Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi ang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain ang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit aitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep ang telah dipelajari. Media ang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarina dengan mengakses web ang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasarat pengetahuan ang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas ang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi ang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan ang disaratkan, pelajari kembali materi pada subunit ang bersangkutan. Jangan segan untuk bertana atau meminta bantuan kepada orang ang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menelesaikan soal berulang-ulang baik soal ang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web. Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil. Pemecahan Masalah Matematika -
Subunit Persamaan S ubunit berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penelesaianna. Persamaan merupakan salah satu konsep matematika ang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penelesaianna terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar. Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah ang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar ang akan digunakan untuk menelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang ang menatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti :,, a, u, dan lain sebagaina. Jika beberapa variabel ang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan ang menatakan banakna variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika maka hal ini berlaku juga untuk a a a atau disingkat menjadi a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunai sifat komutatif, aitu maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, aitu a a a. Selanjutna perhatikan contoh di atas. Pada a, bilangan disini menatakan banakna variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali a a disebut suku atau lebih lengkapna suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hana terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel ang sama maupun berbeda, hasil kalina merupakan suku juga. Contoh : Jika a b maka diperoleh ab ang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah. - Unit
Jika dua suku ang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan ang menatakan banakna suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika maka diperoleh. Jika dua suku ang memuat variabel sama atau lebih maka untuk menederhanakanna, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika m 7m maka diperoleh ( 7)m 0m. Jadi kesimpulanna, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel ang sama. Sebalikna, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel ang berbeda. Contoh : k m, 7 dan lain sebagaina. Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh : a. ( ) 8 b. 0t : (0 : )t t Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan ang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh : a. u v v u uv b. a (b c) (a b) c c. u (a b) (u a) (u b) au bu Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar ang telah dipelajari di atas.. Jika diberikan ab maka tentukanlah a. koefisien dari dan b. konstanta ang ada pada ab c. suku aljabar ang ke. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah. Pemecahan Masalah Matematika -
a. p b. 0 c. m d. n e. a b f. 8ab ba g. 7gh gl 8hg gl Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas.. a. Koefisien dari adalah dan koefisien dari adalah. a. Konstanta ang ada pada ab adalah. c. Suku aljabar ang ke dari ab adalah ab.. a. p p b. 0 0 c. m m d. n n n Perhatikan penelesaian soal d. Setiap bilangan ang dikalikan dengan akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel ang dikalikan dengan akan menghasilkan variabel itu sendiri. e. a b ( a) ( b) ( ) (a b) Menggunakan sifat assosiatif ab f. 8ab ba 8ab ab Menggunakan sifat komutatif (8 )ab Menggunakan sifat distributif ab h. 7gh gl 8hg gl 7gh 8gh gl gl (7 8) gh ( )gl gh 8gl Selanjutna kita akan membahas persamaan. Pernataan atau kalimat matematika tertutup ang menatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 0, 0, 8 Selanjutna kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas aitu 0. Jika variabel menatakan - Unit
bilangan pada kesamaan tersebut maka diperoleh 0. Jadi 0 menjadi kalimat matematika ang terbuka. Kalimat matematika 0 disebut persamaan. Jadi persamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda. Persamaan 0 memuat variabel dimana nilai adalah jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernataan ang benar. Nilai disebut penelesaian dari persamaan 0. Jadi menelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernataan ang bernilai benar. Persamaan ang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut. Persamaan linear adalah suatu persamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan ang berbentuk a b 0 dengan a, b R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a 0. Contoh : a. 9 b. 7 c. 7 d. 7 7 e. ( ) 8 Bagaimana menentukan nilai ang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai dalam persamaan linear berarti menelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini. Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan ang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan ang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini. Pemecahan Masalah Matematika -
Contoh : Diberikan persamaan 0. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan sehingga diperoleh ( ) 0. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: ( ) 0, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 0. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan ang sama aitu. Jadi jika kedua ruas persamaan 0 kita tambah dengan bilangan maka hasilna tidak merubah nilai kebenaranna. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penelesaianna jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini.. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan ang sama.. Dikali atau dibagi dengan bilangan ang sama asal bukan nol. Persamaan baru ang diperoleh dengan persamaan aslina dikatakan ekuivalen dan keduana mempunai penelesaian ang sama. Sekarang kita telah siap untuk menelesaikan persamaan linear pada contoh ang telah diberikan di atas. a. Penelesaian persamaan linear 9 adalah sebagai berikut. 9 Kedua ruas dikurangi dengan Jadi penelesaian persamaan linear 9 adalah. b. Selanjutna kita akan menentukan penelesaian persamaan linear 7. 7 7 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7 : : Kedua ruas dibagi dengan ( : ) Jadi penelesaian persamaan linear 7 adalah. Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutna cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilna dapat Anda cocokkan dengan penelesaian persamaan linear berikut ini. a. Penelesaian persamaan linear 7 adalah sebagai berikut. 7 Kedua ruas dikalikan Jadi penelesaian persamaan linear 7 adalah. - Unit
b. Untuk contoh ang keempat, penelesaian persamaan linear 7 7 adalah sebagai berikut. 7 7 7 7 Kedua ruas ditambah dengan 7 7 Kedua ruas dikurangi dengan (7 ) : : Kedua ruas dibagi dengan ( : ) 7 7 c. Penelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir aitu ( ) 8 adalah sebagai berikut. ( ) 8 8 8 Menggunakan aturan distributif 8 8 Kedua ruas dikurangi dengan 8 8 : 8 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8) Jadi penelesaian persamaan linear ( ) 8 adalah. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menelesaikan persamaan linear. Selanjutna kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penelesaianna. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan ang pangkat tertinggi dari variabelna adalah. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah a b c 0 dengan a, b, c R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a 0. Contoh : 0, 9 0, 7 0 dan lain sebagaina. Bagaimana cara menelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 0 0, 0 9 0 atau 0 0 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinatakan bahwa jika ab 0 maka a 0 atau b 0. Kata atau pada a 0 atau b 0 Pemecahan Masalah Matematika - 7
berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duana sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 0 b. 7 8 c. d. 0 Baiklah kita akan mencoba menelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 0 dapat diubah menjadi ( 8) 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutna dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 0 atau 8 0 Sehingga diperoleh 0 atau 8. Jadi penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah 0 atau 8 b. Dengan cara ang sama dengan a, maka penelesaian persamaan kuadrat 7 8 sebagai berikut. 7 8 8 8 Kedua ruas ditambah dengan 8 ( ) 0 7 Menggunakan sifat distributif 7 0 atau 0 Menggunakan aturan faktor nol Jadi penelesaian persamaan 7 8 adalah 0 atau. Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menelesaikan persamaan kuadrat berikutna dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penelesaian berikut ini. a. Penelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. - 8 Unit
Kedua ruas dikalikan dengan 7 7 Kedua ruas dibagi dengan atau Jadi penelesaian persamaan kuadrat adalah atau. Perhatikan bahwa ada dua nilai ang memenuhi persamaan aitu atau. Jadi ingatlah bahwa persamaan a akan mempunai dua nilai aitu a dan a. Penelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penelesaian persamaan kuadrat 0? Untuk memahami penelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar berikut ini. (a) (b) (c) Gambar. Persegi (a) menatakan banakna, persegi panjang (b) menatakan banakna dan persegi (c) menatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menatakan persamaan 0 dibutuhkan bangun (a), bangun (b) dan bangun (c) seperti berikut ini. Gambar. Pemecahan Masalah Matematika - 9
Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar dengan ukuran luas ang sama dengan bangun pada gambar. Gambar. Persegi ang baru terbentuk mempunai panjang dan lebar masing-masing ( ) dan ( ), sehingga ukuran luasna ( )( ). Jadi persamaan kuadrat 0 sama dengan persamaan ( )( ) 0. Dengan demikian untuk menelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh ( ) 0 atau ( ) 0. Jadi penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah atau. Jadi secara umum, jika dan merupakan penelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah ( ) 0. Cara menelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat ang berbentuk a b c 0 tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini. b ± b ac a Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 7 0 dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 7 0 maka a, b -7 dan c -. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh - 0 Unit
( 7) ± ( 7)..( ). 7 ± 9 8 7 ± 97 7 ± 9,889 7 9,889 7 9,889 atau, atau 0,7 Jadi penelesaian persamaan kuadrat 7 0 adalah, atau - 0,7. Pemecahan Masalah Matematika -
Rangkuman Variabel adalah suatu lambang ang menatakan atau mewakili sebarang bilangan real ang biasana dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan ang menatakan banakna variabel tersebut. Suku aljabar menatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik ang sama maupun ang berbeda. Sebuah suku aljabar ang tidak memuat variabel, dengan kata lain hana merupakan bilangan saja disebut konstanta. Persamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda. Persamaan linear merupakan persamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna. Manipulasi aljabar ang dapat dilakukan untuk menelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut. a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan ang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan ang sama Persamaan kuadrat adalah persamaan ang memiliki pangkat tertinggi pada variabelna adalah. Untuk menelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan ang disebut aturan faktor nol. Cara penelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus Tes Formatif Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban ang Anda anggap benar.. Pengertian koefisien adalah. A. suku aljabar ang tidak memuat variabel B. suku aljabar ang mempunai pangkat tertinggi C. bilangan ang menatakan banakna suku aljabar D. bilangan ang menatakan banakna variabel. Jika diberikan persamaan 8 0 maka koefisien dari adalah... - Unit
A. -8 B. C. D. 8. Berikut ini ang merupakan contoh persamaan linear adalah... A. 7 C. ( ) B. 7 D. 0. Penelesaian persamaan adalah... A. C. B. D.. Persamaan linear berikut ini ang mempunai penelesaian adalah... A. C. B. D. Pemecahan Masalah Matematika -
. Perhatikan cara penelesaian persamaan kuadrat berikut ini. 8 0 8 9 atau 9 Penelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan... A. aturan faktor nol B. akar kuadrat C. cara memfaktorkan D. rumus 7. Penelesaian persamaan ( ) adalah... A. B. 0 atau C. atau D. atau 8. Persamaan berikut ini ang mempunai penelesaian adalah... A. ( ) C. B. ( ) D. 9. Penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah... A. atau C. atau B. atau D. atau 0. Penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah... A. B. atau C. 0 atau D. atau Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban ang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutna. Sebalikna jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian ang belum Anda kuasai dengan baik. - Unit
M Subunit Pertidaksamaan ateri ang akan dibahas pada subunit adalah pertidaksamaan dan penelesaianna. Pertidaksamaan ang dibahas adalah pertidaksamaan linear dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menatakan penelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan. Pertidaksamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasana diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda >,, atau <. Kita akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu. Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna sama dengan. Contoh : >,, dan lain sebagaina. Selanjutna kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah. Gambar. Jika keduana dikurangi dengan, maka akan diperoleh Gambar. Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 0 > dikurangi dengan maka diperoleh 0 8 Pemecahan Masalah Matematika -
dan dimana 8 >. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan ang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan ang sama. Jika pada gambar, masing-masing dikalikan dengan maka akan diperoleh Gambar. Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 0 > dikalikan dengan maka diperoleh 0 0 dan dimana 0 >. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif ang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama. Kedua ruas pertidaksamaan 0 > dikalikan dengan - maka diperoleh 0 (-) -0 dan (-) - dimana -0 < -. Jadi ternata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif ang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari < menjadi > dan sebalikna serta dari menjadi. Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif ang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara ang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini. Sekarang kita mengkaji dan membahas penelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penelesaian pertidaksamaan a. > 7 b. 8 c. d. ( ) > ( ) Penelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut. - Unit
a. Penelesaian pertidaksamaan linear > 7 > 7 Kedua ruas dikurangi dengan > Jadi penelesaian pertidaksamaan > 7 adalah semua bilangan ang kurang. Akan lebih jelas jika penelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini. dari ang dinotasikan dengan himpunan { ; > } Gambar.7 Perhatikan lingkaran di nilai pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menatakan bahwa nilai ang memenuhi pertidaksamaan > 7 adalah semua bilangan ang lebih dari tetapi tidak sama dengan ( ). b. Penelesaian pertidaksamaan linear 8. 8 8 8 Kedua ruas dikurangi dengan 8 Jadi penelesaian pertidaksamaan 8 adalah { ; }. Jika penelesaian ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh Gambar.8 Perhatikan lingkaran di nilai - pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menatakan bahwa nilai ang memenuhi pertidaksamaan 8 adalah semua bilangan ang kurang dari - termasuk bilangan - itu sendiri. c. Penelesaian pertidaksamaan linear. (Kedua ruas dikalikan dengan ) Pemecahan Masalah Matematika - 7
Jadi penelesaian pertidaksamaan linear penelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut. adalah { ; }. Jika Gambar.9 d. Penelesaian pertidaksamaan linear ( ) > ( ). 8 > (Menggunakan sifat distributif) > > (Kedua ruas dikurangi dengan ) > > (Kedua ruas dikurangi dengan ) > < (Kedua ruas dibagi dengan -) < Jadi penelesaian pertidaksamaan linear ( ) > ( ) adalah { ; < }. Bahasan selanjutna mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna. Contoh : > 0 Kita akan mencoba menelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh ( )( ) > 0 Selanjutna kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( )( ) 0. Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( ) 0 atau ( ) 0 sehingga atau garis bilangan ang dibatasi oleh nilai. Jadi kita mempunai daerah pada dan seperti gambar berikut ini. Gambar.0-8 Unit
Selanjutna kita akan menguji daerah mana ang memenuhi peridaksamaan > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan ang terletak pada masing-masing daerah ke pertidaksamaan > 0. Misalna untuk bilangan - diperoleh ( ) ( ) maka semua bilangan ang terletak di daerah ang memuat bilangan -, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan > 0 akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutna untuk bilangan - diperoleh ( ) ( ) maka semua bilangan ang terletak di daerah ang memuat bilangan -, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan > 0 akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan ang memenuhi pertidaksamaan > 0 adalah semua bilangan ang terletak pada daerah ang memuat bilangan - atau 0. Dengan kata lain, penelesaian pertidaksamaan > 0 adalah himpunan { ; < atau > }. Penelesaian tersebut dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini. Gambar. Pemecahan Masalah Matematika - 9
Latihan Berikut ini soal-soal ang berkaitan dengan penelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahna. Tentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini ang dinatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan.. > 8. 0. > 0. 9 0 Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.. Langkah pertama ang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan sehingga diperoleh >. Kemudian kita anggap pertidaksamaan tersebut adalah persamaan > sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh dan. Selanjutna kita uji bilangan-bilanan ang menjadi anggota himpunan penelesaian > 8 dengan memasukkan bilangan, 0, dan ke pertidaksamaan > 8 sebagai berikut. ( ) > 8 > 8 > 8 (0) > 8 8 > 8 0 > 8 8 > 8 Pernataan benar Pernataan salah Pernataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan ang memenuhi pertidaksamaan () > 8 > 8 > 8 adalah semua bilangan ang kurang dari - atau lebih dari. Dengan kata lain himpunan penelesaian pertidaksamaan > 8 adalah { ; < atau > } dan penajianna dalam garis bilangan sebagai berikut. - 0 Unit
Gambar. Anda perhatikan lingkaran pada nilai dan berlubang. Hal ini menatakan bahwa nilai dan tidak memenuhi pertidaksamaan > 8.. Kedua ruas pertidaksamaan 0 dikurangi dengan bilangan sehingga diperoleh. Selanjutna kedua ruas dibagi dengan -. Ingat bahwa pembagian ang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh >. Selanjutna pertidaksamaan > dianggap persamaan sehingga diperoleh nilai dan. Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai, 0, dan sebagai berikut. ( ) 0 0 (0) 0 0 8 0 0 8 0 Pernataan benar Pernataan salah Pernataan benar Berdasarkan pengujian di atas diperoleh himpunan penelesaian pertidaksamaan 0 adalah { ; atau } dan jika dinatakan dalam garis bilangan sebagai berikut. () 0 0 Gambar.. Pertidaksamaan > 0 dianggap menjadi persamaan 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh ( )( ) 0 0 atau atau atau 0 0 Selanjutna kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai, 0, dan ke dalam pertidaksamaan > 0 sebagai berikut. ( ) ( ) > 0 7 > 0 > 0 > 0 > 0 ( 0) ( 0) > 0 > 0 > 0 ( ) ( ) > 0 8 > 0 7 > 0 Pemecahan Masalah Matematika -
Pernataan salah Pernataan benar Pernataan salah Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penelesaian pertidaksamaan > 0 adalah { ; < < } dan jika dinatakan dalam garis bilangan sebagai berikut. Gambar.. Pertidaksamaan 9 0 dianggap sebagai persamaan 9 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh 9 0 ( )( ) 0 0 Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai 0 pada pertidaksamaan 9 0 sebagai berikut. 0 9 0 ( 0) 9 0 9 0 Pernataan benar Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penelesaian pertidaksamaan 9 0 ; atau penelesaian pertidaksamaan adalah { } 9 0 dapat dinatakan dengan diagram garis berikut ini. Gambar. Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa ang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutna silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan. - Unit
Rangkuman Pertidaksamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda <, >,, atau. Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan ang memiliki pangkat tertinggi pada variabelna. Untuk menelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif ang sama maka akan merubah tanda ang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda < berubah menjadi >, tanda menjadi dan sebalikna. Penelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna. Untuk mempermudah penelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan nilai ang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutna untuk menentukan semua nilai ang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan ang terletak pada masing-masing daerah pada garis bilangan. Tes Formatif Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban ang Anda anggap benar.. Pertidaksamaan linear adalah... A. pertidaksamaan ang tidak memuat konstanta B. pertidaksamaan ang memiliki variabel C. pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna D. pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna Pemecahan Masalah Matematika -
. Berikut ini ang merupakan pertidaksamaan linear adalah... A. B. > 0 C. D. ( ) <. Jika pertidaksamaan linear > dikalikan dengan bilangan - maka diperoleh pertidaksamaan... A. > C. > B. < D. < 7. Berikut ini ang merupakan penelesaian pertidaksamaan adalah... A. { ; } B. { ; } C. ; 0 7 D. ; 0 atau 7. Pertidaksamaan linear ang mempunai penelesaian ang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah... A. 8 < B. 8 > C. 8 D. 8 7. Himpunan penelesaian pertidaksamaan <... ditunjukkan oleh A. - Unit
B. C. D. 7. Penelesaian pertidaksamaan > adalah... A. ; < < B. ; < atau > C. { ; < < } D. { ; < atau > } 8. Pertidaksamaan kuadrat ang mempunai himpunan penelesaian ang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah... A. ( )( ) B. ( )( ) < C. ( )( 7) D. ( )( 7) < 9. Garis bilangan berikut ang menatakan penelesaian pertidaksamaan 0 > 9 adalah... A. B. C. D. 0. Himpunan penelesaian pertidaksamaan kuadrat 0 adalah... A. { ; - } C. { ; atau } C. { ; } D. { ; atau } Pemecahan Masalah Matematika -
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban ang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutna. Sebalikna jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian ang belum Anda kuasai dengan baik. - Unit
D Subunit Sistem Persamaan Linear alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear ang paling sederhana aitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini. Contoh :Diketahui Ari membeli 0 buku dan pensil dengan harga Rp..00,-. Sedangkan Dita membeli buku dan pensil dengan harga Rp..000,-. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menelesaikan permasalahan di atas, kita buat tabel berikut. Tabel. Banak buku Banak pensil Harga Ari 0 Rp..00,- Dita Rp..000,- Misalkan menatakan harga sebuah buku dan menatakan harga sebuah pensil. Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut. 0 00 000 Persamaan-persamaan di atas mempunai dua variabel (aitu dan ) dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear ang diperoleh merupakan kalimat matematika ang menatakan permasalahan di atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari permasalahan ang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitanna, sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau bukan biasana pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda {. Jadi dari permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah aitu 0 00 000 Pemecahan Masalah Matematika - 7
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. a b c a b c dengan a, a, b, b, c, dan c merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal ini berarti kita menentukan nilai dan ang memenuhi sistem persamaan 0 00 000 Misalkan nilai p dan q ang memenuhi sistem persamaan linear di atas, artina jika nilai dan pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka diperoleh pernataan ang benar. Jika nilai dan tersebut ditulis sebagai pasangan berurutan ( p, q), pasangan berurutan ini disebut penelesaian sistem persamaan linear tersebut. Pada contoh di atas penelesaian sistem persamaan linear 0 00 000 adalah (000,00). Kita akan menguji apakah (000,00) merupakan penelesaian dengan cara memasukkan nilai 000 dan 00 ke dalam sistem persamaan linear sebagai berikut. 0(000) (00) 0000 00 00 benar (000) (00) 000 000 000 benar Ternata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernataan ang benar, maka (000,00) merupakan penelesaian persamaan tersebut. Jadi menelesaikan sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai dan sehingga diperoleh pernataan ang benar. Ada tiga masalah dalam menelesaikan sistem persamaan linear aitu:. ada tidakna penelesaian. metode penelesaian. deskripsi selengkapna mengenai penelesaian tersebut. Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penelesaian sistem persamaan linear aitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumna akan dijelaskan bahwa manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidakna penelesaian sistem persamaan. - 8 Unit
. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemna.. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan ang bukan nol.. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemna. Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penelesaian sistem persamaan linear ang akan dibahas selanjutna. Selanjutna kita akan membahas penelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi. Untuk menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.. Dipilih salah satu persamaan linear ang sederhana, kemudian natakan sebagai atau sebalikna.. Masukkan (substitusikan) atau ang diperoleh pada langkah satu ke persamaan ang lain sampai diperoleh nilai dan. Bagaimana cara menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini dengan metode substitusi. 8 Penelesaian : Kita pilih persamaan 8, kemudian kita natakan sebagai sehingga diperoleh 8. Persamaan 8 kita masukkan ke dalam persamaan sehingga diperoleh Dari sini diperoleh ( 8 ) 8 8 ( ) 8 Pemecahan Masalah Matematika - 9
Jadi penelesaian sistem persamaan linear 8 adalah (-,-). Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah Anda selesai mengerjakanna, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan ang ada. Tentukan penelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi. a. b. 9 7 7 Pedoman Jawaban Latihan a. Dari persamaan 9, variabel dinatakan dalam sehingga diperoleh 9. Persamaan 9 disubstitusikan ke dalam persamaan sehingga diperoleh (9 ) 8 7 8 7 Selanjutna nilai disubstitusikan ke persamaan 9 sehingga diperoleh 9 9 () 9 Jadi penelesaian sistem persamaan linear 9 adalah (,). - 0 Unit
b. Dari persamaan 7, variabel dinatakan dalam diperoleh 7. Persamaan 7 disubstitusikan ke persamaan 7 sehingga diperoleh 7 ( 7) 7 9 7 7 7 7 Selanjutna nilai disubstitusikan ke persamaan 7 diperoleh 7 () 7 7 7 Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah (, ). 7 Berikut akan dibahas bagaimana cara menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut ini.. Nilai ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel.. Nilai ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel. Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut. Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. 8 Penelesaian : Berdasarkan persamaan-persamaan ang terdapat dalam sistem di atas, kita akan menghilangkan atau mengeliminasi variabel terlebih dahulu sehingga diperoleh nilai sebagai berikut. Pemecahan Masalah Matematika -
Unit - 9 8 Untuk memperoleh nilai kita akan mengeliminasi variabel dengan cara sebagai berikut. 8 Sehingga diperoleh Jadi penelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-,-). Latihan Setelah Anda memahami penelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan ang ada. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. a. b. 0 0 c. Pedoman Jawaban Latihan a. Penelesaian sistem persamaan linear adalah sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika - Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah,. b. Penelesaian sistem persamaan linear 0 0 adalah sebagai berikut. 0 0 7 7 0 0 0 0 8 7 7 8 0 7 8 0 0 Jadi penelesaian sistem persamaan linear 0 0 adalah 8 7,. c. Penelesaian sistem persamaan linear adalah sebagai berikut. 0 0 8 Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah ( ),. Dalam menelesaikan suatu sistem persamaan linear biasana kedua metode penelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan kedua metode dalam menelesaikan sistem persamaan linear.
Unit - Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear. Penelesaian : Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, aitu: Nilai disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh: 0 0 Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah ( ),0. Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunai penelesaian. Contoh berikut merupakan sistem persamaan ang dimaksud. Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear. Penelesaian : 0 Dari pengerjaan di atas diperoleh pernataan ang salah artina tidak ada nilai dan ang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear tidak mempunai penelesaian.
Rangkuman Persamaan ang mempunai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah. Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear ang mempunai hubungan, misalna sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika ang menatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. a b c a b c dengan a, a, b, b, c, dan c merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Menelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai pengganti untuk variabel nilai dan sehingga diperoleh pernataan ang benar. Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidakna penelesaian sistem persamaan.. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemna.. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan ang bukan nol.. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemna. Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Ada dua metode penelesaian sistem persamaan linear aitu metode substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus dalam menelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak mempunai penelesaian jika tidak terdapat nilai dan ang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Pemecahan Masalah Matematika -
Tes Formatif Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban ang Anda anggap benar.. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 9 dengan menggunakan metode substitusi.. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 9 dengan menggunakan metode eliminasi. 0, 0,. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear, 0,8 7 dengan menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus. 9. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 7. Jika diketahui sistem persamaan linear, maka tentukan nilai 7. Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban ang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutna. Sebalikna jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian ang belum Anda kuasai dengan baik. - Unit
Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif. D. Koefisien merupakan bilangan ang melekat pada variabel sehingga bilangan ini menatakan banakna variabel.. B.. B. Perhatikan variabel dimana variabel tersebut mempunai pangkat sama dengan.. B. Kedua ruas persamaan dikalikan dengan sehingga diperoleh. A.. B. 7. C. Persamaan ( ) ekuivalen dengan persamaan 0 sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh ( )( ) 0 atau atau 0 0 dimasukkan ke persamaan ( ) 8. B. Jika pernataan ang benar. akan diperoleh 9. D. Persamaan 0 ekuivalen dengan persamaan 0 sehingga dengan memfaktorkan diperoleh ( )( ) 0 atau atau 0 0 0. D. Untuk menelesaikan persamaan kuadrat 0 digunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh a, b, dan c sehingga diperoleh Pemecahan Masalah Matematika - 7
b ± ( ) ± ± 8 ± 8 ± b ac a ( ).. Jadi penelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah atau. Kunci Tes Formatif. C.. A. Pertidaksamaan > mempunai variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan.. D. 7. B. Kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan sehingga diperoleh 7 7. C. Ambil bilangan -0 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan ang terdapat pada pilihan. 8? 0 8? ( 0) 8? Agar pernataan ang diperoleh benar maka tanda ang harus diberikan adalah > atau. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 aitu diarsir penuh maka tanda ang memenuhi adalah. Jadi pertidaksamaan dengan penelesaian tersebut adalah 8. - 8 Unit
7. B. Kedua ruas pertidaksamaan < dikalikan dengan bilangan diperoleh 7 < 7 < < 7. B. Penelesaian pertidaksamaan > adalah: > > 0 ( )( ) > 0 Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh ( )( ) 0 0 atau 0 atau atau Selanjutna selidiki daerah pada garis bilangan ang merupakan penelesaian dari pertidaksamaan > sebagai berikut. Ambil nilai, 0 dan. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke pertidaksamaan sehingga diperoleh > ( ) ( ) > >.0.0 > >.. > 7 > 0 > > > 8 > Pernataan benar Pernataan salah Pernataan benar Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penelesaian pertidaksamaan > adalah himpunan ; < atau >. 8. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan tersebut bukan nol sehingga bilangan dan 7 bukan merupakan penelesaian. Selanjutna kita ambil bilangan nol, kemudian kita masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut. A. B. Pemecahan Masalah Matematika - 9
( )( ) (0 )(0 ) ( )( ) ( )( ) (0 )(0 ) < ( )( ) < < 0 0 < Pernataan benar Pernataan salah Jadi pertidaksamaan A ang mempunai penelesaian seperti ang ditunjukkan oleh garis bilangan. 9. D. Pertidaksamaan 0 > 9 ekuivalen dengan 9 > 0. Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka diperoleh 9 0. Dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh ( 7)( 7) 0 7 0 7 Selanjutna kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut. Diambil 0 sehingga 0 > 9 0 > 9 Pernataan benar Diambil 8 sehingga 0 > 9 (8) 0(8) > (8) 9 80 > 9 > 7 Pernataan benar Jadi bilangan ang memenuhi pertidaksamaan 0 > 9 adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke dalam penelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak menggunakan tanda sama dengan. 0. A. Dengan menganggap pertidaksamaan 0 sebagai persamaan 0 diperoleh nilai ang memenuhi persamaan dengan menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh a, b, dan c sehingga - 0 Unit
b ± b ac a ±..( ) ± 8 ± ± Dengan mengambil sebarang bilangan ang terletak di antara bilangan dan, misalna ang disubstitusikan ke pertidaksamaan 0 diperoleh 0 ang merupakan pernataan salah. Jadi himpunan penelesaian pertidaksamaan tersebut adalah { ; }. Kunci Tes Formatif. Dari persamaan, variabel dinatakan dalam sehingga diperoleh. Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan 9 sehingga diperoleh 9 () ( ) 8 0 0 0 0 0 Selanjutna diperoleh disubstitusikan ke persamaan sehingga Pemecahan Masalah Matematika -
Jadi penelesaian sistem persamaan linear 9 adalah,.. Penelesaian sistem persamaan linear 9 dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi variabel agar diperoleh nilai sebagai berikut. 9 Diperoleh 7 9 0 9 0 9 0,9 9 Diperoleh 9 8 8 8 8 8 9 8 Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah,. 9 0 0, 0,. Penelesaian sistem persamaan linear dengan, 0,8 7 menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut. - Unit
Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas dikalikan dengan bilangan 0 sehingga diperoleh 0 8 70 Dengan metode eliminasi diperoleh 0 80 0 90 90 Selanjutna nilai disubstitusikan ke salah satu persamaan, misalkan kita substitusikan ke persamaan 0 sehingga diperoleh 0 8 0 8 0 0 8 78 78 Jadi penelesaian sistem persamaan linear 0, 0,, 0,8 7 adalah,.. Penelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut. 9 Nilai disubstitusi ke ruas persamaan kedua, aitu: Diperoleh Pemecahan Masalah Matematika -
Unit - 9 () Jadi penelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah ( ), 9.. Penelesaian sistem persamaan linear 7 adalah sebagai berikut. 7 Sehingga diperoleh 7 70 0 8 0 8 7 7 7 () 7 Jadi penelesaian sistem persamaan di atas adalah ( ),, maka 7 7 ) 7( () 7
Daftar Pustaka Roberts, D.M, et.all. 00. Mathematics A. [Online]. Tersedia di: http://regentsprep.org/regents/math/math-a.cfm#a [0 Mei 00].00. Aljabar. [Online}. Tersedia di: http://www.pgmato.go.id/download/smp/aljabar.pdf [0 Januari 007].00. Penelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di: http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat/0.pdf [ Maret 007]. 00. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di: http://www.mathsteacher.com.au/ [7 Oktober 00] Pemecahan Masalah Matematika -
Glosarium Eliminasi : salah satu metode penelesaian sistem persamaan dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan-persamaan Kesamaan : pernataan atau kalimat tertutup ang menatakan hubungan sama dengan Konstanta : suku aljabar ang tidak memuat variabel Koefisien : bilangan ang menatakan banakna variabel Persamaan : kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan Penelesaian persamaan : suatu bilangan tertentu ang jika menggatikan variabel dalam suatu persamaan maka diperoleh pernataan ang benar Persamaan linear : persamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Persamaan kuadrat : persamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Pertidaksamaan : kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan tidak sama dengan Pertidaksamaan linear : pertidaksamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Pertidaksamaan kuadrat : pertidaksamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Sistem persamaan linear : sekumpulan persamaan linear ang terkait satu sama lain Substitusi : salah satu metode dalam menelesaikan sistem persamaan dengan cara memasukkan salah satu variabel dalam salah satu persamaan ang dinatakan dalam variabel lain ke persamaan ang lain Suku aljabar : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel dengan variabel Variabel : sebuah lambang ang menatakan atau mewakili sebarang bilangan real - Unit