Minggu K XII. Matriks dan Graf Misal G adalah graf dngan titik-titik,,,., dan garis-garis,,,, n. Kadang-kadang dngan praktis khususnya untuk alasan-alasan prhitungan, dapat mngganti G dngan suatu matriks. Prhatikan bahwa garis-garis G dapat diwakili olh matriks bilangan-bilangan bulat B brtip n x dngan tiap baris dari B mnunjukkan garis dari G, yaitu baris (, ) mnunjukkan garis (, ). Matriks garis ini tidak scara lngkap mlukiskan G kcuali juga dibrikan bilangan m dari titik-titik G. Akan dibicarakan dua matriks rprsntasi dari G yang lain yang banyak diprgunakan. () Matriks Ajasni (adjacncy matrix) Misal A = (a ij ) adalah m x m matriks yang didfinisikan dngan :, jika ( i, j ) adalah garis, yaitu i dan j brdkatan (adjacnt) A ij =, jika tidak Maka A disbut matriks ajasnsi dari G. Prhatikan bahwa a ij a ji shingga A adalah suatu matriks simtri. (Ditntukan matriks ajasnsi untuk multigraf dngan mngambil a ij sbagai banyak garis ( i, j ). () Matriks Insidnsi (incidnc matrix) Misal M = (m ij ) adalah m x n matriks yang didfinisikan dngan, jika i insidn (incidnt) pada garis i m ij =, jika tidak Contoh.: Ditntukan graf G dalam Gambar. Tntukan: (a) matriks garis B dari graf G (b) matriks ajasnsi A dari graf G (c) matriks insidnsi M dari graf G. G = 6 7 Gambar.
6 Pnylsaian : Untuk dapat mmbaca yang mudah, untuk smntara dibrikan labl barisbaris dan kolom-kolom dari B, A dan M dngan titik-titik dan garis-garis yang brhubungan. (Untuk slanjutnya, jika anda tlah bnar-bnar mmahami pngrtian matriks-matriks ini, daftar titik-titik dan garis-garis trsbut. Tidak prlu disrtakan pada matriks-matriks ini). B = 8 7 6 Contoh.: Diktahui graf G dalam Gambar. Gambar. Tntukan : (a) banyak walk dngan panjang dari k (b) banyak walk dngan panjang dari k Pnylsaian (dngan matriks ajasnsi): A a a Matriks ajasnsi
6 (a) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat komponn. matriks A ) (b) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat komponn. matriks A ) Ktrangan : walk-walk panjang dari k adalah: Pnylsaian : (a) 6 B (b) A (c) M 6 Mskipun matriks garis B dari grafik G adalah rprsntasi yang paling ringkas, ia tidak slalu yang paling brguna. Dalam pmandangan torma brikut, matriks ajasnsi sangat brguna untuk mmutuskan masalah ktrhubungan / konktiitas (connctiity). Torma. : Misal A matriks ajasnsi untuk graf/multigraf G dngan m titik dngan m >. Maka komponn k ij matriks A mmbrikan banyak walk dngan panjang n dari titik i k titik j.
Contoh.: Diktahui graf G dalam gambar.. Gambar. Tntukan : (a) banyak walk dngan panjang dari k (b) banyak walk dngan panjang dari k. Pnylsaian (dngan matriks ajasnsi) : Matriks ajasnsi A = A = A = (a) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat gambar komponn. matriks A ) (b) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat gambar komponn. matriks A ) Ktrangan : (a) walk-walk panjang dari k adalah : (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ) (b) walk-walk panjang dari k adalah : (,, ) Contoh. : Diktahui multigraf G dalam Gambar. Gambar. 6
Tntukan : (a) matriks ajasnsi multigraf G. (b) banyak walk dngan panjang dari k (c) banyak walk dngan panjang dari k. Pnylsaian : (a) matriks ajasnsi A = (b) A = (c) A = Shingga banyak walk panjang dari k = Shingga banyak walk panjang dari k =. Ktrangan : (a) walk-walk dngan panjang dari k adalah : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) (b) walk-walk dngan panjang dari k adalah : (, ), (, ), (, ). Pandang graf G dngan m titik. Sbarang path dari i k j pasti mmpunyai panjang m atau kurang. Maka matriks A + A + A + A + a m- dapat mmpunyai komponn k ij nol hanya jika tidak ada path dari i k j (sbab, jika ada path dari i k j, maka komponn k ij dari skurang-kurangnya satu A k (k =,,, m - ) pasti tidak sama dngan nol). Dngan matriks konksi (connction matrix) dari G dngan m titik dimaksud m x m matriks C = (C ij ), di mana, jika i = j atau ada path dari i k j C ij =, jika tidak 6
Contoh. : Diktahui graf dalgambar. (gambar ini sudah trdapat di muka) G = Tntukan matriks konksi C dari graf G! Pnylsaian : C = Jadi matriks konksi graf G adalah C = Contoh.6 : Diktahui graf G dalam Gambar. brikut : 6 Gambar. Tntukan matriks konksi C dari graf G! 6
Pnylsaian : C = Prhatikan, graf G adalah trhubung jika dan hanya jika C babak mmpunyai komponn nol. Mnurut pmbicaraan di atas : (i) komponn k ij (i = j) dari C sama dngan nol jika dan hanya jika tidak ada path dari i k j (ii) komponn k ij (i = j) dari A + A + + A m- (A adalah matriks ajasnsi, m adalah banyak titik dari G) sama dngan nol jika dan hanya jika ada path dari i k j. Ksimpulan : Matriks konksi C dan matriks A + A + A + + A m mmpunyai komponn nol yang sama di luar diagonal utama. 6