TurunanNumerik Baan Kulia IF4058 Topik Kusus Inormatika I Ole; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 1
DeinisiTurunan(derivati) '(x) = lim 0 ( x + ) ( x) Bila persamaan ungsi (x) diberikan secara eksplisit, maka kita dapatmenentukanungsiturunannya, '(x), "(x),..., (n+1) (x), lalu menggunakannyauntukmengitungnilaiturunanungsidix= t. Tetapi jika ungsi (x) tidak diketaui secara eksplisit, tetapi kita anya memiliki beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini kita tidakdapatmenemukannilaiturunanungsisecaraanalitik. Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun (x) diketaui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit seingga menentukan ungsi turunannya merupakan pekerjaan yang tidak mangkus IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB
PersoalanTurunanNumerik Persoalan turunan numerik iala menentukan ampiran nilai turunan ungsi yang diberikan dalam bentuk tabel. Tiga pendekatan dalam mengitung turunan numerik: 1. Hampiran selisi maju. Hampiran selisi mundur 3. Hampiran selisi pusat IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 3
1. HampiranSelisiMaju(orward dierence approximation) '(x 0 ) = ( x + ) ( x ) 0 0 = 1 0 y y 1 y 0 y = (x) x -1 x 0 x 1 x IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 4
. Hampiranselisi-mundur(backward dierence approximation) '(x 0 ) = ( x ) ( x ) 0 0 = 0 1 y y 0 y = (x) y -1 x -1 x 0 x 1 x IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 5
3. Hampiranselisi-pusat(central dierence approximation) '(x 0 ) = y ( x + ) ( x ) 0 0 = 1 1 y 0 y = (x) y -1 x x -1 0 x -1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 6
Rumus-rumus turunan numerik untuk ketiga pendekatan tersebut dapat diturunkan dengan dua cara, yaitu: 1. Dengan bantuan deret Taylor. Dengan ampiran polinom interpolasi Kedua cara tersebut mengasilkan rumus yang sama. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 7
Penurunan Rumus dengan Deret Taylor (a) Hampiran selisi-maju Uraikan (x i+1 ) di sekitar x i : ( x ) i+ 1 xi (x i+1 ) = (x i ) + 1! i+1 = i + i ' + / i " +... ( x ) i+ 1 xi '(x i ) +! "(x i ) +... i ' = i+1 - i - / i " +... i ' = i+1 i - / i " i ' = i+1 i + O() yang dalam al ini, O() = / "(t), x i < t < x i+1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 8
Untuk nilai-nilai di x 0 dan x 1 persamaan rumusnya menjadi: 1 0 0 ' = + O( ) yang dalam al ini O() = / "(t), x i < t < x i+1. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 9
(b) Hampiran selisi-mundur Uraikan (x i-1 ) di sekitar x i : ( x ) i+ 1 xi (x i-1 ) = (x i ) + 1! i-1 = i - i ' + / i " +... ( x ) i+ 1 xi '(x i ) +! "(x i ) +... i ' = i - i-1 + / i " +... i ' = i i1 - / i " +... i ' = i i1 + O(), yang dalam al ini, O() = - / "(t), x i-1 < t < x i IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 10
Untuk nilai-nilai di x 0 dan x -1 persamaan rumusnya menjadi: 0 1 0 ' = + O( ) yang dalam al ini, O() = - / "(t), x i+1 < t < x i. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 11
(a) Hampiran selisi-pusat Kurangkan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6): i+1 - i-1 = i ' + 3 /3 i "' +... i ' = i+1 - i-1-3 /3 i "' +... i ' i+ 1 i = 1 - /6 i "' +... i ' i+ 1 i = 1 + O( ), yang dalam al ini, O( ) = - /6 "'(t), x i-1 < t < x i+1 Untuk nilai-nilai di x -1 dan x 1 persamaan rumusnya menjadi: 1 1 o ' = + O( ) yang dalam al ini, O( ) = - /6 "'(t), x i-1 < t < x i+1. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 1
Rumus untuk Turunan Kedua, (x), dengan Bantuan Deret Taylor (a) Hampiran selisi-pusat Tambakan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6) di atas : Jadi, i+1 + i-1 = i + i " + 4 /1 i (4) +... i+1 - i + i-1 = i " + 4 /1 i (4) i+1 i i-1 i i i " = i+ 1 i + i1 - /1 i (4) i " = i+ 1 i + i1 + O( ), yang dalam al ini, O( ) = - /1 (4) (t), x i-1 < t < x i+1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 13
Untuk nilai-nilai di x -1, x 0, dan x 1 persamaan rumusnya menjadi: 0 " = + 1 0 1 + O( ) yang dalam al ini O( ) = - /1 (4) (t), x i-1 < t < x i+1. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 14
(b) Hampiran selisi-mundur Dengan cara yang sama seperti (a) di atas, diperole : i " = i i1 + i + O(), yang dalam al ini O() = "(t), x i- < t < x i Untuk nilai-nilai di x -, x -1, dan x 0 persamaan rumusnya : 1 + 0 0" = + O( ), yang dalam al ini, O() = "(t), x i- < t < x i IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 15
(c) Hampiran selisi-maju Dengan cara yang sama seperti di atas, diperole : i " = i + i+ 1 + i + O(), yang dalam al ini, O() = - "(t), x i < t < x i+ Untuk nilai-nilai di x 0, x 1, dan x persamaan rumusnya : 1 + 0 0" = + O( ), yang dalam al ini, O() = - "(t), x 1 < t < x i+. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 16
Penurunan Rumus Turunan Numerik dengan Polinom Interpolasi Polinom Newton-Gregory: (x) p n (x) = 0 + s 0 1! + s(s-1) s(s-1)(s-)...(s- n+1) = F(s) yang dalam al ini, s = (x-x 0 )/. 0! n n! 0 + s(s-1)(s-) 3 0 3! + IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 17
(x) p n (x) = 0 + s 0 1! + s(s-1) 0! + s(s-1)(s-) 3 0 3! + s(s-1)(s-)...(s- n+1) n n! 0 = F(s) yang dalam al ini, s = (x-x 0 )/. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 18
(a) Hampiran selisi-maju - bila digunakan titik-titik x 0 dan x 1 : '(x 0 ) = 1/ ( 0 ) = 1 0 - bila digunakan titik-titik x 0, x 1, dan x : '(x 0 ) = 1/ ( 0 + (s- 1/) 0 ) untuk titik x 0 s = (x 0 - x 0 )/ = 0, seingga '(x 0 ) = 1/ ( 0-1/ 0 ) = 1/ ( 0-1/( 1-0 ) ) = 1/ (3/ 0-1/ 1 ) = 1/ (3/ 1-3/ 0-1/ + 1/ 1 ) = 1/ (-3/ 0 + 1-1/ ) ' ( x ) 0 = 3 0 + 4 1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 19
(b) Hampiran selisi-mundur - polinom interpolasi: Newton-Gregory mundur - bila digunakan titik-titik x 0 dan x -1 : 0 1 '(x 0 ) = 1/ ( 0 ) = IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 0
(c) Hampiran selisi-pusat - digunakan tiga titik x 0, x 1, dan x : '(x 0 ) = 1/ ( 0 + (s - 1/) 0 ) untuk titik x 1 s = (x 1 - x 0 )/ = / = 1, seingga '(x 1 ) = 1/ ( 0 + 1/ 0 ) = 1/ ( 0 + 1/( 1-0 ) ) = 1/ (1/ 0 + 1/ 1 ) = 1/ ( 1-0 + - 1 ) = 0 untuk titik x -1, x 0, dan x 1 : '(x 0 ) = 1 1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 1
RumusuntukTurunanKedua, "(x), dengan Polinom Interpolasi Turunan kedua adala d dx d = ds d dx ds dx = 1/ (0 + 0 + (s - 1) 3 0 ). 1/ = 1/ ( 0 + ( s - 1) 3 0 ) IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB
Misalkan untuk ampiran selisi-pusat, titik-titik yang digunakan x 0, x 1, dan x : - pada titik x 1 s = (x 1 - x 0 )/ = / = 1, seingga "(x 1 ) = 1/ ( 0 + (1-1) 3 0 ) = 1/ ( 0 ) = 1/ ( 1-0 ) = 1/ ( - 1 + 1 + 0 ) = 1/ ( 0-1 + ) - untuk titik x -1, x 0, dan x 1 : "( x 0 ) 1 = 0 + 1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 3
Ringkasan Rumus-Rumus Turunan 1. Rumus untuk turunan pertama 0 ' = 1 0 + O() (selisi-maju) 0 ' = 0 ' = 0 1 1 1 + O() (selisi-mundur) + O( ) (selisi-pusat) 0 ' = 3 0 + 4 1 + O( ) (selisi-maju) 0 ' = + 8 1 8 1 + + O( 4 ) (selisi-pusat) 1 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 4
. Rumus untuk turunan kedua 0 " = 1 0 + 1 + O( ) (selisi-pusat) 0 " = + 1 0 + O() (selisi-mundur) 0 " = + 1 0 + O() (selisi-maju) 0 " = + 4 5 1 0 1 3 + + O( ) (selisi-maju) 0 " = + 16 1 30 1 0 + 16 1 + O( 4 ) (selisi-pusat) IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 5
3. Rumus untuk turunan ketiga 0 "' = 3 3 + 3 3 1 0 + O() (selisi-maju) 0 "' = 1 + 1 + O( ) (selisi-pusat) 3 4. Rumus untuk turunan keempat 0 (iv) = 0 (iv) = + 4 4 3 + 6 4 4 1 0 + O() (selisi-maju) 4 1 + 6 0 4 1 + + O( ) (selisi-pusat) 4 IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 6
Conto Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut : x (x) 1.3 3.669 1.5 4.48 1.7 5.474 1.9 6.686.1 8.166.3 9.974.5 1.18 (a) Hitungla '(1.7) dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ) dan O( 4 ) (b) Hitungla '(1.4)dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( ) (c) Rumus apa yang digunakan untuk mengitung '(1.3) dan '(.5)? IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 7
Penyelesaian: (a) Orde O( ): 0 ' = 1 1 Ambil titik-titik x -1 = 1.5 dan x 1 = 1.9, yang dalam al ini x 0 = 1.7 terletak di tenga keduanya dengan = 0.. '(1.7) = 6.686 4.48 ( 0.) = 5.510 (empat angka bena) Orde O( 4 ): 0 ' = + 8 1 8 1 1 + IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 8
Ambil titik-titik x - = 1.3 dan x -1 = 1.5, x 1 = 1.9, dan x =.1, yang dalam al ini x 0 = 1.7 terletak di pertengaannya. '(1.7) = ( 6.686) 8( 4.48) 1( 0.) 8.166 + 8 + 3.669 = 5.473 (4 angka bena) (b) Orde O( ): Ambil titik-titik x -1 = 1.3 dan x 1 = 1.5, yang dalam al ini x 0 = 1.4 terletak di tenganya dan = 0.1. '(1.4) = 4.48 ( 0.1) 3.669 = 4.065 (4 angka bena) IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 9
(c) Untuk mengitung '(1.3) digunakan rumus ampiran selisi-maju, sebab x = 1.3 anya mempunyai titik-titik sesudanya (maju), tetapi tidak memiliki titik-titik sebelumnya. Sebaliknya, untuk mengitung nilai '(.5) digunakan rumus ampiran selisi-mundur, sebab x =.5 anya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur). Hampiran selisi-maju : 0 ' = '(1.3) = 1 0 + O() 4.48 3.669 0. = 4.065 Hampiran selisi-mundur : 0 ' = '(.5) = 0 1 + O() 1.18 9.974 = 11.04 0. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 30
Terapan Turunan Numerik dalam Bidang Pengolaan Citra Citra digital dapat disajikan ole matriks yang berukuran M Ndenganbentuk = 11 1 M M 1 1 M M...... M... 1N n M MN Tiap elemen matriks adala bilangan bulat dalam rentang [0..55] untuk citra 8 bit. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 31
Sala satu proses yang terdapat dalam pengolaan citraialapendeteksiantepi. Tepimerupakaneatureyang pentingpadasuatucitra. Tepidideinisikansebagaiperubaanintensitasyang besardalamjarakyang singkat. Perbedaan intensitas inila yang menampakkan rincian pada gambar. Tepi memberikan inormasi batas-batas objekdenganlingkungannyaataudenganobjekyang lain, eature untuk mengidentiikasi objek, dan untuk terapanpenapisancitra. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 3
IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 33
IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 34
Sala satu pendekatamyang dipakai dalam pendeteksian sisi adala dengan kemiringan dierensial(dierential gradient). Secaramatematisperubaanintensitasyang besar dalam jarak yang sangat singkat dapat dipandang sebagai suatu ungsi yang memiliki kemiringanyang besar. Pengukuran kemiringan suatu ungsi dilakukan dengan mengitung turunan pertamanya. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 35
Dalam citra digital, pendeteksian tepi dapat dilakukan dengan cara yang mirip, yaitu dengan turunan pertamanya secara parsial dalam ruang diskrit: (x, y) = / x / y x = y yang dalam al ini kedua turunan parsial dideinisikan sebagai D 1 (x) = D 1 ( y) = ( x y), x x, ( y) y ( x x, y) + ( x, y) x + y ( x, y) ( x, y ) y IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 36
Biasanya 1 = = y x, seingga persamaan turunan pertama menjadi: ), ( ) 1, ( ), ( ) ( 1 y x y x x y x x D + = = ), ( 1), ( ), ( ) ( 1 y x y x y y x y D + = = IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 37
Kekuatan tepi pada setiap pixel citra diitung dengan rumus: G[(x,y)] = x + y atau dengan rumus G[(x,y)] = max ( x, y ) Suatu pixel dianggap sebagai pixel sisi jika kekuatan tepinyadiatasnilaiambang(tresold) tertentu. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 38
D 1 (x) dand 1 ( y) merupakanampiranselisi-maju. Hampiran lain yang dipakai adala ampiran selisipusat, yaitu: D (x) = ( x y), x ( x + x, y) x ( x x, y) D (y) = ( x y), y ( x, y + y) y ( x, y y) IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 39
Operator lain yang digunakan untuk mendeteksi sisi adala yang berdasarkan pada operasi turunan kedua, yang dikenaldenganoperator Laplace (Laplacian). Operator Laplace mendeteksi lokasi tepi lebi akurat kususnya pada tepi yang curam. IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 40
(x) / x / x (a) Tepi landai (b) Tepi curam IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 41
Jikadigunakanampiranselisi-maju, makaoperator Laplace diturunkan sebagai berikut: = x + y = D 1 (D 1 (x)) + D 1 ( D 1 ( y)) = = 1 D1 ( (x + x, y) - D 1 ( (x,y)) + x x D 1 ( (x, y)) 1 D1 ( (x, y + y) y 1 ( x + x + x, y) ( x + x, y) ( x + x, y) ( x, y) x x + = 1 ( x, y + y + y) ( x, y + y) ( x, y + y) ( x, y) y y ( x + x, y) ( x + x, y) + ( x, y) ( x) ( x, y + y) ( x, y + y) + ( x, y) ( y) IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB + y 4
(a) (b) (a) citra botol; (b) asil pendeteksian tepi dengan operator Laplace IF4058 Topik Kusus Inormatika I: Metode Numerik/Teknik Inormatika ITB 43