Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut
3 0 4 A B 3 6 Ordo Matrik A : 3 X Ordo Matriks B : X 4 Ordo Matriks C : 4 X 4 Ordo Matriks D : X 3 4 0 7 6 C 3 5 0 0 4 D
Matriks dinotasikan dengan huruf besar. Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan a ij untuk menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga A = [a ij ] Contoh 9 A 4 3 3 6 5 0 A mn a a a a a a a a a n n m m mn
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada entrinya. A. Matriks Nol Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol. 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 ; B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
B.Matriks Satu Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah. C. Matriks Baris Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu baris. C A 0 3
D. Matriks Kolom Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu kolom. E. Matriks Persegi Matriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama 0 B 6 6 4 6 3 7 3 A 6 7 0 4 3 8
F. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi 3 yang entri/elemennya memenuhi syarat: B 0 5 a ij = 0 untuk i > j. 0 0 4 G. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: a ij = 0 untuk i < j. 0 0 B 5 0 3 4
H. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: a ij = 0 untuk i j. A 0 0 0 5 0 0 0 4 I. Matriks Identitas Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: a ij = 0 untuk i j dan a ij = untuk i = j 0 0 A 0 0 0 0
J. Matriks Transpose Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya. 3 9 4 6 T A 4 3 A 3 5 3 6 5 0 9 0
Definisi Dua matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] dikatakan sama jika : a ij = b ij, i m, j n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. Contoh : w A 3 4 dan x 4 B 0 4 5 y 4 z Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -, x = -3, y = 0, dan z = -5
Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut a a a3 b b b3 a b a b a3 b3 A a a a ; B b b b A + B a b a b a b 3 3 3 3 a3 a3 a 33 b3 b3 b 33 a3 b3 a3 b3 a33 b 33
Jika A 3 5 4 6 7 dan B 6 4 0 8 Maka: A 7 4 B 6
Pengurangan (subtruction) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A a a a3 b b b3 a b a b a3 b3 A a a a ; B b b b A B a b a b a b 3 3 3 3 a3 a3 a 33 b3 b3 b 33 a3 b3 a3 b3 a33 b 33
Jika A 3 5 4 6 7 dan B 6 4 0 8 Maka: A 8 B 4
Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali ca adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. a a a3 ca ca ca3 A a a a ca ca ca ca 3 3 a3 a3 a 33 ca3 ca3 ca 33
Jika 7 4 A 6 Maka: 7 4 4 8 4. A. 6 4
Matriks A mxn dapat dikalikan dengan matriks B pxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p) A mxn B nxq = C mxq A=[a ij ] mxn dan B= [b ij ] nxq C = [c ij ] mxq dengan c maka n a b ij ij ij j
Tentukan AB dan BA jika: Jawab: 4 A 3, B 3 4 4 AB 3 3 4 () ( ) 4(4) () (3) 4( ) 7 3 () 3( ) (4) () 3(3) ( ) 4 5
4 BA 3 3 4 () ( ) () (3) (4) () 0 7 8 () 3( ) () 3(3) (4) 3() 5 8 4() ( )( ) 4() ( )(3) 4(4) ( ) 9 4
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H ij (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K ij(a) Memperkalikan baris ke i dengan skalar 0, ditulis H i (A) () Memperkalikan kolom ke i dengan 0, ditulis K i (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H ij () () (A)
Menambah kolom ke i dengan () K ij (A) kali kolom ke j,ditulis Kadang untuk operasi () dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan ( ) kali baris ke j, ditulis H ( ) i j (A) Demikian pula untuk untuk operasi () dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)
Contoh: - 4 - - 4 4 3 0 8 0 - - 3 4 0 8 0 - - 4 0 8 3 0 3 0 4 3 Carilah B tersebut.. elementer sederetan transformasi carilah matrik B yang dihasilkan 0 3 0 4 3 A () 4 K () 3 K H H H () 3,K () 4 K,,H (),H (-) 3 H 3 ) ( ) (,
Bebas linear dan terpaut linier Kombinasi linier Vektor bebas linier Vektor terpaut linier 3
Nilai pengamatan dari suatu variabel dapat disajikan dalam bentuk vektor Bila disajikan secara baris disebut vektor baris Bila disajikan dalam kolom disebut vektor kolom 4
Kombinasi linier b = c a + c a +. + cm am Vektor terpaut linier c a + c a +. + cm am =0, tidak semua ci=0 Vektor bebas linier c a + c a +. + cm am =0, hanya untuk c = c =.. = cm =0 5
Kombinasi linier b = c a + c a +. + cm am Jika a = ( 0 ) dan a= ( 4 3) dan c= dan c=3, maka b = c a + c a = ( 0 ) + 3 ( 4 3) = ( 4 0 ) + (6 9) = ( 8 6 9) 6
Vektor terpaut linier c a + c a +. + cm am =0, tidak semua ci=0 Jika a= ( 4) dan a= ( 4 8 ) maka a dan a terpaut linier, karena terdapat c= dan c=-/ yang mengakibatkan c a + c a = 0 7
Secara geometris dua vektor terpaut linier a = ( ) dan b = ( ) b a 8
Vektor bebas linier c a + c a +. + cm am =0, hanya untuk c = c =.. = cm =0 Jika a = ( 4 ) dan a = ( 0 ) maka a dan a bersifat bebas linier karena hanya c=c=0 yang memenuhi 9
Secara geometris dua vektor bebas linier a= ( 4 ) dan b = ( 5 ) a b 30
Rank (Pangkat) Matriks Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol.
. Jika A tentukanlah: a. A + B b. -3B + A c. A B T 0 3 5 0 dan B 4 5 3 5
. Diberikan matriks : A 3 5 B 3 4 C 3 4 3 0 Jika mungkin, hitunglah : a. (AB) t c. A t B t e. (B t + A)C b. B t A t d. B t C + A