ESTIMASI Widya Setiafindari
Tujuan Pembelajaran Menjelaskan konsep-konsep dasar yang mendukung pendugaan rata-rata populasi, persentase dan varians Menghitung dugaan-dugaan (estimates) rata-rata populasi pada tingkat kepercayaan (level of confidence) berbeda-beda jika deviasi standard populasi tidak diketahui ataupun jika diketahui Menghitung dugaan-dugaan persentase populasi pada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda Menghitung dugaan-dugaan varians populasi pada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda Memahami kapan dan bagaimana menggunakan distribusi-distribusi probabilitas yang semestinya, yang diperlukan untuk tujuan-tujuan pendugaan
Pokok Bahasan Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Pendugaan Mean Populasi Pendugaan Persentase Populasi Pendugaan Varians Populasi Penentuan Ukuran Sampel
Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator) Dugaan (Estimate) : adalah sebuah nilai spesifik atau kuantitas daripada sebuah statistik misalnya: nilai mean sampel, persentase sampel, atau varians sampel
Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator) Penduga (Estimator) : setiap statistik (mean sampel, persentase sampel, varians sampel, dan lain-lain) yang digunakan untuk menduga sebuah parameter Penduga tak-bias (unbiased estimator) : sebuah penduga yang menghasilkan suatu distribusi sampling yang memiliki mean sama dengan parameter populasi yang akan diduga Penduga terbaik (best estimator): penduga yang memenuhi syarat-syarat sebagai suatu penduga tak-bias dan juga memiliki varians yang terkecil (minimum)
Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator)
Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator) Pendugaan (Estimation) : Keseluruhan proses yang menggunakan sebuah penduga untuk menghasilkan sebuah dugaan daripada parameter Pendugaan Tunggal (Point Estimation): angka tunggal yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi Pendugaan Interval (Interval Estimation): sebaran nilai-nilai yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi
Estimasi Adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter. Jenis Estimasi: Estimasi titik, sebuah estimate titik dari sebuah parameter θ adalah suatu angka tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai yang masuk akal bagi θ.
Estimasi Estimate titik yang baik diperoleh dengan memilih statistik yang tepat dan menghitung nilainya dari data sampel. Statistik yang dipilih disebut sebagai estimator titik (point estimator). Proses mengestimasi dengan suatu angka tunggal disebut debagai estimasi titik (point estimation)
Estimasi Estimasi Interval, sebuah estimate interval (interval estimate) dari sebuah parameter θ adalah suatu sebaran nilai-nilai yang digunakan untuk mengestimasi θ. Proses mengestimasi dengan suatu sebaran nilai-nilai disebut estimasi interval (interval estimation).
Contoh 1 Pabrik ban Stonebridge ingin menduga penjualan rata-rata perhari. Sebuah sampel harian yang dikumpulkan menghasilkan rata-rata senilai $ 800. Dalam hal ini telah dilakukan pendugaan tunggal (point estimation), dengan menggunakan penduga (estimator) berupa statistik mean sampel ( ) untuk menduga parameter mean populasi (µx) dan nilai sampel x = $ 800 sebagai dugaan (estimates) dari nilai populasi.
Konsep dasar pendugaan interval mean populasi Dalam prakteknya hanya satu sampel dari populasi Untuk menduga parameter populasi harus diketahui sesuatu hal mengenai hubungannya dengan mean-mean sampel.
1. Distribusi Sampling Konsep distribusi mean-mean sampling (sampling distribution of the means) memberikan dasar teoritis bagi estimasi interval dari mean populassi. Apabila ukuran sampel cukup besar maka distribusi mean-mean samplingnya akan mendekati distribusi normal/gaussian.
1. Distribusi Sampling Dalam kisaran dua error standard (2 ) dari mean distribusi mean-mean sampling tercakup 95,46 persen mean-mean sampel yang mungkin. Jika pengambilan 1000 sampel yang ukurannya sama dari suatu populasi, maka sekitar 954 mean-mean sampel yang tersebut akan berada dalam kisaran 2 error standard pada kedua sisi dari mean sampel.
Pertimbangan Lebar Interval Jika prinsip sebelumnya digeneralisasi, maka dapat diterapkan berbagai estimate interval untuk berbagai situasi. Jika distribusi samplingnya normal, maka estimate interval untuk mean populasi µx dapat dibentuk dengan cara:
Pertimbangan Lebar Interval
Tingkat Kepercayaan Dalam estimasi secara statistik selalu ditetapkan suatu tingkat kepercayaan (level of confidence atau confidence coefficient) terhadap estimate-estimate interval yang dibuat. Tingkat kepercayaan adalah probabilitas bahwa parameter populasi yang diduga akan termuat dalam interval estimate. Interval-interval kepercayaan (confidence interval) adalah estimate-estimate interval berdasarkan pada tingkat kepercayaan tertentu.
Tingkat Kepercayaan Batas atas dan batas bawah interval disebut batas-batas kepercayaan (confidence limit) Tingkat kepercayaan ditetapkan sebelum estimasi dilakukan. Dengan menetapkan tingkat kepercayaan sebesar 90 persen, artinya seseorang yang melakukan estimasi tersebut ingin agar 90 persen yakin bahwa mean populasi akan termuat dalam interval yang diperoleh.
Tingkat Kepercayaan Menentukan berapa nilai z yang akan digunakan untuk membentuk estimate interval yang akan memuat mean populasi sebanyak 90 persen dari keseluruhan estimate interval yang dapat dibuat. Nilai z dapat diperoleh dengan tabel skor z (dengan prinsip bahwa berlaku kurva distribusi normal pada distribusi sampling)
Tingkat Kepercayaan Yang umumnya digunakan untuk estimasi interval:
Estimasi Mean Populasi Ukuran sampel (apakah besar n > 30 atau kecil n < 30) Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau tidak) Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak) Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar estimasi.
Mengestimasi Mean jika deviasi standard diketahui dan ukuran sampel n > 30 Jika deviasi standard populasi ( x) diketahui dan ukuran sampel (n) lebih dari 30. error standard mean: Jika anggota populasi tak terhingga: Jika anggota populasinya terhingga sejumlah N:
Mengestimasi Mean jika deviasi standard diketahui dan ukuran sampel n > 30 Estimasi interval mean populasi dapat dibentuk dengan cara:
Contoh Seorang manajer di perusahaan kertas Papirus ingin mengestimasi waktu rata-rata yang dibutuhkan oleh sebuah mesin baru untuk memproduksi satu rim kertas. Suatu sampel acak sejumlah 36 rim menunjukkan bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan adalah 1,5 menit untuk setiap rimnya. Informasi dari perusahaan pembuat mesin menyatakan bahwa deviasi standard dari waktu produksi adalah 0,30 menit dan manajer tersebut mengasumsikan hal yang sama dalam estimasinya. Berapa estimate interval yang dapat ditentukan dengan tingkat kepercayaan sebesar 95 persen?
Jawab
Jawab Dengan tingkat kepercayaan 95%, nilai z = 1,96. jadi estimate interval dari nilai waktu rata-rata sesungguhnya adalah: Manajer mengestimasi dengan tingkat keyakinan 95 persen bahwa waktu rata-rata untuk memproduksi 1 rim kertas dengan mesin yang baru tersebut adalah antara 1,402 menit sampai 1,598 menit.
Tugas Rumah Perusahaan dagang pipa ABC menerima pengiriman 100 batang pipa, dan petugas pemeriksa bagian kendali mutu ingin mengestimasi diameter rata-rata pipa tersebut untuk mengetahui apakah pipa-pipa tersebut memenuhi standard minimum. Petugas pemeriksa tersebut mengambil 50 pipa sebagai sampel dan diperoleh dari sampel bahwa ratarata diameter adalah 2,55 inci. Dari data pengiriman selama ini deviasi standard diameter pipa yang diterima adalah 0,07 inci. Tentukan estimate interval dengan tingkat kepercayaan 99 persen.