PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA BINTANG PERTAMA MORLEY DI DALAM SEGITIGA SEMBARANG Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNSRI Ambarsari Kusuma Wardani Email : ambarkusuma8@yahoocom Abstrak Makalah ini berisi tentang sebuah rumus luas segitiga yang merupakan segitiga khusus yang disebut segitiga bintang Morley pertama (First Morley Triangle Star) beserta pembuktiannya Segitiga ini ditemukan oleh seorang profesor matematika yang bernama Morley Jika diberikan sebuah segitiga sembarang kemudian setiap sisinya dibagi tiga bagian sama panjang lalu tiap bagian tersebut dihubungkan dengan sudut yang ada dihadapan sisi tersebut maka akan terbentuk segi enam Tiap titik dari segi enam tersebut dihubungkan dengan titik yang berada selang satu titik dari titik tersebut sehingga terbentuk bangun datar yang disebut segitiga bintang Morley pertama Luas segitiga bintang tersebut dari luas segitiga aslinya Rumus luas tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan sistem koordinat cartesius Rumus lain yang digunakan dalam pembuktian luas segitiga bintang ini adalah rumus luas segitiga Makalah ini dibuat dengan tujuan agar dapat menambah pengetahuan dalam pelajaran matematika khususnya bidang geometri Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis maupun pembaca Kata kunci : Segitiga sembarang koordinat cartesius luas segitiga bintang PENDAHULUAN Matematika terdiri dari berbagai cabang Geometri merupakan cabang matematika yang membahas bentuk bidang dan ruang suatu obyek geometri (terutama luas dan volume) Obyekobyek geometri merupakan bagian dari obyek matematika yang abstrak Obyekobyek geometri antara
lain titik garis segitiga jajargenjang lingkaran elips kubus dan masih banyak obyek geometri yang lain Segitiga merupakan salah satu contoh bangun datar yang merupakan bagian kecil dari geometri yang kerap kita temui didalam pembelajaran matematika Salah satunya segitiga sembarang Frank Morley seorang Profesor Matematika dari Universitas Johns Hopkins Amerika Serikat menemukakan Segitiga Bintang Morley Pertama (First Morley Triangle Star) Makalah ini membahas perbandingan antara luas segitiga bintang dengan segitiga aslinya MATERI PENUNJANG A Segitiga Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut (Lihat Gambar ) C A B Gambar B Luas Segitiga C A Gambar D B Berdasarkan Gambar luas segitiga dengan alas AB dan tinggi CD dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: Luas ABC
C Koordinat Cartesius Koordinat ini terdiri dari garis saling tegak lurus yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal) Garis mendatar ini disebut sumbux sedangkan garis yang tegak disebut sumbuy Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal dan diberi tanda O Titiktitik di sebelah kanan dan atas O adalah bilanganbilangan real positif sedangkan titiktitik di sebelah kiri dan bawah O adalah bilanganbilangan real negatif Letak sebuah titik dalam bidang dinyatakan dengan pasangan terurut (xy) (Gambar ) yang disebut koordinat y y B(xy) A(xy) O x Gambar D Persamaan Garis Melalui Dua Titik Sebarang Persamaan garis yang melalui titik A(x y) dan B(x y) ( ) atau dapat (Perhatikan Gambar ) adalah dituliskan
MATERI POKOK Luas Segitiga Bintang Pertama Morley (Area of First Morley Triangle Star) Misalnya diberikan sebuah segitiga sembarang ABC First Morley Triangle Star (Segitiga Bintang Morley Pertama) yaitu di dalam segitiga sembarang ABC terdapat Segitiga Bintang yang luasnya dari luas ABC BUKTI: Luas segitiga bintang akan dibuktikan dengan menggunakan sistem koordinat cartesius Diberikan sebuah segitiga sembarang ABC (Gambar ) y C A B Gambar x
Tiap sisi segitiga dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang (Gambar ) y C C A C A A B B B x Gambar Setelah membagi tiap sisi segitiga menjadi tiga bagian sama panjang hubungkan tiap titik pada sisi segitiga dengan sudut yang ada di hadapannya (Gambar 6) y C A C H I C D A G A F E B B Gambar 6 B x
Selanjutnya hubungkan tiap titik dengan titik yang berada selang satu titik dengan titik tersebut (Gambar ) y C A C H I N C M L O D J A F K E B A G B B x Gambar Dari gambar di atas Daerah segitiga bintang adalah DJEKFLGMHNIO Untuk mencari luas segitiga bintang akan dicari koordinat masingmasing titiknya Dari Gambar dapat ditentukan koordinat titik pada sisi segitiga A (00) A A ( ) ( ) B( ) B B 0 0 C (a c) 6
C C Setelah diperoleh titiktitik tersebut dapat ditentukan titiktitik D E F G H I Titik D merupakan perpotongan dari garis CB dengan garis BC Persamaan garis CB 0 ( ) ( ) Persamaan garis BC 0 ( ) () ( ) () Eliminasi persamaan () dan persamaan () x x 9 0 8 8 ()
Substitusi persamaan () ke persamaan () Jadi D Titik E merupakan perpotongan dari garis AA dengan garis BC Persamaan garis AA 0 0 ( ( ) ) 0 0 ( ) () Persamaan garis BC () Eliminasi persamaan () dan persamaan () 0 () Substitusi persamaan () ke persamaan () 8
Jadi E Titik F merupakan perpotongan dari garis AA dengan garis CB Persamaan garis AA () Persamaan garis CB 0 ( )( ) ( ) () Eliminasi persamaan () dan persamaan () 0 8 8 () Substitusi persamaan () ke persamaan () Jadi F 9
Titik G merupakan perpotongan dari garis CB dengan garis BC Persamaan garis CB () ( ) () Eliminasi persamaan () dan persamaan () Persamaan garis BC 0 0 ( ) x 6 6 x 6 6 6 9 6 0 () Substitusi persamaan () ke persamaan () Jadi G Titik H merupakan perpotongan dari garis AA dengan BC Persamaan garis AA 0
0 0 ( ) )0 0 ( ) () Persamaan garis BC () Eliminasi persamaan () dan persamaan () 0 () Substitusi persamaan () ke persamaan () Jadi H 6 Titik I merupakan perpotongan dari garis AA dan CB Persamaan garis AA () Persamaan garis CB () Eliminasi Persamaan () dan Persamaan () x 6 6 x 6 6 0 ()
Substitusi persamaan () ke persamaan () Jadi I Selanjutnya dapat ditentukan titiktitik J K L M N O dengan bantuan titiktitik D E F G H I Titik J adalah perpotongan antara garis DF dan garis EI Persamaan garis DF 0 0 6 () Persamaan garis EI ()
Substitusi persamaan () ke persamaan () 0 Jadi J 8 Titik K merupakan perpotongan antara garis DF dan garis EG Persamaan garis DF () Persamaan garis EG () Substitusi persamaan () ke persamaan () Jadi K 9 Titik L merupakan perpotongan antara garis EG dan FH Persamaan garis EG ()
Persamaan garis FH 6 8 6 6 6 () Eliminasi persamaan () dan persamaan () x 0 0 8 x 0 0 0 0 0 0 () Substitusi persamaan () ke persamaan () 0 0 Jadi L 0 Titik M merupakan perpotongan antara garis FH dan GI Persamaan garis FH () Persamaan garis GI 0
0 () Substitusi persamaan () ke persamaan () 8 8 8 0 Jadi M Titik N merupakan perpotongan antara garis GI dan DH Persamaan garis GI () Persamaan garis DH 6 6 6 6 () Substitusi persamaan () ke persamaan () 8
Jadi N Titik O merupakan perpotongan antara garis DH dan garis EI Persamaan garis DH () Persamaan garis EI () Eliminasi persamaan () dan persamaan () x 0 0 x 0 0 0 0 0 0 () Substitusi persamaan () ke persamaan () 0 0 Jadi O Dari uraian di atas maka diperoleh titiktitik pembentuk segitiga bintang yaitu: D E F G H 6 I J 8 K 6
9 L 0 M N O Setelah mendapatkan koordinatkoordinat keduabelas pembentuk Segitiga Bintang luas segitiga bintang dapat ditentukan Luas segitiga bintang dapat dibagi menjadi bagian yaitu: DFH EKJ LGM ONI Luas daerah Luas DFH Luas DFH ( ) ( ) Luas daerah Luas EKJ Luas EKJ titik
Luas daerah Luas LGH Luas LGH ( ) ( ) Luas daerah Luas ONI Luas ONI ( ) ( ) Luas Segitiga Bintang L L L L Luas ABC ( ) ( ( 0) ( 0) 8 )
Sehingga diperoleh perbandingan antara luas Segitiga Bintang dengan luas Segitiga ABC seperti berikut: 00 00 Contoh Soal: Diberikan segitiga sembarang ABC seperti pada gambar Tentukan luas DEFGHIJKLMNO! y C() L N M O D E A(00) B (60) C () : Luas DEFGHIJKLMNO Penyelesaian: L ABC ( J I G H B(60) Diketahui: Segitiga sembarang ABC: A(00) Ditanya F K ) ( ) 9 x
(6 0) ( 0) L DEFGHIJKLMNO Jadi Luas daerah DEFGHIJKLMNO adalah satuan luas KESIMPULAN Jika diberikan sebuah segitiga sembarang ABC dimana setiap sisinya dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang melalui setiap titik di tiap sisinya ditarik garis lurus menuju sudut dihadapannya maka akan terbentuk sebuah segienam Selanjutnya setiap titik pada segienam dihubungkan dengan titik yang berada selang satu titik dari titik tersebut maka akan membentuk sebuah daerah yang disebut Segitiga Bintang Morley Pertama Luas daerah Segitiga Bintang tersebut 0 dari luas segitiga aslinya
DAFTAR PUSTAKA Nurharini D dan T Wahyuni 008 Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VII SMP/MTs Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Nurharini D dan T Wahyuni 008 Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VIII SMP/MTs Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional http://mathworldwolframcom/firstmorleytrianglehtml Diakses tanggal Maret 00 http://wwwaprendermatinfo/indonesio/historydetailhtm?idmorley Diakses tanggal Maret 00 http://wwwgogeometrycom/problem/p_area_triangle_starhtm Diakses tanggal Maret 00