala hal f. Penarikan kesimulan Dalam menarik kesimulan dari beberaa ernyataan yang ada digunakan beberaa rinsi enarikan kesimulan yaitu : a. Modus Ponen Pernyataan 1 : benar Pernyataan : benar Kesimulan : benar b. Modus Tollens Pernyataan 1 : Pernyataan : ~ Kesimulan : ~ c. ilogisme Pernyataan 1 : Pernyataan : Kesimulan : benar benar benar benar r benar r benar oal Latihan : 1. kalimat ingkaran dari kalimat semua orang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan adalah : a. semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan b. tidak ada orang yang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan c. ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan d. ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan e. tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. Kesimulan dari ernyataan Jika erang terjadi maka setia orang gelisah maka kehiduan menjadi kacau adalah a. jika erang terjadi maka setia orang gelisah b. jika erang terjadi maka kehiduan menjadi kacau c. jika setia orang gelisah maka erang terjadi d. Jika erang terjadi maka setia orang gelisah maka kehiduan menjadi kacau e. Jika kehiduan menjadi kacau maka setia orang gelisah 3. Kontra osisi ernyataan Jika devisa negara bertambah maka embangunan berjalan lancar adalah a. jika embangunan tidak lancar maka devisa negara tidak bertambah b. Jika devisa negara tidak bertambah maka embangunan tidak lancar c. Jika devisa negara tidak bertambah maka embangunan berjalan lancar d. Jika embangunan berjalan lancar maka devisa negara bertambah e. Jika devisa negara bertambah maka embangunan tidak lancar 4. Pernyataan dan masing-nasing bernilai benar P: saya lulus MA Matematika MA 5
Q : saya mengikuti PM Imlikasi berikut ini benar kecuali : a. jika saya tidak lulus MA, maka saya tidak mengikuti PM b. jika saya mengikuti PM, maka saya lulus MA c. jika saya tidak mengikuti PM, maka saya tidak lulus MA d. jika saya tidak lulus MA, maka saya mengikuti PM e. jika saya lulus MA, maka saya tidak mengikuti PM 5. Pernyataan yang ekuivalen dengan Jika 4 > 5 maka 4 < -5 adalah A. Jika 4 > -5 maka 4 < 5. Jika 4 > 5 maka 4-5 C. Jika 4 5 maka 4 < -5 D. Jika 4 < -5 maka 4 > 5 E. Jika 4-5 maka 4 5 6. Ingkaran dari kontra osisi ialah. A. ~. C. ~ D. ~ E. 7. entuk ( ) senilai dengan A.. C. ~ D. E. 8. Nilai kebenaran dari ernyataan : f ( x) ax bx c mengalami definit negatif jika dan hanya jika a 0 dan D 0 A.. C. dan D. 0 E. ~ 9. Diberikan emat ernyataan,,r dan s. Jika tiga ernyataan berikut benar:, r, r s, dan s ernyataan yang salah, maka diantara ernataan berikut yang salah adalah.. A. ~. ~ C. ~r D. r E. ~ r 10. Kesimulan tiga remis 1. ~. r 3. ~r adalah. A.. ~ C. D. ~ E. ~ r May it be a sweet, sweet sound In Your ear Matematika MA 6
oal soal logika matematika Ujian Nasional Materi okok : Invers, Konvers, Kontraosisi 1. Kontraosisi dari ernyataan majemuk ( V ~ ) adalah. a. ( V ~ ) ~ b. (~ Λ ) ~ c. ( V ~ ) d. (~ V ) ~ e. ( Λ ~ ) ~. Invers dari ernyataan ( Λ ) a. (~ Λ ~ ) ~ b. (~ V ~ ) ~ c. ~ (~ Λ ~ ) d. ~ (~ Λ ) e. ~ (~ V ~ ) Materi okok : Penarikan Kesimulan 3. Diketahui ernyataan : I. Jika hari anas, maka Ani memakai toi II. Ani tidak memakai toi atau ia memakai ayung III. Ani tidak memakai ayung Kesimulan yang sah adalah. a. Hari anas b. Hari tidak anas c. Ani memakai toi d. Hari anas dan Ani memakai toi e. Hari tidak anas dan Ani memakai toi 4. Penarikan kesimulan yang sah dari argumentasi berikut : Jika iti sakit maka dia ergi ke dokter Jika iti ergi ke dokter maka dia diberi obat. adalah. a. iti tidak sakit atau diberi obat b. iti sakit atau diberi obat c. iti tidak sakit atau tidak diberi obat d. iti sakit dan diberi obat e. iti tidak sakit dan tidak diberi obat 5. Diketahui remis berikut : I. Jika udi rajin belajar maka ia menjadi andai. II. Jika udi menjadi andai maka ia lulus ujian. III. udi tidak lulus ujian. Kesimulan yang sah adalah. a. udi menjadi andai b. udi rajin belajar c. udi lulus ujian d. udi tidak andai e. udi tidak rajin belajar 6. Diketahui argumentasi : I. ~ ~ II. ~ V r r Matematika MA 7
III. r r Argumentasi yang sah adalah. a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja 7. Penarikan kesimulan yang sah dari argumen tasi berikut : ~ r a. Λ r b. ~ V r c. Λ ~r d. ~ Λ r e. V r 8. Ditentukan remis remis : I. Jika adu rajin bekerja maka ia disayang ibu. II. Jika adu disayang ibu maka ia disayang nenek III. adu tidak disayang nenek Kesimulan yang sah dari ketiga remis diatas adalah. a. adu rajin bekerja tetai tidak disayang ibu b. adu rajin bekerja c. adu disayang ibu d. adu disayang nenek e. adu tidak rajin bekerja 9. Penarikan kesimulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu ernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setia kasus. Pernyataan yang dimaksud adalah. a. ( ) Λ b. ( ) Λ ~ ~ c. ( ) Λ ( Λ ) d. ( ) Λ ( r ) ( r ) e. ( ) Λ ( r ) ~ ( r ) 10. Kesimulan dari remis berikut meruakan. ~ V r r a. konvers b. kontra osisi c. modus onens d. modus tollens e. silogisme 1..E 3. 4.A 5.E 6. 7.E 8.E 9. 10.E Matematika MA 8