Catatan Kuliah Aljabar Linier. Abstrak

Catatan Kuliah Aljabar Linier Subiono subiono3@telkom.net 4 Agustus 9 Page of 3 Abstrak Dalam catatan kuliah ini diberikan beberapa materi dari mata kuliah Aljabar Linier untuk program Sarjana (S) jurusan matematika FMIPA-ITS. Materi kuliah berupa perencanaan yang disajikan agar mempermudah peserta ajar dalam proses belajar mengajar. Peserta ajar diharapkan mempersiapkan diri melalui pemahaman yang dipunyai sebelumnya dan menambah kekurangan pemahaman pengetahuannya yang dirasa kurang saat proses belajar mengajar di kelas. Juga agar mempermudah proses belajar mengajar digunakan alat bantu perangkat lunak Euler. Selain itu materi kuliah ini disesuai dengan Kurikulum 9.

Page of 3 Rencana materi yang akan dibahas dalam kelas adalah: Lapangan dan Ruang Vektor. Ruang-bagian Vektor. Himpunan Pembentang, Bebas linier dan Basis. Dimensi, Jumlahan Langsung, Koordinat dan Basis Terurut. Pemetaan linier pada Ruang Vektor. Pemetaan linier dan Aljabar matriks. Perubahan dari Basis. Rank, Determinan dan Invers. Bentuk Echelon dari suatu Matriks. Eigenvektor dan Eigenvalue. Orthogonalitas (Proses Orthogonalitas Gram-Schmidt). General Invers.

Lapangan(Field) Home Page Page 3 of 3 Suatu lapangan adalah suatu himpunan K bersama-sama dengan dua operasi tambah (+) dan kali (.) sehingga untuk semua a, b, c K memenuhi: (a + b) K (tertutup). a + b = b + a (komutatif). (a + b) + c = a + (b + c) (assosiatif). Ada K sehingga a + = + a (elemen netral). Ada suatu a K sehingga a + ( a) = a + a = (invers). (a.b) K (tertutup). a.b = ba (komutatif). (a.b).c = a.(b.c) (assosiatif). Ada K sehingga a. =.a = a (elemen identitas). Bila a, maka ada a K sehingga a.a = a.a = (invers). a.(b + c) = (a.b) + (a.c) (distributif).

Contoh. Himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan riil R dan himpunan bilangan kompleks C.. Himpunan bilangan bulat modulo p dinotasikan oleh Z p, dengan p bilangan prima. Contoh. adalah lapangan takhingga sedangkan Contoh. lapangan hingga. Dalam Contoh., bila p bukan bilangan prima, maka Z p bukan lapangan. Page 4 of 3 Ruang Vektor Suatu himpunan V dengan dua operasi tambah dan kali dikatakan suatu ruang vektor atas lapangan K bila memenuhi:. Bila u, v, w V, maka u + v V dan u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) Ada V sehingga v + = + v, v V Untuk setiap v V ada w V sehingga v + w = w + v =

of 3. Bila a, b K dan u, v V, maka av V dan Contoh (a + b)v = av + bv a(u + v) = av + au (ab)v = a(bv) v = v. Himpunan R adalah ruang vektor atas lapangan R, dimana ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y def x + y + = x y,, R x y x + y x y dan a ( x x ) def = ( ax ax ), a K dan ( x x ) R.. Himpunan R n juga ruang vektor atas R dengan definisi operasi tambah dan kali diberikan seperti di Contoh. Penambahan dalam Contoh. dinamakan penambahan secara komponen yang bersesuaian.

Lanjutan Contoh... Page 6 of 3 3. Himpunan matriks m n dengan elemen elemennya bilangan riil a... a n M m,n (R) =..... a m... a a ij R mn dimana penambahan matriks diberikan oleh: a... a n b... b n a + b... a n + b n..... +..... def =..... a m... a mn b m... b mn a m + b m... a mn + b mn sedangkan perkalian skalar α R dengan matriks diberikan oleh: a... a n αa... αa n α..... def =...... a m... a mn αa m... αa mn Maka M m,n (R) adalah suatu ruang vektor atas lapangan R.

Lanjutan Contoh... Home Page Page 7 of 3 4. Misalkan F adalah suatu lapangan dan himpunan semua fungsi, yaitu V = {f : F F} dimana (f + g)(x) def = f(x) + g(x), x F dan (αf)(x) def = αf(x), dimana α F. Maka V adalah ruang vektor F. 5. Misalkan F adalah suatu lapangan dan himpunan semua polinomial berderajad kurang atau sama dengan n yaitu P n (F) = {p(x) = a + a x +... + a n x n a i F} dimana (p + q)(x) def = p(x) + q(x), x F dan (αp)(x) def = αp(x), dimana α F. Maka P n (F) adalah ruang vektor atas F. 6. Himpunan l = {a = (a, a,...) a n R, sup( a n ) < } dimana a + b def = (a + b, a + b,...) dan αa def = (αa, αa,...), α R. Maka l adalah ruang vektor atas lapangan R. 7. Himpunan fungsi terdifferensial tak berhingga pada interval [a, b], yaitu C [a, b], dimana definisi penambahan fungsi dan perkalian skalar dengan fungsi seperti dalam Contoh 4. merupakan ruang vektor atas lapangan riil R. 8. Himpunan fungsi-fungsi V = {f : R R d f dx + f = } dimana definisi penambahan fungsi dan perkalian skalar dengan fungsi seperti dalam Contoh 4. merupakan ruang vektor atas lapangan riil R.

of 3 Berikut ini diberikan beberapa sifat dari suatu ruang vektor V atas lapangan K. Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan K, maka (). v =, adalah elemen netral di K dan v V. (). ( v) + v =, dimana K. (3). α =, dimana α K. Bukti (). v = ( + )v = v + v, kedua ruas tambahkan dengan vektor w yang memenuhi w + v =, didapat: w + v = w + v + v atau = + v. Terlihat bahwa v =. (). ( v) + v = ( + )v = v =. (3). α = α() = (α) = =. Ruang Bagian Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan K. Himpunan S V (S ) dikatakan suatu ruang bagian bila S sendiri dengan operasi tambah dan kali seperti di V tetap merupakan ruang vektor atas K.

of 3 Contoh. Himpunan B = x y z x + y + z = adalah ruang bagian dari ruang vektor R 3 atas R.. Misalkan ruang vektor dari semua himpunan fungsi yaitu V = {f { : R R} dan D V, dimana D = f V d } f dx + f =, maka D adalah ruang bagian dari ruang vektor V atas R. 3. Himpunan P 3 (R) adalah ruang bagian dari ruang vektor P n (R) atas lapangan R dengan n 3. { } 4. Himpunan S = (a n ) l lim a n = x, x R adalah ruang n bagian dari ruang vektor l atas lapangan R.

Berikut ini diberikan suatu sifat (pernyataan) yang ekivalen dengan pernyataan dari suatu ruang bagian. Home Page Himpunan S adalah suatu ruang bagian dari suatu ruang vektor V atas lapangan K bila dan hanya bila x s + x s S untuk setiap x, x K dan s, s S. Page of 3 Bukti Misalkan S ruang bagian dan x, x K juga s, s S, maka x s S dan x s S. Oleh karena itu, x s + x s juga di S. Sebaliknya, misalkan x s + x s S untuk setiap x, x K dan s, s S. Akan ditunjukkan bahwa S adalah ruang vektor atas K. Sifat. dari ruang vektor otomatis diwarisi dari V, begitu juga sifat komutatif, assosiatif di sifat., diwarisi dari V. Untuk x = x =, didapat s + s = s + s S (tertutup). Untuk x = x = didapat s + s = (s + s ) = S. Oleh karena itu, untuk x = x = dan setiap s S, didapat s + = s + = s = + s = + s S. Selanjutnya untuk x =, x = dan setiap s S didapat s + ( )s = ( + ( ))s = s = (s punya invers yaitu s). Catatan Pernyataan x s + x s S untuk setiap x, x K dan s, s S, dapat diganti oleh x s + x s +... + x n s n S untuk setiap x, x,..., x n K dan s, s,..., s n S.

Page of 3 Contoh penggunaan sifat ruang bagian. Himpunan B = x y z x + y + z = adalah ruang bagian dari ruang vektor R 3 atas R. untuk setiap v, v B, maka x y z v = y = y = y + z z z v = x y z = y z y z = y + z Sehingga untuk a, b R, didapat: av + bv = (ay + by ) + (az + bz ) Sebab,,. B.

Page of 3. Misalkan ruang vektor dari semua himpunan fungsi yaitu V = {f { : R R} dan D V, dimana D = f V d } f dx + f =, maka D adalah ruang bagian dari ruang vektor V atas R. Sebab, misalkan f, g D dan a, b R, maka d (af + bg) dx Jadi af + bg D. + (af + bg) = a d f dx + af + g bd dx + bg = a( d f dx + f) + g b(d + g) = a + b =. dx 3. Himpunan P 3 (R) adalah ruang bagian dari ruang vektor P n (R) atas lapangan R dengan n 3. Sebab, misalkan p(x), q(x) P 3 (R) dan a, b R, maka ap(x) + bq(x) = a(a + a x + a x + a 3 x 3 ) + b(b + b x + b x + b 3 x 3 ) = (aa + bb ) + (aa + bb )x + (aa + bb )x +(aa 3 + bb 3 )x 3. Jadi ap(x) + bq(x) P 3 (R).

Himpunan Pembentang, Bebas linier dan Basis Misalkan V suatu ruang vektor atas K dan S V. Himpunan pembentang dari S adalah himpunan: < S > def = {x s +... + x n s n x,..., x n K, s,..., s n S}. Penulisan x s +...+x n s n juga dinamakan kombinasi linier dari vektor-vektor s,..., s n. Berikutini diberikan sifat dari suatu < S > sebgaimana berikut. Page 3 of 3 Bila V merupakan suatu ruang vektor atas K dan S V, maka < S > adalah suatu ruang bagian dari V. Bukti Misalkan v = x s +... + x n s n dan w = x n+ s n+ +... + x m s m di < S > dan a, b K, maka av + bw = a(x s +... + x n s n ) + b(x n+ s n+ +... + x m s m ) = (ax )s +... + (ax n )s n + (bx n+ )s n+ +... + (bx m )s m. Terlihat bahwa av + bw < S >, oleh karena itu < S > adalah ruang bagian dari V.

of 3 Contoh. Misalkan V ruang vektor atas K untuk setiap v V, maka < {v} >= {kv k K}.. Misalkan ruang vektor R 3 atas R, maka < {e, e } >= R dimana e = (,, ) dan e = (,, ). Sebab, x R = y x, y R = x + y x, y R = {xe + ye x, y R} =< {e, e } >.

of 3 Berikut ini diberikan sifat dari suatu himpunan pembentang. Misalkan V suatu ruang vektor atas K dan S adalah suatu himpunan pembentang dari S dan v V, maka S = S {v} bila dan hanya bila v S Bukti. Misalkan S = S {v}, jelas bahwa v S {v}. Jadi juga v S. Sebaliknya misalkan bahwa v S, akan ditunjukkan bahwa S = S {v}. Jelas bahwa S S {v}. Tinggal menunjukkan bahwa S {v} S.Tulis v = a s +... + a n s n dan misalkan w S {v}. Didapat w = b v + a n+ s n+ +... + a m s m = (b a )s +... + (b a n )s n + a n+ s n+ +... + a m s m. Terlihat bahwa w S. Jadi S {v} S dan karena S S {v}, oleh karena itu haruslah S = S {v}.

Contoh Misalkan dalam R 3, vektor-vektor v =, v dan v 3 = 3. Page 6 of 3 Didapat v 3 = v + 3v, jadi v 3 {v, v }. Maka dari itu, {v, v } = {v, v, v 3 }. Sifat dari suatu himpunan pembentang yang dibahas sebelumnya, mengatakan bahwa suatu vektor v bisa dihapus untuk memperoleh himpunan baru S dengan himpunan pembentang yang sama bila dan hanya bila v merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di S. Jadi dengan pengertian ini, suatu himpunan S V adalah minimal bila dan hanya bila ia tidak memuat vektor-vektor yang merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor yang lainnya dalam himpunan tersebut.

Berikut ini diberikan suatu pengertian mengenai bebas linier. Vektor-vektor v, v,..., v n di suatu ruang vektor V atas lapangan K dikatakan bebas linier bila vektor v i, i =,,..., n bukan merupakan suatu kombinasi linier dari vektor-vektor yang lainnya. Bila tidak demikian, maka vektor-vektor v j, j =,,..., n dikatakan bergantungan linier. Misalkan Vektor-vektor s,..., s n S V, dengan V suatu ruang vektor atas K, vektor-vektor s i, i =,..., n bebas linier bila dan hanya bila x s +... + x n s n =, x i K dipenuhi hanya untuk x =... = x n =. Page 7 of 3 Bukti Misalkan s i S, i =,..., n bebas linier dan andaikan x s +...+ x n s n = tetapi untuk beberapa i, x i. Didapat s i = ( x x i )s +... + ( x i x i )s i + ( x i+ x i )s i+ +... + ( x n xi )s n. Terlihat bahwa s i merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor s j, j i. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa s i, i =,,..., n bebas linier. Jadi haruslah x s +... + x n s n = dipenuhi hanya untuk x =... = x n =. Selanjutnya misalkan x s +...+x n s n =, x i K dipenuhi hanya untuk x =... = x n =, maka jelas bahwa s i, i =,..., n bebas linier. Bila tidak berarti bahwa untuk beberapa i, s i = c s +... + c i s i + c i+ s i+ +... + c n s n atau = c s +...+c i s i +c i s i +c i+ s i+ +...+c n s n dengan c i =. Ini bertentangan dengan kenyataan bahwa = c s +... + c i s i + c i s i +c i+ s i+ +...+c n s n dipenuhi hanya unuk c i =, i =,,..., n.

of 3 Komentar Pernyataan vektor-vektor s i, i =,..., n dalam ruang vektor V atas K bebas linier ekivalen dengan x s +... + x n s n =, x i K dipenuhi hanya untuk x =... = x n =. Bila V = R n dan K = R, maka vektor-vektor s i, i =,..., n dalam ruang vektor R n atas R bebas linier mempunyai arti bahwa sistem persamaan linier homogin x s +... + x n s n = mempunyai penyelesaian trivial, yaitu x i =, i =,,..., n. Bila persamaan homogin ini mempunyai jawab non trivial, yaitu x i untuk beberapa i, maka hal ini berarti bahwa vektor-vektor s i tsb. tidak bebas linier atau bergantungan linier. Bila vektor s di ruang vektor R n dan memenuhi s = x s +... + x n s n, yaitu vektor s merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor s,..., s n. Hal ini berarti bahwa sistem persamaan linier tak homogin s = x s +... + x n s n, mempunyai jawab x = (x,..., x n ).

Contoh Home Page. Dalam R 4 vektor (, 4,, 6) adalah kombinasi linier dari dua vektor (,,, 4) dan (,,, 3), sebab: (, 4,, 6) = 3(,,, 4) (,,, 3). Sedangkan vektor (, 6,, 9) bukan kombinasi linier (,,, 4) dan (,,, 3), sebab bila (, 6,, 9) = x (,,, 4) + x (,,, 3) ekivalen dengan sistem persamaan linier Page 9 of 3 x + x = x + x = 6 x = 4x + 3x = 9 mudah dicek bahwa sistem persamaan linier ini tidak mempunyai jawab.. Misalkan ruang vektor V = {f : R R} atas R, maka fungsi cos x merupakan kombinasi linier dari fungsi-fungsi cos x, sinh x dan cosh x, sebab cos x = cos x+sinh x cosh x, ingat bahwa cos x = cos x dan cosh x sinh x =. 3. Dilanjutkan halaman berikutnya!

Page of 3 Lanjutan Contoh 3. Misalkan tiga vektor v = (,, 3), v = (3,, ) dan v 3 = (3, 3, 3) di R 3. Maka {v, v, v 3 } = {x v + x v + x 3 v 3 x, x, x 3 R} = {(x + 3x + 3x 3, x + x + 3x 3, 3x + x + 3x 3 ) } Tulis (x, y, z) = (x + 3x + 3x 3, x + x + 3x 3, 3x + x + 3x 3 ). Didapat: x 3 3 x y = 3 x, z 3 3 x 3 ( ) x y z = ( ) 3 3 3 3 3 x x x 3 =, atau x y + z =. Catatan 3v + 3v 4v 3 = dan juga 3 3 det 3 =. 3 3 4. Dilanjutkan halaman berikutnya!

Lanjutan Contoh Home Page Page of 3 4. Dua vektor v = ( 4 5 ), v = ( 5 5 ) R sebab x v + x v = dipenuhi hanya untuk x = x =, hal ini bisa dicek sbb: 4x 5x = 5x + 5x = didapat x = dan x =. 5. Diberikan S R 3 dimana S =,, Perhatikan persamaan berikut: x + x + x 3 } 5 } 4 B 4x + B 5x = 75 4 x =, + x 4 Himpunan penyelesaiannya adalah: x 3 x 3/ x 3 = x 3 + x 5 x 4 x 5, 3 3 + x 5 3 3 = x 3, x 5 R.

Lanjutan Contoh 5. Himpunan penyelesaiannya adalah: x 3 x 3/ x 3 = x 3 + x 5 x 4 x 5 x 3, x 5 R Page of 3 Hal ini menunjukkan bahwa semua vektor di S saling bergantungan linier. Untuk x 3 =, x 5 =, didapat bahwa vektor yang ke-5 dalam S merupakan kombinasi linier dari dua vektor yang pertama. Gunakan sifat yang telah dipunyai untuk menghapus vektor yang ke-5 sehingga didapat: S =,,,, dalam hal ini < S >=< S >. Juga terlihat bahwa vektor yang ke-3 dalam S merupakan kombinasi linier dari dua vektor yang pertama, sehingga vektor ke-3 ini bisa dihapus dan didapat: S =,,. Juga, dalam hal ini < S >=< S >. Jadi < S >=< S >.

6. Misalkan tiga vektor v = (,, ), v = (5,, 3) dan v 3 = (, 7, 4) di R 3, maka Home Page {v, v, v 3 } = {x v + x v + x 3 v 3 x, x, x 3 R} = {x (,, ) + x (5,, 3) + x 3 (, 7, 4) x, x, x 3 R} = {(x + 5x + x 3, x + x + 7x 3, 3x + 4x 3 ) x, x, x 3 R}. Tulis (x, y, z) = (x +5x +x 3, x +x +7x 3, 3x +4x 3 ), didapat: x 5 x y = 7 x. z 3 4 x 3 Page 3 of 3 Sehingga diperoleh: 5 6 33 x 4 4 5 y 3 3 4 z = = 5 6 33 4 4 5 3 3 4 x x x 3 = 5 7 3 4 Terlihat bahwa, untuk setiap (x, y, z) R 3 selalu bisa diperoleh x, x, x 3 R sehingga {v, v, v 3 } = x v + x v + x 3 v 3. Jadi {v, v, v 3 } = R 3. x x x 3. x x x 3

Basis dan Dimensi Misalkan B = {b, b,...} V dimana V adalah ruang vektor atas K. Bila {b, b,...} = V dan vektor-vektor b, b,... bebas linier maka B dikatakan suatu basis dari V. Banyaknya anggota dari B dinamakan dimensi dari ruang vektor V. Contoh:. Dalam R, B = {(, 4), (, ) } adalah suatu basis dari R, basis yang lainnya adalah B = {(, ), (, ) }. Secara umum B 3 = {(a, a ), (a, a ) } adalah suatu basis dari R bila ( ) a a det. a a Page 4 of 3. Ruang vektor V = {x cos θ + x sin θ x, x R} atas R, maka suatu basis dari V adalah {cos θ, sin θ}. 3. Dalam ruang vektor P 3 (x), maka {, x, x, x 3 } adalah suatu basis dari P 3 (x). Sedangkan {, x, x, x 3, x 4...} adalah suatu basis dari ruang vektor P (x). 4. Dalam ruang vektor M, (R), yaitu himpunan matriks ukuran dengan elemen-elemen di R, maka {( ) ( ) ( ) ( )},,, adalah suatu basis dari M, (R).

Sifat Misalkan V suatu ruang vektor atas K dan {v,..., v n } adalah suatu basis dari V, maka setiap elemen v V dapat diungkapkan secara tunggal sebagai: v = x v +... + x n v n, x,..., x n K. Bukti Misalkan v = a v +... + a n v n, dan v = x v +... + x n v n, didapat: (x a )v +... + (x n a )v n =, karena vektor-vektor v,..., v n bebas linier, maka haruslah x a =,..., x n a n =. Sehingga diperoleh x = a,..., x n = a n. Berikut ini, diberikan suatu sifat untuk ruang vektor R n atas R, yaitu misalkan v i R n, i =,,..., m. Bila m > n, maka vektor-vektor v i, i =,,..., m bergantungan linier. Page 5 of 3 Bukti Untuk setiap j =,,..., m, tulis vektor v j = (a j, a j,..., a nj ), sehingga persamaan x v +...+x m v m = dalam bentuk matriks adalah: a. a n... a m.... a nm x. x m = Terlihat bahwa, persamaan homogin terdiri dari n persamaan dengan variabel yang takdiketahui sebanyak m. Karena m > n, maka persamaan mempunyai suatu solusi yang nontrivial, yaitu ada beberapa x k, k =,,..., m yang tidak semuanya sama dengan nol. Jadi v j, j =,,..., m bergantungan linier...

of 3 Contoh Dalam ruang vektor R atas R, Misalkan v = (a, a ), v = (a, a ) R. Bila vektor-vektor v, v, bebas linier, maka persamaan: x v + x v = atau dalam bentuk matriks: Ax = dengan ( ) ( ) ( ) a a A = x, x = dan = a a x mempunyai jawab trivial hanya bila det(a). Secara geometris, hal ini menyatakan bahwa luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh dua vektor v dan v sama dengan det(a). Sebaliknya bila det(a) =, maka luas daerah ini sama dengan. Hal ini menunjukkan bahwa dua vektor v dan v terletak pada satu garis yang sama atau dengan kata lain dua vektor v dan v bergantungan linier. Jadi {v, v } adalah suatu basis dari R dengan dimensi (mengapa?).

Sifat. Misalkan V suatu ruang vektor atas K dan {v,..., v n } suatu basis dari V. Selanjutnya, bila vektor-vektor u,..., u m dengan m > n, maka vektor-vektor u,..., u m bergantungan linier. Bukti Karena {v,..., v n } suatu basis dari V, didapat: u = a v +... + a n v n. u m = a m v +... + a nm v n, dimana a ij K, i =,,..., n dan j =,,..., m. Untuk x,..., x m K dan diketahui bahwa {v,..., v n } bebas linier, didapat: Page 7 of 3 = x u +... + x m u m = x (a v +... + a n v n ) +... + x m (a m v +... + a nm v n ) = (a x +... + a m x m )v +... + (a n x +... + a nm x m )v n dan haruslah a x +... + a m x m =,..., a n x +... + a nm x m = atau dengan notasi matriks: a... a m x... =.. a n... a nm x m Persamaan homogin diatas mempunyai jawab non-trivial (sebab m > n). Jadi vektor-vektor u,..., u m bergantungan linier.

Kesimpulan Misalkan V suatu ruang vektor atas K dengan dimensi hingga. Maka setiap dua basis yang berbeda dari V harus mempunyai banyak elemen yang sama. Home Page Page 8 of 3 Contoh. Dalam ruang vektor P 3 (R) atas R, B = {, x, x, x 3 } adalah suatu basis baku dari P 3 (R). Basis yang lainnya adalah B = {, + x, + x + x, + x + x + x 3 }.. Persamaan homogin Ax =, diberikan oleh : x 3 5 5 x 4 7 3 x 5 9 5 9 3 =. x 3 6 4 x 5 Himpunan penyelesaiannya adalah: {v, v } = x = x + x 3 5 x, x R merupakan suatu ruang vektor atas R dengan dimensi dua.

of 3 Misalkan V suatu ruang vektor atas K berdimensi hingga. Maka setiap himpunan hingga S V yang terdiri dari vektorvektor bebas linier di V tetapi S bukan merupakan suatu basis dari V dapat diperluas sampai merupakan suatu basis dari V. Bukti. Misalkan S = {v,..., v m } dengan v i, i =,..., m adalah vektor-vektor yang bebas linier. Karena S = V, maka pilih vektor v m+ V sehingga v m+ bukan kombinasi linier dari vektor-vektor v j, j =,,..., m. Selanjutnya namakan T = {v,..., v m, v m+ }, bila T = V, maka T adalah basis dan sudah tidak bisa lagi diperluas menjadi vektor-vektor yang bebas linier. Bila T V, lakukan lagi cara perluasan seperti sebelumnya sehingga diperoleh himpunan vektor-vektor yang bebas linier di U yang memenuhi U = V.

of 3 Kesimpulan. Misalkan V ruang vektor atas K berdimensi n, maka setiap himpunan dari n vektor yang bebas linier adalah suatu basis dari V. Contoh Misalkan S = {(,, ), (,, ) } R 3, jelas bahwa vektor-vektor di S bebas linier dan S = {x(,, ) +y(,, ) = (x, x y, x) x, y R}, jelas bahwa bila (x, x, x 3 ) S, maka x 3 = x. Oleh karena itu (x, y, z) / S bila x z. Pilih vektor (,, ) sehingga didapat T = {(,, ), (,, ), (,, ) } dimana vektor-vektor di T bebas linier, maka dari itu T merupakan suatu basis dari R 3.

Jumlahan Langsung. Home Page Misalkan U dan V adalah ruang bagian dari suatu ruang vektor W atas K dengan dimensi hingga, maka dim(u + V ) = dim(u)+dim(v ) dim(u V ), dimana U +V = {u+v u U, v V }. Page 3 of 3 Bukti. Misalkan {z,..., z r } suatu basis dari U V perluas basis ini masing-masing menjadi {z,..., z r, u,..., u m } adalah suatu basis dari U dan {z,..., z r, v,..., v n } suatu basis dari V. Terlihat bahwa, dim(u V ) = r, dim(u) = r + m dan dim(v ) = r + n. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa {z,..., z r, u,..., u m, v,..., v n } adalah suatu basis dari U + V. Sehingga, dalam hal ini didapat dim(u + V ) = r + m + n = (r + m) + (r + n) r = dim(u) + dim(v ) dim(u V ). Misalkan sebarang w U +V, maka w = u+v untuk beberapa u U dan beberapa v V. Dengan kenyataan bahwa u = a z +... + a r z r + b u +... + b m u m untuk beberapa skalar a i, b j dan v = c z +... + c r z r + d v +... + d m v n untuk beberapa skalar c k, d l, didapat: w = u+v = (a +c )z +...+(a r +c r )z r +b u +...+b m u m +d v +...+d m v n terlihat bahwa w {z,..., z r, u,..., u m, v,..., v n }. Maka dari itu didapat {z,..., z r, u,..., u m, v,..., v n } = U + V.

of 3 Lanjutan Bukti... Diberikan x z +...+x r z r +x r+ u +...+x r+m u m +x r+m+ v +...+x r+m+n v n = untuk beberapa skalar x j. Tulis w = x z +...+x r z r +x r+ u +...+ x r+m u m, didapat w = x r+m+ v +... x r+m+n v n. Terlihat bahwa w U dan w V, jadi w U V. Tetapi {z,..., z r } adalah suatu basis dari U V, jadi w = b z +... + b r z r untuk beberapa skalar b i. Sehingga didapat b z +... + b r z r = x r+m+ v +... x r+m+n v n atau b z +... + b r z r + x r+m+ v +... + x r+m+n v n =. Tetapi {z,..., z r, v,..., v n } adalah suatu basis dari V, maka dari itu haruslah b =... = b r = x r+m+ =... = x r+m+n =, sehingga persamaan x z +... + x r z r + x r+ u +... + x r+m u m + x r+m+ v +... + x r+m+n v n = menjadi x z +... + x r z r + x r+ u +... + x r+m u m =. Tetapi {z,..., z r, u,..., u m } juga adalah suatu basis dari U. Jadi haruslah x =... = x r = x r+ =... = x r+m =. Sehingga didapat x k =, k =,,..., r+m+n. Jadi vektor-vektor z,..., z r, u,..., u m, v,..., v n bebas linier.

of 3 Contoh Misalkan W = R, u = (,,, ), u = ( 3, 7,, ), U = {u, u } dan V = {(x, x, x 3, ) x i R}. Vektor-vektor u, u bebas linier, sebab bila a u + a u = atau a (,,, ) + a ( 3, 7,, ) = didapat a = a =. Jadi dim(u) =. Suatu basis dari V adalah e = (,,, ), e = (,,, ), e 3 = (,,, ). Jadi dim(v ) = 3. Perhatikan bahwa e 4 = (,,, ) = ( 3, 7,, ) +3(,,, ) 7(,,, ) (,,, ) = u +3e 7e e 3. Jadi e 4 U +V. Karena e, e, e 3 juga di U +V, maka {e, e, e 3, e 4 } adalah suatu basis dari U + V. Jadi dim(u + V ) = 4. Sehingga didapat: dim(u V ) = dim(u) + dim(v ) dim(u + V ) = + 3 4 =. Bisa dicek secara langsung bahwa vektor-vektor di U V adalah vektor-vektor di U dengan komponen ke-empat sama dengan nol, yaitu vektor b u + b u = (b 3b, b + 7b, b, b ) dimana b =. Jadi U V = {u }. Terlihat bahwa dim(u V ) =. Catatan. Bila U, V ruang bagian berdimensi hingga masingmasing dengan basis {u,..., u m } dan {v,..., v n }. Misalkan W = U + V dan sebarang w W. Didapat w = u + v = a u +...+a m u m +b v +...+b n v n atau W = {u,..., u m, v,..., v n }. Selanjutnya reduksi vektor-vektor u,..., u m, v,..., v n menjadi vektor-vektor yang bebas linier (sampai minimal) dan himpun kedalam himpunan S, sehingga didapat W = {S}. Jadi dimensi dari W sama dengan banyaknya vektor-vektor di S.

Bila U dan V adalah ruang bagian berdimensi hingga dengan U V = {}, maka U + V dinamakan jumlahan langsung dari U dan V. Home Page Page 34 of 3 Contoh. Himpunan U = {(x, x, ) x, x R} dan V = {(,, x 3 ) x 3 R} adalah ruang bagian dari ruang vektor R 3 atas R dimana U V = {}. Jadi U+V adalah jumlahan langsung dari U dan V, U +V = {(x, x, ) +(,, x 3 ) = (x, x, x 3 ) x, x, x 3 R} = {x (,, ) + x (,, ) + x 3 (,, ) x, x, x 3 R} = R 3, terlihat bahwa dim(u + V ) = 3. Perhatikan bahwa U = {(x, x, ) x, x R} = {x (,, ) + x (,, ) x, x R} = {(,, ), (,, ) }, terlihat bahwa dim(u) =. Begitu juga, V = {(,, x 3 ) x 3 R} = {x 3 (,, ) x 3 R} = {(,, ) } dan dim(v ) =. Makna U + V merupakan jumlahan langsung dari U dan V tampak dari dimensi, yaitu dim(u + V ) = dim(u) + dim(v ) dim(u V ) = + = 3 = dim(u) + dim(v ). Hal ini juga bisa dilihat dari pengertian basis yaitu, himpunan {(,, ), (,, ) } adalah suatu basis dari U dan himpunan {(,, ) } adalah suatu basis dari V sedangkan himpunan {(,, ), (,, ), (,, ) } sudah bebas linier (tidak bisa lagi direduksi menjandi himpunan yang lebih kecil lagi sehingga bebas linier). Jadi, dari sini juga langsung didapat bahwa dim(u + V ) = dim(u) + dim(v ). Kesimpulan. Dimensi dari suatu ruang jumlahan langsung sama dengan jumlah dari masing-masing dimensi ruang.

Berikut ini diberikan suatu sifat yang lain dari ruang jumlahan langsung. Setiap w W = U + V dengan U V = {} mempunyai penulisan tunggal w = u + v, u U, v V. Page 35 of 3 Bukti. Misalkan w = u + v = ū + v, maka u ū = v v. Tetapi u ū U, v v V dan U V = {}. Maka haruslah u ū = dan v v = atau u = ū dan v = v. Koordinat. Misalkan {v,..., v n } adalah suatu basis dari suatu ruang vektor atas K. Jadi setiap v V dapat ditulis secara tunggal oleh v = x v +...+x n v n untuk beberapa skalar x,..., x n K. Dalam hal ini skalarskalar x,..., x n dinamakan koordinat dari vektor v terhadap basis {v,..., v n }.

of 3 Contoh. Misalkan V = R 3 dengan basis baku {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, ) } dan misalkan sebarang v = (x, y, z) V, maka v = xe + ye + ze 3. Jadi koordinat dari v terhadap basis {e, e, e 3 } adalah x, y dan z. Tetapi untuk basis yang lain dari V, misalkan {v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, ) }, maka v = ( x+y+z )v + ( x y+z )v + ( x+y z )v 3. Koordinat dari vektor v terhadap basis {v, v, v 3 } adalah x+y+z, x y+z dan x+y z. Terlihat bahwa vektor v terhadap dua basis yang berbeda dari ruang vektor V mempunyai dua koordinat yang berbeda pula. Basis terurut. Adalah perlu dijamin bahwa suatu vektor dikaitkan dengan suatu vektor basis yang sesuai, cara baku untuk melakukan hal ini adalah menggunakan penyajian terurut untuk koordinat dan vektor basis. Bila urutan dari vektor-vektor dalam suatu basis dipersoalkan dalam hal ini dinamakan basis terurut dan basis ini ditulis sebagai suatu barisan. Bila urutan dari vektor basis takdipersoalkan, basis tersebut ditulis sebagai suatu himpunan, dalam hal ini penekanan mengenai diskusi dari suatu vektor basis, urutan tidak bergantung pada urutan. Tetapi, bila koordinat dari suatu vektor disajikan sebagai baris atau kolom dalam suatu matriks, maka secara esensi penyajian bergantung pada urutan vektor-vektor basis. Begitu juga, bila suatu pemetaan linier disajikan sebagai suatu matriks, maka sangatlah penting menggunakan vektor basis terurut.

Pemetaan Linier pada Ruang Vektor Misalkan U dan V adalah ruang vektor atas K, suatu pemetaan α : U V adalah suatu pemetaan linier atau transformasi linier bila dan hanya bila memenuhi α(k u +k u ) = k α(u )+k α(u ) untuk semua k, k K dan u, u U. Sifat. Bila α : U V suatu pemetaan linier, maka α() =. Bukti α() = α( + ) = α() + α(), didapat α() α() = α(), jadi = α(). Page 37 of 3 Contoh. Misalkan α : U V, U = R 3 dan V = R dengan α((x, y, z) ) def = (x y, y + z). Maka α adalah pemetaan linier, sebab α(k u + k u ) = α(k (x, y, z ) + k (x, y, z ) ) = α((k x + k x, k y + k y, k z + k z ) ) = (k x + k x k y k y, k y +k y +k z +k z ) = (k x k y, k y +k z ) +(k x k y, k y + k z ) = k (x y, y + z ) + k (x y, y + z ) = k α((x, y, z ) ) + k α((x, y, z ) ).. Misalkan α : R 3 R dengan α((x, y, z) ) def = (x, y + z), pemetaan α bukan pemetaan linier, sebab α((,, ) ) = α((,, ) ) = (4, ) (, ) = (, ) = α((,, ) ).

Kernel dan Image Misalkan α : U V suatu pemetaan linier Image dari α adalah Im(α)=α(U) def = {α(u) u U} V. Kernel dari α adalah ker(α) def = {u U α(u) = } U. Contoh. Dalam Contoh. sebelumnya Im(α) = {α((x, y, z) ) = (x y, y + z) x, y, z R}, sedangkan ker(α) = {(x, y, z) x y =, y + z =, x, y, z R} = {y(,, ) y R}. Page 38 of 3 Beberapa sifat Misalkan U dan V adalah ruang vektor atas K dan α : U V suatu pemetaan linier, maka. Im(α) adalah ruang bagian dari V.. Ker(α) adalah ruang bagian dari U. 3. Pemetaan α satu-satu bila dan hanya bila ker(α) = {}. Bukti. Jelas bahwa Im(α) V. Misalkan sebarang v, v Im(α) dan sebarang k, k K. Untuk beberapa u, u U, maka kombinasi linier berikut dipenuhi k v + k v = k α(u ) + k α(u ) = α(k u ) + α(k u ) = α(k u + k u ) Im(α). Jadi Im(α) adalah ruang bagian dari V.

of 3 Lanjutan Bukti.... Jelas bahwa ker(α) U. Misalkan sebarang u, u ker(α) dan sebarang k, k K, maka α(k u +k u ) = k α(u )+k α(u ) = k + k =. Terlihat bahwa k u + k u ker(α). Jadi ker(α) adalah ruang bagian dari U. 3. Misalkan pemetaan α satu-satu dan sebarang u ker(α), maka α() + α(u) = α( + u) = α(u) =. Sehingga didapat α(u) = α() = α( ) = α(). Karena pemetaan α satu-satu haruslah u =. Jadi {} = ker(α). Selanjutnya misalkan ker(α) = {} dan u, u U, maka untuk α(u ) = α(u ) didapat, = α(u ) α(u ) = α(u u ). Terlihat bahwa u u ker(α). Tetapi, ker(α) = {}. Maka dari itu haruslah u u = atau u = u. Jadi pemetaan α adalah satu-satu.

of 3 Contoh. Misalkan V ruang vektor atas K dan U = K n. Diberikan matriks T = [a ij ], a ij K dan T bertindak pada ruang vektor U dengan aturan untuk setiap x U: dimana y i = T (x) def = n j= a. a n... a n....... a nn a ij x j, i =,,..., n. x. x n = y. y n, Maka T adalah suatu transformasi linier dari U ke U, sebab untuk sebarang x, x U dan sebarang k, k K berlaku: a... a n x x T (k x + k x) =..... k. + k. a n... a nn x n x n a... a n x = k...... a n... a nn x n a... a n x +k...... a n... a nn x n = k T (x) + k T ( x).

Lanjutan Contoh.... Dalam Contoh. sebelumnya, maka y a... a n Im(T ) =. =..... y n a n... a nn x. x n. Page 4 of 3 Bila T punya invers, maka ker(t ) = {}, yaitu persamaan homogin a... a n x...... =. a n... a nn x n hanya mempunyai jawab trivial x =... = x n =. Bila T tidak punya invers, maka x a... a n x ker(t ) =....... =. x n a n... a nn x n

of 3 Misalkan U dan V ruang vektor berdimensi hingga atas K dan α : U V suatu pemetaan linier. Bila {u,..., u n } = U, maka {α(u ),..., α(u n )} = Im(α).. dim(u) = dim(ker(α)) + dim(im(α)) Bukti.. Misalkan sebarang v Im(α), pilih u U yang memenuhi α(u) = v. Tetapi u = k u +...+k n u n, maka dari itu v = α(u) = α(k u +...+k n u n ) = k α(u )+...+k n α(u n ) {α(u ),..., α(u n )}. Jadi Im(α) = {α(u ),..., α(u n )}.. Misalkan {u,..., u m } basis dari ker(α), perluas basis ini sampai didapat {u,..., u m, w,..., w n } adalah suatu basis dari U. Jelas bahwa dim(ker(α)) = m dan dim(u) = m + n. Misalkan v i = α(w i ), i =,..., n. Akan ditunjukkan bahwa v i, i =,..., n adalah suatu basis dari Im(α). Dengan menggunakan hasil. didapat Im(α) = {α(u ),..., α(u m ), α(w ),..., α(w n )} = {,...,, v,..., v n } = {v,..., v n }. Selanjutnya selidiki apakah vektor-vektor v i, i =,..., n bebas linier, yaitu k v +... + k n v n = atau k α(w ) +... + k n α(w n ) =. Sehingga didapat α(k w +... + k n w n ) =. Jadi k w +... + k n w n ker(α). Oleh karena itu k w +... + k n w n = k u +... + k m u m untuk beberapa k i, atau k u +...+ k m u m k w +... k n w n =. Karena vektor-vektor {u,..., u m, w,..., w n } bebas linier maka k =... = k m = k =... = k n =, Jadi vektor-vektor v,..., v n bebas linier.

Adakalanya kernel dari suatu pemetaan linier disebut null space dan dimensi dari kernel dinamakan nullity dari pemetaan linier, sedangkan dimensi dari image suatu pemetaan linier dinamakan rank dari pemetaan linier. Sehingga didapat dim(u) = nullity(α) + rank(α). Page 43 of 3 Contoh. Misalkan pemetaan linier α : R 3 R dengan α((x, y, z) ) = (x + z, x y + z) untuk setiap (x, y, z) R 3. Kernel dari α adalah penyelesaian dari persamaan vektor α((x, y, z) ) = (x + z, x y + z) = (, ) atau penyelesaian persamaan homogin ( ) x y z = ( yang mempunyai penyelesaian x = x, y = x, z = x, x R. Jadi ker(α) = {x(,, ) x R} = {(,, ) }. Terlihat bahwa nullity(α) =. Sedangkan Im(α) = {(x + z, x y + z) x, y, z R} = {x(, ) y(, ) +z(, ) x, y, z R} = {(, ), (, ), (, ) } = {(, ) = (, ) + (, ), (, ), (, ) } = {(, ), (, ) }. Terlihat bahwa rank(α) =. Sehingga didapat dim(r 3 ) = nullity(α) + rank(α) = + = 3. )

Misalkan α : U V suatu pemetaan linier dari ruang vektor U ke ruang vektor V masing-masing atas K. Bila pemetaan α satu-satu dan pada yaitu pemetaan α mempunyai invers, maka α dinamakan suatu isomorpisma dari U ke V. Dalam hal ini, U dan V dikatakan isomorpik dan dinotasikan oleh U = V. Perhatikan bahwa, karena α pemetaan satu-satu dan pada, maka Im(α) = V dan ker(α) = {}. Page 44 of 3 Misalkan U dan V ruang vektor berdimensi hingga atas K masing-masing dengan basis {u,..., u m } dan {v,..., v n }. Maka U dan V isomorpik bila dan hanya bila dim(u) = dim(v ) (m = n). Lagipula, ada suatu isomorpisma tunggal α : U V yang memenuhi α(u i ) = v i, i =,..., n. Bukti Bila α : U V suatu isomorpisma, maka α satu-satu dan pada. Maka dari itu, ker(α) = {} dan Im(α) = V. Sehingga didapat dim(u) = dim(ker(α)) + dim(im(α)) = + dim(v ) = dim(v ). Sebaliknya, misalkan m = n dan α suatu pemetaan linier yang memenuhi α(u i ) = v i, i =,..., n. Akan ditunjukkan bahwa α satu-satu dan pada.

of 3 Lanjutan Bukti... Misalkan sebarang u ker(α), maka α(u) =. Tetapi u = k u +... + k m u m. Sehingga didapat = α(u) = α(k u +... + k m u m ) = k α(u ) +... + k m α(u m ) = k v +... + k m u m dan karena {v,..., v m } suatu basis dari V, maka haruslah k =... = k n =. Jadi u =. Maka dari itu ker(α) = {}. Jadi pemetaan α satu-satu. Selanjutnya, misalkan sebarang v V, maka v = a v +... + a n v n untuk beberapa skalar a i. Tetapi v i = α(u i ), i =,..., n. Jadi v = a α(u i ) +... + a n α(u n ) = α(a u +... + a n u n ) Im(α). Sehingga didapat V = Im(α) atau pemetaan α adalah pada. Kerena pemetaan linier α adalah satu-satu dan pada, maka U dan V isomorpik. Berikutnya, ditunjukkan bahwa isomorphisma α yang memenuhi α(u i ) = v i, i =,..., n adalah tunggal. Misalkan β : U V adalah suatu isomorphisma yang juga memenuhi β(u i ) = v i, i =,..., n dan misalkan sebarang u = k u +... + k n u n U untuk beberapa skalar k i K, maka α(u) β(u) = α(k u +... + k n u n ) β(k u +... + k n u n ) = k α(u ) +... + k n α(u n ) k α(u )... k n α(u n ) = k v +... + k n v n k v... k n v n =. Sehingga didapat α(u) = β(u), u U. Jadi β = α. Misalkan U dan V ruang vektor atas K, himpunan L(U, V, K) menyatakan himpunan semua pemetaan linier dari U ke V.

Misalkan α, β L(U, V, K) pemetaan α + β didefinisikan sebagai (α+β)(u) def = α(u)+β(u) untuk semua u U dan pemetaan kα didefinisikan sebagai (kα)(u) def = kα(u) untuk semua u U. Maka L(U, V, K) adalah ruang vektor atas K. Page 46 of 3 Misalkan α, β L(U, V, K) dan komposisi dari β α adalah (βα)(u) def = β(α(u)) untuk semua u U, maka β α L(U, V, K). Bukti (βα)(k u + k u ) = β(α(k u + k u )) = β(k α(u ) + k α(u )) = k β(α(u )) + k β(α(u )) = k (βα)(u ) + k (βα)(u ).

of 3 Pemetaan Linier dan Aljabar Matriks Misalkan U, V ruang vektor berdimensi hingga atas K masing-masing dengan dimensi m dan n. Misalkan Bu = u,..., u m basis terurut di U, Bv = v,..., v n basis terurut di V dan α L(U, V, K). Untuk j =,..., m, α(u j ) V, sehingga ada skalar a i,j K sehingga α(u j ) = a,j v +... + a n,j v n. Bila indeks i dan j dalam skalar a i,j menyatakan elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks A, hal ini mendefinisikan matriks representasi dari pemetaan linier α diberikan oleh: A = a,... a,m... a n,... a n,m. Perhatikan bahwa, skalar-skalar a i,j dalam persamaan α(u j ) menyatakan kolom ke-j dari matriks A.

of 3 Sekali matriks-matriks representasi ini di konstruksi sesuai dengan basis-basis yang ada, matriks-matriks ini bisa digunakan tanpa lagi merujuk pada basis-basis yang ada, kecuali ada perubahan basis, maka matriks A juga berubah. Untuk menjelaskan hal ini, misalkan sebarang u U, maka u = x u +...+x m u m dan v = α(u) V. Tetapi v = y v +...+y n v n. Sehingga didapat α(u) = x α(u ) +... + x m α(u m ) = x (a, v +... + a n, v n ) +... + x m (a,m v +... + a n,m v n ) = (a, x +... + a,m x m )v +... + (a n, x +... + a n,m x m )v n = y v +... + y n v n atau y = Ax, dimana y y =., A = y n a,.... a,m.. a n,... a n,m dan x = x. x m.

of 3 Misalkan α L(U, V, K) dan β L(V, W, K) dimana dim(u) = m, dim(v ) = n dan dim(w ) = p. Representasi matriks dari α dan β masing-masing diberikan oleh A = (α, u j, v i ) berukuran n m dan B = (β, v i, w k ) beruran p n. Maka representasi matriks dari komposisi βα L(U, W, K) diberikan oleh C = (βα, u j, w k ) dimana C = BA dengan c k,j = n b k,i a i,j. Bukti Gunakan definisi representasi matriks dari suatu pemetaan, didapat α(u j ) = n a i,j v i dan β(v i ) = p b k,i w k. Maka dari itu i= ( k= (β(α(u j )) = n a i,j β(v i ) = n p ) ( a i,j b k,i w k = p n ) b k,i a i,j w k. i= i= k= Tetapi (βα)(u j ) = p c k,j w k, sehingga dengan menyamakan koe- fisien masing-masing persamaan didapat c k,j = n b k,i a i,j. k= k= i= i= i=

of 3 Contoh. Diberikan suatu transformasi linier α : R 3 R 3 oleh α((x, y, z) ) = (x y z, x + y + z, z) dengan basis baku terurut didapat: α((,, ) ) = (,, ), α((,, ) ) = (,, ) dan α((,, ) ) = (,, ), sehingga matriks representasi dari α terhadap basis baku terurut diberikan oleh: Selanjutnya bila digunakan basis terurut B = (,, ), (,, ), (,, ) didapat α((,, ) ) = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) B, α((,, ) ) = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) B dan α((,, ) ) = (,, ) = 3(,, ) + (,, ) + (,, ) = ( 3,, ) B. Sehingga matriks representasi dari α dengan basis terurut B diberikan oleh: 3..

of 3. Diberikan pemetaan linier α : P 3 (R) P (R) oleh α(p(x)) = d p(x). dx a. Matriks representasi A dari α dengan basis terurut B =, x, x, x 3 untuk P 3 (R) dan basis terurut B =, x + untuk P (R) diberikan sebagai berikut: α() = =. + (x + ) = (, ) B, α(x) = =. + (x + ) = (, ) B, α(x ) = =. + (x+) = (, ) B dan α(x 3 ) = 6x =.+6(x+) = (, 6) B, ( ) A =. 6 b. Misalkan p(x) = a+bx+cx +dx 3 ker(α), maka = α(p(x)) = c + 6dx, x R. Sehingga didapat c =, d =. Jadi ker(α) = {a. + bx a, b R} = {, x}. Terlihat bahwa dim(ker(α)) =. c. Sedangkan dimensi dari image α diberikan oleh: dim(im(α)) = dim(p 3 (R)) dim(ker(α)) = 4 =. Hal ini bisa dicek sebagai berikut, misalkan sebarang q(x) = α + βx + γx + δx 3 P 3 (R), maka α(q(x)) = γ + 6δx = γ. + 6δ.x {, x}. Jadi Im(α) = {, x} dan terlihat bahwa dimensi Im(α) sama dengan dua.

of 3 3. Misalkan u, u, u 3 basis terurut dari U, v, v, v 3 dan w, w adalah suatu basis terurut dari W. Selanjutnya diberikan pemetaan linier α : U V dan β : V W masing-masing oleh α(u ) = v +v v 3, α(u ) = v +v 3, α(u 3 ) = v +v +3v 3 dan β(v ) = w w, β(v ) = w + w, β(v 3 ) = w + 3w. Bila A = (α, u j, v i ) dan B = (β, v i, w k ), maka didapat matriks representasi: A = 3, B = ( 3 dan matriks representasi C = (βα, u j, w k ) diberikan oleh ( ) ( ) C = BA = 6 3 7 =. 3 7 3 Bisa dicek langsung lewat vektor-vektor basis ) (βα)(u ) = β(v + v v 3 ) = 6w w (βα)(u ) = β(v + v 3 ) = 3w + 7w (βα)(u 3 ) = β( v + v + 3v 3 ) = 7w + w.

Pemetaan Identitas Pementaan I U : U U adalah pemetaan identitas bila I U (u) = u untuk semua u U. Home Page Bila pemetaan α : U V suatu isomorpisma (satu-satu dan pada), maka ada pemetaan invers α : V U sehingga α α = I U dan αα = I V. Bila α : U V suatu isomorpisma, maka α : V U adalah pemetaan linier. Bila matriks representasi α adalah A dan matriks representasi dari α adalah B, maka BA = I dan AB = I. Page 53 of 3 Contoh. Misalkan u i, i =,, 3 adalah basis terurut dari U dan v j, j =,, 3 adalah basis terurut dari V. Pemetaan linier α : U V diberikan oleh: α(u ) = v + v v 3, α(u ) = v + v 3 dan α(u 3 ) = v + v + 3v 3, maka A = (α, u i, v j ) diberikan oleh A = 3 didapat B = A adalah matriks representasi dari α dimana:.5.5.5 B =.75.5.75.5.5.5

of 3 Perubahan dari suatu basis Perubahan basis dari suatu transformasi linier adalah penting. Sebagaimana telah diketahui dari pembahasan sebelumnya bahwa, suatu transformasi linier memberikan suatu matriks representasi melalu suatu basis yang telah ditentukan. Tentunya matriks representasi ini akan berbeda bila digunakan basis lain yang berbeda tetapi tetap merupakan suatu matriks representasi dari suatu transformasi linier yang sama. Perubahan basis tujuan utamanya adalah mendapatkan suatu matriks represenatsi yang mudah untuk penghitungan (komputasi) dan bisa menjelaskan makna perubahan bentuk suatu benda dalam domainnya menjadi bentuk yang lainnya dalam kodomainnya.

of 3 Misalkan B = u,..., u n adalah basis terurut dari suatu ruang vektor U atas K dan sebarang u U dapat diungkapkan sebagai u = x u +... + x n u n dimana skalar-skalar x i merupakan n-pasang berbentuk (x,..., x n ) K n. Maka pemetaan ρ B : U K n dinamakan suatu pemetaan koordinat dan ρ B (u) def = (x,..., x n ) dinamakan suatu vektor koordinat dari u U terhadap basis terurut B. Dalam hal ini ρ B adalah suatu isomorpisma maka dari itu U = K n. Bukti Misalkan sebarang u = x u +... + x n u n U, v = y u +... + y n u n V dan k, k K, maka didapat ρ B (k u + k v) = ρ B (k x u +... + k x n u n + k y u +... + k y n u n ) = ρ B ((k x + k y )u +... + (k x n + k y n )u n ) = (k x + k y,..., k x n + k y n ) = k (x,..., x n ) +k (y,..., y n ) = k ρ B (u)+k ρ B (v). Terlihat bahwa ρ B adalah pemetaan linier. Karena untuk setiap (x,..., x n ) K n vektor u = x u +... + x n u n memenuhi ρ B (u) = (x,..., x n ), maka pemetaan ρ B adalah pada. Selanjutnya misalkan sebarang u = x u +... + x n u n ker(ρ B ), maka ρ B (u) = (x,..., x n ) = (,..., ). Didapat x =,..., x n =. Jadi u =. Maka dari itu pemetaan ρ B adalah satu-satu. Karena pemetaan linier ρ B adalah satu-satu dan pada, maka ρ B adalah suatu isomorpisma atau U = K n.

of 3 Contoh. Misalkan diberikan dua basis terurut B = (, ), (, ) dan B = (, ), (, ) dari ruang vektor R. Terhadap basis B, sebarang (x, y) R didapat (x, y) = x(, ) + y(, ). Sehingga didapat ρ B ((x, y) ) = (x, y). Terhadap basis B, (x, y) = k (, ) + k (, ), didapat x = k + k, y = k k. dari sini diperoleh k = x + y, k = x y. Jadi ρ B ((x, y) ) = ( ) x + y. Sehingga ρ ((, B ) ) =, x y (, ) dan ρ ((, B ) ) = (, ).

U B α VC P B K m A K n P C Page 57 of 3 Misalkan B = u,..., u m suatu basis terurut dari ruang vektor U, C = v,..., v n suatu basis terurut dari ruang vektor V, kedua ruang vektor atas skalar K. Suatu pemetaan linier α : U V dengan matriks representasi A = (α, B, C). Misalkan α(u) = v dimana u = x u +...+x m u m U dan v = y v +...+y n v n V. Dari pembahasan sebelumnya dijelaskan bahwa v = α(u) dapat disajikan oleh persamaan matriks y = Ax, dimana x = (x,..., x m ) dan y = (y,..., y n ). Misalkan P adalah pemetaan koordinat, maka x = P B (u), y = P C (v) dan matriks representasi dari persamaan vektor v = α(u) adalah P C (v) = AP B (u). Sehingga didapat, v = α(u) = PC AP B(u), u U. Jadi α = PC AP B atau A = P C αpb. Hasil-hasil yang didapat ini dijelaskan dalam diagram diatas.

U B α V C I U U B α V C I V Home Page Page 58 of 3 Misalkan α : U V suatu pemetaan linier, B dan B dua basis terurut yang berbeda dari U sedangkan C dan C dua basis terurut yang berbeda dari V. Bila matiks-matriks representasi dari α adalah A = (α, B, C) dan Ā = (α, B, C), maka perubahan basis tidak berpengaruh pada suatu pemetaan linier sehingga hal ini berkaitan dengan pemetaan identitas. Tetapi perubahan basis mempunyai pengaruh terhadap matriks-matriks representasi A = (α, B, C) dan Ā = (α, B, C) melalui pemetaan identitas terhadap dua basis yang berbeda. Bila basis berubah pada domain dan kodomain dari α, maka umumnya diperlukan matriks representasi dari pemetaan identitas pada domain dan kodomain α yang dinotasikan oleh P = (I U, B, B) dan Q = (I V, C, C). Hubungan diantara ruang vektor dengan basis-basis berbeda diberikan secara diagram diatas. Sehingga didapat hubungan (α, B, C) = (I V, C, C)(α, B, C)(I U, B, B) atau Ā = QAP. Selanjutnya misalkan x, x vektor-vektor koordinat dari u U relatif terhadap basis B dan B dan y, ȳ vektor-vektor koordinat dari v = α(u) V relatif terhadap basis C dan C, maka x = P x dan ȳ = Qy. Bila y = Ax, maka ȳ = Qy = QAx = QAP x = Ā x. Terlihat bahwa vektorvektor koordinat dan matriks-matriks transformasi konsisten terhadap perubahan basis.

of 3 Contoh. Diberikan pemetaan linier α : R R dengan α((x, y) ) = (x + y, x + 3y). Dengan basis B = (, ), (, ), maka α B (, ) = (, ) = (, ) + (, ) = (, ) dan α B ((, ) ) = (3, 4) = (, ) + 4(, ) = (, 4), sehingga diperoleh matriks representasi dari α: A = (α, B, B) = ( 4 Misalkan sebarang (x, y) R, maka ρ B ((x, y) ) = a(, ) + b(, ) = (a, b) dimana skalar a, b memenuhi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a x = =, y b b y sehingga didapat a = x y dan b = y. Jadi ρ B ((x, y) ) = (x y, y). Dicek apakah pemetaan α konsisten terhadap basis B sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) x y x y α((x, y) ) = Aρ B ((x, y) ) = = 4 y x + 3y ( ) ( ) ( ) x + y = (x y) + (x + 3y) =. x + 3y ).

of 3. Diberikan pemetaan linier α : P 3 (R) P 3 (R) dimana α(p(x)) = (a + b) + (b + c)x + (c + d)x + (a + d)x 3, p(x) P 3 (R) dengan p(x) = a + bx + cx + dx 3. Misalkan B =, x, x, x 3 dan B =, + x, + x + x, + x + x + x 3 dua basis dari P 3 (R). Maka α() = + x 3 = () + (x) + (x ) + (x 3 ), α(x) = + x = () + (x) + (x ) + (x 3 ), α(x ) = x + x = ()+(x)+(x )+(x 3 ), α(x 3 ) = x +x 3 = ()+(x)+(x )+(x 3 ) dan I P3 (R)() = = + ( + x) + ( + x + x ) + ( + x + x + x 3 ), I P3 (R)(x) = x = () + ( + x) + ( + x + x ) + ( + x + x + x 3 ), I P3 (R)(x ) = x = () ( + x) + ( + x + x ) + ( + x + x + x 3 ), I P3 (R)(x 3 ) = x 3 = () + ( + x) ( + x + x ) + ( + x + x + x 3 ) Sehingga didapat matriks representasi A = (α, B, B), P = (I P3 (R), B, B) dan P diberikan oleh: A =, P = danp = Matriks representasi Ā = (α, B, B) diberikan oleh Ā = P AP =..

of 3 3. Diberikan ruang vektor U dengan dua basis terurut B = u, u, u 3 dan B = ū, ū, ū 3 dimana ū = u, ū = u 3, ū 3 = u. Serta ruang vektor V dengan dua basis terurut C = v, v dan C = v, v dimana v = v + v, v = v v. Suatu pemetaan linier α : U V diberikan oleh α(u ) = v v, α(u ) = v +v, α(u 3 ) = v +3v, sehingga diperoleh suatu matriks representasi A = (α, B, C) = ( 3 Misalkan P adalah matriks dari pemetaan identitas di U dari basis B ke basis B, yaitu I U (u ) = u = ū 3 = ū +ū +ū 3, I U (u ) = u = ū = ū + ū + ū 3, I U (u 3 ) = u 3 = ū = ū + ū + ū 3. Sehingga didapat P dan P : P = dan P = ). Begitu juga, karena I V ( v ) = v = v + v, I V ( v ) = v = v v, maka didapat matriks Q dari pemetaan identitas pada V dari basis C ke basis C dan juga didapat matriks Q diberikan oleh: Q = ( ) dan Q = (. ).

of 3 Lanjutan Contoh 3... Matriks representasi Ā = (α, B, C) diberikan oleh: Ā = QAP =. 5 3 Hasil ini bisa dicek secara langsung pemetaan α didefinisikan relatif terhadap basis B dan C sebagai berikut: α(ū ) = α(u ) = v + v = v = v + v α(ū ) = α(u 3 ) = v + 3v = v 5 v α(ū 3 ) = α(u ) = v v = v + v 3. Dua matriks bujur sangkar A dan B dikatakan similar bila ada matriks P yang punya invers sehingga B = P AP. Kesemilaran matriks ( ) adalah suatu relasi ekivalen.

of 3 Diberikan pemetaan linier α : U V terhadap basis terurut B dari ruang vektor U dan basis terurut C dari ruang vektor V, bagaimana cara memilih basis terurut B dari ruang vektor U dan basis terurut C dari ruang vektor V supaya representasi matriks Ā = (α, B, C) mempunyai bentuk normal diagonal satuan yang sederhana, yaitu matriks: I r..........., dimana I r adalah matriks satuan berukuran r r dengan r min{dim(u), dim(v )}. Untuk memperoleh cara yang dimaksud ini digunakan sifat berikut. Misalkan pemetaan linier α : U V, masing-masing dimensi U dan V adalah m dan n dengan dim(im(α)) = r. Maka ada basis terurut B dari U dan basis terurut C dari V sehingga representasi matriks dari α berbentuk normal diagonal satuan, yaitu I r. r Ā = (α, B, C) =.......... n r r m r

of 3 Bukti Dari sifat dimensi pemetaan linier didapat, dim(ker(α)) = dim(u) dim(im(α)) = m r. Misalkan u r+,..., u m adalah suatu basis terurut dari ker(α). Perluas basis ini sampai diperoleh basis terurut B = u,..., u r, u r+,..., u m dari ruang vektor U. Dari pengertian kernel didapat α(u r+ ) =,..., α(u m ) =. Selanjutnya pilih vektor-vektor v,..., v r Im(α) sehingga α(u ) = v,..., α(u r ) = v r. Jelas bahwa vektor-vektor v,..., v r adalah suatu basis terurut dari Im(α). Selanjutnya perluas basis ini sampai diperoleh basis terurut C = v,..., v r, v r+,..., v n dari ruang vektor V. Jadi, terhadap basis terurut B dari ruang vektor U dan basis terurut C dari ruang vektor V, pemetaan α didefinisikan oleh α(u ) = v,..., α(u r ) = v r, α(u r+ ) =,..., α(u m ) =. Dari definisi ini terlihat bahwa representasi matriks Ā = (α, B, C) adalah: Ā = (α, B, C) = I r........... r m r r n r

Contoh Misalkan representasi matriks dari suatu pemetaan linier terhadap basis baku terurut, diberikan oleh: A = 3 3 3 5 4 Dapatkan basis-basis terurut dari U dan V supaya dengan basis-basis ini pemetaan linier mempunyai representasi matriks berbentuk normal diagonal satuan.. Page 65 of 3 Penyelesaian Pertama, tentukan kernel dari A dengan menyelesaikan persamaan Ax =, didapat: ker(a) = {x(7, 5, ) x R} atau ker(a) = {(7, 5, ) }. Perluas basis dari kernel sehingga diperoleh basis terurut B = (,, ), (,, ), (7, 5, ). Selanjutnya dapatkan basis terurut dari Image A sebagai berikut: 3 3 3 5 4 = 3, 3 3 3 5 4 Perluas basis terurut ini sehingga diperoleh: = 3 5.

of 3 Lanjutan Contoh... C = (,, 3), (, 3, 5), (,, ) adalah basis terurut dari ruang vektor V. Selanjutnya cek dengan basis-basis terurut B dan C, representasi matriks berbentuk normal diagonal satuan sebagaimana berikut ini. Persamaan-persamaan yang memberikan matriks P = (α, B, B) dengan B basis terurut baku adalah: I U (ū ) = ū = (,, ), I U (ū ) = ū = (,, ) dan I U (ū 3 ) = ū 3 = (7, 5, ). Sehingga didapat: P = 7 5 Dengan cara serupa, persamaan-persamaan yang memberikan matriks Q = (α, C, C) dengan C basis terurut baku adalah: I V ( v ) = v = (,, 3), I V ( v ) = v = (, 3, 5) dan I V ( v 3 ) = v 3 = (,, ). Sehingga didapat: Q = 3 3 5 Q =. 5 3 3 dan matriks Ā = QAP diberikan oleh: 5 3 3 7 Ā = 3 3 5 3 5 4 =.

Rank suatu matriks. Home Page Page 67 of 3 Suatu matriks A berukuran n m dengan elemen-elemen di K mendefinisikan suatu pemetaan linier α dari K m ke K n sedemikian hingga A = (α, E m, E n ) dimana E m dan E n masing-masing adalah basis baku dari K m dan K n. Rank dari matriks A adalah rank dari α, jadi rank(a) = rank(α) = dim(im(α)). Ruang bagian dari K m yang dibentangkan oleh vektor-vektor baris dari A dinamakan ruang baris dari A dan mempunyai dimensi rank baris dari A yang merupakan banyaknya vektor-vektor baris dari A yang bebas linier. Ruang bagian dari K n yang dibentangkan oleh vektor-vektor kolom dari A dinamakan ruang kolom dari A dan mempunyai dimensi rank kolom dari A yang merupakan banyaknya vektorvektor kolom dari A yang bebas linier.