BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier
4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab sebelumnya vektor berada di R 2 (2-tuple atau double) dan R 3 (triple) seperti pada umumnya di ruang geometri, maka VEKTOR EUCLID berada pada ruang R n (n-tuple) Contoh-contoh: 1. Data percobaan yang bukan hanya dua atau tiga data, tapi n-data: = (,,,, ) 2. Perusahaan pengangkutan barang memiliki truk-truk untuk melayani 15 depot, sehingga setiap truknya: = (,,,, ) 3. Rangkaian listrik menerima empat tegangan masuk = (,,, ) dan menghasilkan tiga tegangan keluar = (,, )
SIFA-SIFAT VEKTOR R N Perkalian dot (inner product): Contoh: = (,,,, ) dan. = + + + + = (,,,, )
APLIKASI HASIL KALI DOT DI ISBN ISBN (International Standard Book Number) terdiri atas 10-dijit yang unik: Grup bilangan yang pertama: Negara atau kumpulan Negara tempat buku itu berasal Grup bilangan kedua: penerbit Grup bilangan ketiga: judul buku itu sendiri Grup bilangan keempat: dijit pengujian (c) Cara penggunaannya: 1. Perkalian dot a.b, dengan a, b vektor R 9 a = (1,2,3,4,5,6,7,8,9), b adalah 9-dijit pertama ISBN 2. Hasil perkaliannya dibagi 11, menghasilkan angka 0 10, jika hasilnya 10 maka diganti dengan X (untuk menghindari 2-dijit di angka akhir)
CONTOH 1. 10-dijit ISBN 0-471-43329-2 Perhitungannya: a.b = (1,2,3,4,5,6,7,8,9).(0,4,7,1,4,3,3,2,9) = 0+8+21+4+20+18+21+16+81 = 189 dibagi 11 Hasilnya 17 sisa 2 (cocok dengan dijit terakhirnya) 2. 13-dijit ISBN 978-602-8237-95-6 10-a.b mod 11 = 10 MOD((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12).(9,7,8,6,0,2,8,2,3,7,9,5)) = 10 ((9+14+24+24+0+12+56+16+27+70+99+60) mod 11) = 10-4 Hasilnya 6 (cocok dengan dijit terakhirnya)
NORMA DAN JARAK DI RUANG-N EUCLID PANJANG vektor didefinisikan oleh : JARAK antara dua vektor didefinisikan oleh : 2 1 u u u v u v u d, 2 2 2 2 2 1 1... n u n v v u v u 2 2 2 2 1... n u u u
Contoh : Diketahui u 1, 1, 2, 3 dan v 2, 2, 1, 1 Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : u 1 u u 2 2 2 2 2 1 1 2 3 15 v 2 1 Jarak kedua vektor 2 2 2 2 1 2 10 d u, v u v 7 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 1 2 2 2
PERTIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARTZ Jika = (,,,, )dan = (,,,, )adalah vektor di R n, maka. Karena. = Sifat lainnya Jika u.v = 0, maka u dan v ORTOGONAL
CONTOH
HASIL KALI DOT DARI PERKALIAN MATRIKS Jika A = [a ij ] matriks mxr dan B = [b ij ] matriks rxn maka elemen ij dari AB adalah + + + Yang merupakan perkalian dot dari vektor baris A ke-i dan vektor kolom B ke-j
1.4.2 TRANSFORMASI LINIER DARI R N DAN R M Sebuah fungsi = ( ) dikatakan bahwa b adalah gambaran dari a di bawah sebuah fungsi f atau ( ) adalah nilai dari fungsi f pada a. Dalam bentuk matriks: = ( ) A adalah domain dari f dan B adalah kodomain dari f B disebut juga selang (range) dari f A dan B adalah bilangan nyata, sehingga f disebut fungsi nilainyata dari variabel nyata A dapat berupa vektor R 2, R 3 atau R n
TABEL FUNGSI
FUNGSI DARI R N KE R M Jika domain fungsi adalah R n dan kodomain fungsi adalah R m, maka di f disebut PETA atau TRANSFORMASI dari R n ke R m Notasinya: f: R n R m atau T: R n R m sehingga T A (x) = Ax atau T(x) = [T]x atau [T A ] = A Contoh: Transformasi dari R 2 ke R 3
CONTOH: TRANSFORMASI DARI R 4 KE R 3 Jika maka = 1 = 3 = 8
OPERATOR REFLEKSI
OPERATOR PROYEKSI
OPERATOR ROTASI
OPERATOR DILASI DAN KONTRAKSI
KOMPOSISI (GABUNGAN) TRANSFORMASI LINEAR Jika ada dua transformasi secara berurutan, maka ditulis: = ( ) dibaca: lingkaran berarti: mentransformasikan R n ke R k, lalu R k ditransformasikan oleh menjadi R m linear karena: = ( ) = = dengan perkalian BA adalah transformasi linear. dapat ditulis: = dan =
CONTOH: Kasus 1: TIDAK KOMULATIF
CONTOH KASUS 2: KOMULATIF Operator = pada R 2 atau R 3 disebut REFLEKSI TERHADAP ASALNYA. Matriks standar untuk operasi ini di R 2 adalah
KOMPOSISI TIGA ATAU LEBIH TRANSFORMASI LINEAR
CONTOH Temukan matriks standar untuk transformasi linear T: R 3 R 3 yang pertama merotasi sebuah vektor berlawanan jarum jam terhadap sumbu-z melalui sudut, lalu hasilnya direfleksikan terhadap bidang-yz, dan kemudian diproyeksikan secara orthogonal pada bidang-xy. SOLUSI: Lihat kembali tabel-tabel transformasi T 1 rotasi terhadap sumbu-z: T 2 refleksi terhadap bidang-yz: T 3 proyeksi ortoganal terhadap bidang-xy:
MAKA
4.3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINIER Pada bagian ini akan dibahas: Hubungan antara invertibilitas sebuah matriks dan sifatsifat transformasi matriks Karakteristik transformasi linear dari R n ke R m yang membentuk basis transformasi linear yang lebih umum Sifat-sifat geometris dari eigenvectors
TRANSFORMASI LINEAR (TL) SATU-PER-SATU TL yang memetakan vektor (titik) yang berbeda ke vektor (titik) yang berbeda pula adalah sangat khusus Contohnya, operator linear T: R 2 R 2 yang merotasi setiap vektor dengan sudut Secara geometrik jika vektor u dan v adalah vektor yang berbeda di R 2, maka akan menjadi vektor yang terrotasi T(u) dan T(v) Sebaliknya, jika T: R 3 R 3 adalah proyeksi ortogonal R 3 pada bidang-xy, maka titik-titik berbeda yang terletak pada garis vertical yang sama tersebut akan dipetakan pada titiktitik yang sama di bidang-xy DEFINISI: TL T: R n R m disebut satu-per-satu jika T memetakan vektor (titik) yang berbeda di R n ke vektor (titik) yang berbeda di R m
PERNYATAAN YANG EKIVALEN Jika A adalah matriks nxn dan T: R n R m dikalikan dengan A, maka pernyataan berikut adalah ekivalen:
CONTOH 1. Vektor x yang diperoleh melalui merotasi w dengan sudut - memetakan kedalam w saat dirotasi dengan sudut Lihat tabel sebelumnya: dapat dibalikkan karena 2. Pada contoh sebelumnya, bahwa operator proyeksi T: R 3 R 3 bukanlah satu-per-satu. Untuk menunjukkan secara langsung, bahwa selang T tidak semua dari R 3 dan bahwa matriks standarnya tidak dapat dibalikkan det[t] = 0
BALIKAN OPERATOR LINEAR SATU-PER-SATU (OL- SPS) Jika T A : R n R n adalah OL-SPS, maka matriks A dapat dibalikkan : R n R n sendiri adalah OL; dan disebut balikan T A OL dan menghilangkan efek satu sama lainnya untuk semua x di R n
CONTOH Tunjukkan bahwa OL T: R 2 R 2 yang didefinisikan oleh persamaan adalah satu-per-satu dan temukan (, ) JAWAB:
SIFAT LINEARITAS Transformasi T: R n R m adalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut berlaku untuk semua vektor u dan v di R n dan untuk setiap skalar c: Jika T: R n R m adalah TL dan e 1, e 1,, e n adalah vektorvektor basis standar di R n, maka matriks standar untuk T adalah = ( ) ( ) ( )
CONTOH Maka Diinginkan T A : R 3 R 2 dikalikan dengan maka Matriks kolom
CONTOH 1. Temukan matriks standar T 2. Temukan proyeksi ortogonal vektor x = (1,5) pada garis yang melalui asalnya yang membuat sudut = /6
SOLUSI 1. Anggaplah sudut adalah 0 /2 yang sama dengan /2. Merujuk ke gambar (b), = cos, sehingga dan merujuk ke gambar (c), = sin, sehingga Matriks standar T adalah
SOLUSI 2. Karena sin /6 = ½ dan cos /6 = ½ 3, maka atau
INTERPRETASI GEOMETRIK DARI EIGENVEKTOR Ingat kembali SPL berbentuk Ax = x yang ekivalen dengan ( I-A)x = 0 Vektor bukan-nol x adalah vektor eigen dari A sesuai dengan Harga eigen dan vektor eigen dapat didefinisikan dengan transformasi linear pada R n DEFINISI: Jika T: R n R n adalah transformasi linear, maka skalar disebut eigenvalue dari T jika ada sebuah x bukan nol di R n sedemikian rupa hingga =
ILUSTRASI Perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x kedalam vektor yang terletak pada garis yang sama:
CONTOH TL T: R 2 R 2 melalui rotasi dengan sudut, maka matriks standarnya untuk T adalah: Nilai eigen matriks ini adalah solusi persamaan karakteristik Sehingga Harga tergantung pada harga. Jika adalah kelipatan dari, maka sin = 0 dan cos = 1 atau cos = 1 Jika sin = 0 dan cos = 1, maka sehingga Jika sin = 0 dan cos = 1, maka sehingga
CONTOH Proyeksi ortogonal pada bidang-xy matriks standarnya adalah Persamaan karakteristik dari A: Harga = 0 dan = 1 Jika = 0 Jika = 1