ANALISA KOMPLEKS. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan () berikut = a + ib () dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular - a : bilangan nyata - b : bilangan khayal Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebagai berikut o Penjumlahan ( ) ( ) ( ) ( ) + = a + ib + a + ib = a + a + i b + b () o Pengurangan ( ) ( ) ( ) ( ) - = a + ib a + ib = a - a + i b - b () o Perkalian ( )( ) ( ) ( ) = a + ib a + ib = a a - b b + i a b + a b (4) o Pembagian ( ) ( ) ( ) ( ) a + ib a a + b b a b - a b = = + i a + ib a b a b + + Bilangan kompleks konjugat dinyatakan oleh persamaan (6) berikut = a - ib (6) (5). Bilangan Kompleks Dalam Koordinat Kutub, Akar dan Pangkat Bentuk umum bilangan kompleks dalam koordinat kutub didefinisikan pada persamaan (7) berikut = r θ = r cos θ + i r sin θ (7) dimana - : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk polar - r : nilai mutlak atau modulus dari
- θ : argument dari ( radian atau derjat) Nilai modulus r diperoleh dari persamaan (8) berikut r = = a + b (8) Nilai θ diperoleh dari persamaan (9) berikut θ = arg = tan a b Dengan nilai utama pada persamaan () berikut π < θ π () Operasi-operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan () s/d (4) berikut o o o o Perkalian ( ) ( ) = r r cos θ + θ + i sin θ + θ Pembagian r ( ) ( ) = cos θ- θ + i sin θ- θ r Pangkat Bulat ( ) (9) () () n n = r cos nθ + i sin nθ () Akar n n θ + kπ θ + kπ = r cos + isin n n Nilai n yang diperoleh dengan mengambil nilai utama θ dan k =. (4). Limit, Turunan dan Fungsi Kompleks Bentuk umum fungsi kompleks pada persamaan (5) berikut w = f( ) = u( x,y ) + iv( x,y ) (5) Suatu fungsi f( ) dikatakan mempuyai limit l untuk mendekati titik dituliskan dalam bentuk persamaan (6) berikut ( ) lim f = l (6) Turunan suatu fungsi kompleks f( ) di titik didefinisikan pada persamaan (7) berikut
( ) ( ) ( ) f + - f = (7) ' f lim = l Ada beberapa perintah Matlab yang digunakan untuk menghitung limit fungsi kompleks adalah limit(expr, x, a) limit(expr, a) limit(expr) limit(expr, x, a, 'left') limit(expr, x, a, 'right') 4. Fungsi Eksponensial Bentuk umum fungsi eksponensial kompleks pada persamaan (8) berikut ( ) x e = e cosy + i sin y (8) 5. Fungsi Trigonometrik dan Fungsi Hiperbolik Bentuk umum fungsi trigonometrik dalam bilangan kompleks pada persamaan (9) s/d (4) berikut cos = sin = i ( i -i e + e ) ( i -i e - e ) (9) () Selain itu didefinisikan juga bentuk bentuk fungsi trigonometrik yang lain pada persamaan () s/d (4) berikut sin tan = cos () cos cot = sin sec = cos cos = sin () () (4) Bentuk umum fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks pada persamaan (5) s/d (6) berikut cosh = sinh = ( e + e - ) ( e - e - ) (5) (6)
Selain itu didefinisikan juga fungsi-fungsi hiperbolik lain pada persamaan (7) s/d () berikut sinh tanh = cosh (7) cosh coth = sinh sech = cosh cosh = sinh (8) (9) () Selain itu fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik komplek saling berkaitan dalam bentuk fungsi-fungsi pada persamaan () s/d (4) berikut cosh i = cos () sinh i = isin () cos i = cosh () sin i = isinh (4) 6. Logaritma dan Pangkat Umum Bentuk umum logaritma bilangan kompleks pada persamaan (5) berikut ln = ln r + iθ (5) Nilai utama dari dari ln pada persamaan (6) berikut ln = ln + i arg (6) Sifat- sifat logaritma asli yang berlaku untuk logaritma kompleks pada persamaan (7) s/d (9) berikut ln ( ) = ln + ln (7) ln = ln - ln (8) ( ln ( )) ' = (9) Pangkat umum bilangan kompleks pada persamaan (4) berikut ln a a = e (4) 4
7. Integral Kompleks Bentuk umum integral kompleks adalah f( ) d = F( ) F( ) (4) 8 Beberapa Fungsi Matlab Untuk Bilangan Kompleks Beberapa fungsi Matlab yang digunakan dalam analisa kompleks diantaranya Tabel. Fungsi Fungsi Analisa Kompleks Fungsi Keterangan abs(x) Harga mutlak bilangan kompleks angle(z) Sudut fase bilangan kompleks complex(a,b) Membentuk bilangan kompleks dari bagian nyata dan khayal conj(z) Konjugate bilangan kompleks real(z) Bagian nyata bilangan kompleks imag(z) Bagian khayal bilangan kompleks 9. Contoh Soal dan Jawab Contoh : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (4) s/d (45) berikut Jawab : a. = + i4 (4) b. = - i4 (4) c. = - + i4 (44) d. 4 = - - i4 (45) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (4) s/d (45) adalah Z = complex(,4) Z = complex(,-4) Z = complex(-,4) Z4 = complex(-,-4) Bentuk Polar disp('bilangan Kompleks Z') Z_abs = abs(z) Z_Sud = angle(z) 5
disp('bilangan Kompleks Z') Z_abs = abs(z) Z_Sud = angle(z) disp('bilangan Kompleks Z') Z_abs = abs(z) Z_Sud = angle(z) disp('bilangan Kompleks Z4') Z4_abs = abs(z4) Z4_Sud = angle(z4) Hasil program Z =. + 4.i Z =. - 4.i Z = -. + 4.i Z4 = -. - 4.i Contoh : Dengan menggunakan Matlab, jika = + j4 dan = 8 + j6 hitung operasi aritmetik pada persamaan (46) s/d (49) berikut a. a = + (46) b. b = - (47) c. c = (48) d. d = Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (46) s/d (49) adalah Z = complex(,4) Z = complex(8,6) Operasi Aritmetik disp('penjumlahan Bilangan Kompleks') Za = Z + Z disp('pengurangan Bilangan Kompleks') Zb = Z - Z disp('perkalian Bilangan Kompleks') Zc = Z*Z disp('pembagian Bilangan Kompleks') Zd = Z/Z 6 (49)
Hasil program Z =. + 4.i Z = 8. + 6.i Penjumlahan Bilangan Kompleks Za =. +.i Pengurangan Bilangan Kompleks Zb = -5. -.i Perkalian Bilangan Kompleks Zc = +5.i Pembagian Bilangan Kompleks Zd =.48 +.4i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (5) s/d (5) berikut a. a = + =. + i. (5) b. b = - = 5. i. (5) c. c = = i5. (5) d. d =.48 i.4 = + (5) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, jika = + i4, = 8 + i6 dan = + i tentukan a. (54) b. (55) c. (56) d. a = re( + ) (57) e. b = im( - ) (58) f. c = re( ) (59) g. d = im (6) 7
Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (54) s/d (6) adalah Z = complex(,4) Z = complex(8,6) Z = complex(,) _a = conj(z) _a = conj(z) _a = conj(z) Za = real(z + Z) b = imag(z - Z) c = real(z*z) d = imag(z/z) Hasil program Z =. + 4.i Z = 8. + 6.i Z =. +.i _a =. - 4.i _a = 8. - 6.i _a =. -.i Za = b = - c = d =.88 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (6) s/d (67) berikut a. =. - i4. (6) b. = 8. - i6. (6) c. =. i. (6) 8
d. a = re( + ) =. (64) e. b = im( - ) =. (65) f. c = re( ) =. (66) g. d = im =.88 Z = complex(,4) Z = complex(,-4) Z = complex(-,4) Z4 = complex(-,-4) Bilangan Kompleks Z disp('bilangan Kompleks Z (Kutub)') _r = abs(z) _sud_rad = angle(z) Radian _sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat Bilangan Kompleks Z disp('bilangan Kompleks Z (Kutub)') _r = abs(z) _sud_rad = angle(z) Radian _sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat Bilangan Kompleks Z disp('bilangan Kompleks Z (Kutub)') _r = abs(z) _sud_rad = angle(z) Radian _sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat Bilangan Kompleks Z4 disp('bilangan Kompleks Z4 (Kutub)') 4_r = abs(z4) 4_sud_rad = angle(z4) Radian 4_sud_deg = (angle(z4)/pi)*8 Derjat 9 (67) Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (68) s/d (7) bentuk dalam bentuk kutub a. = + i4 (68) b. = - i4 (69) c. = - + i4 (7) d. 4 = - - i4 (7) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (68) s/d (7) adalah
Hasil program Z =. + 4.i Z =. - 4.i Z = -. + 4.i Z4 = -. - 4.i Bilangan Kompleks Z (Kutub) _r = 4. _sud_rad =.58 _sud_deg = 75.968 Bilangan Kompleks Z (Kutub) _r = 4. _sud_rad = -.58 _sud_deg = -75.968 Bilangan Kompleks Z (Kutub) _r = 4. _sud_rad =.858 _sud_deg = 4.6 Bilangan Kompleks Z4 (Kutub) 4_r = 4. 4_sud_rad = -.858 4_sud_deg = -4.6 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (7) s/d (75) berikut a. b. c. d. = + i4 = 4..58 = 4. 75.968 (7) = - i4 = 4..58 = 4. 75.968 (7) = - + i4 = 4..858 = 4. 4.6 (74) = - - i4 = 4..858 = 4. 4.6 4 (75)
Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (76) s/d (79) bentuk dalam bentuk rectangular berikut a. = 4 9 (76) b. c. = 5 5 = π 45 (77) (78) d. = 5 4 (79) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (76) s/d (79) adalah disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 4 * cos((9/8)*pi); Z_b = 4 * sin((9/8)*pi); Z = complex(z_a,z_b) disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 5 * cos((5/8)*pi); Z_b = 4 * sin((5/8)*pi); Z = complex(z_a,z_b) disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = pi * cos((45/8)*pi); Z_b = pi * sin((45/8)*pi); Z = complex(z_a,z_b) disp('bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((/8)*pi); Z4_b = 5 * sin((/8)*pi); Z4 = complex(z4_a,z4_b) Hasil Program Bilangan Kompleks Z Z =. + 4.i Bilangan Kompleks Z Z = -.555 +.884i Bilangan Kompleks Z Z =.4 +.4i Bilangan Kompleks Z4 Z4 = -.5 + 4.i
Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (8) s/d (8) berikut a. b. c. d. = 4 9 =. + i4. (8) = 5 5 -.555 + i.884 = (8) = π 45.4 i.4 = + (8) 4 = 5.5 i4. = + (8) Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, hitung penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks pada persamaan (84) s/d (87) dalam bentuk kutub berikut a. = 4 75 + 5 5 (84) b. c. = 5 5 5 + (85) = π 45.5 75 (86) d. = 5 5 6 4 (87) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (84) s/d (87) adalah disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 4 * cos((75/8)*pi); Z_b = 4 * sin((75/8)*pi); Z_ = complex(z_a,z_b); Z_c = 5 * cos((5/8)*pi); Z_d = 5 * sin((5/8)*pi); Z_ = complex(z_c,z_d); Z = Z_ + Z_; Z_abs = abs(z) Z_sud_rad = angle(z) Radian Z_sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = 5 * cos((5/8)*pi); Z_b = 5 * sin((5/8)*pi); Z_ = complex(z_a,z_b); Z_c = * cos((5/8)*pi); Z_d = * sin((5/8)*pi); Z_ = complex(z_c,z_d); Z = Z_ + Z_; Z_abs = abs(z) Z_sud_rad = angle(z) Radian
Z_sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat disp('bilangan Kompleks Z') Z_a = pi * cos((45/8)*pi); Z_b = pi * sin((45/8)*pi); Z_ = complex(z_a,z_b); Z_c =.5 * cos((75/8)*pi); Z_d =.5 * sin((75/8)*pi); Z_ = complex(z_c,z_d); Z = Z_ - Z_; Z_abs = abs(z) Z_sud_rad = angle(z) Radian Z_sud_deg = (angle(z)/pi)*8 Derjat disp('bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((/8)*pi); Z4_b = 5 * sin((/8)*pi); Z4_ = complex(z4_a,z4_b); Z4_c = 5 * cos((6/8)*pi); Z4_d = 5 * sin((6/8)*pi); Z4_ = complex(z4_c,z4_d); Z4 = Z4_ - Z4_; Z4_abs = abs(z4) Z4_sud_rad = angle(z4) Radian Z4_sud_deg = (angle(z4)/pi)*8 Derjat Hasil program Bilangan Kompleks Z Z_abs = 7.494 Z_sud_rad =.55 Z_sud_deg =.485 Bilangan Kompleks Z Z_abs = 4.88 Z_sud_rad =.479 Z_sud_deg =.675 Bilangan Kompleks Z Z_abs =.7 Z_sud_rad =.694 Z_sud_deg = 9.766 Bilangan Kompleks Z4
Z4_abs = 4. Z4_sud_rad =.68 Z4_sud_deg = 5 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (88) s/d (9) berikut a. b. c. d. = 4 75 + 5 5 7.494.494 ' = (88) = 5 5 5 4.88.675 ' + = (89) = π 45.5 75.7 9.766 4 ' = (9) = 5 5 6 4. 5 = (9) Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, hitung perkalian dan pembagian kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (9) s/d (95) berikut a. ( )( a = 7 4 ) (9) b. ( )( b = π 7.5 ) c. d. = (9) ( π 67 ) ( 5 ) c = ( 7 ) ( 4 ) d Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (9) s/d (95) adalah disp('bilangan Kompleks Za') Z_abs =.; Z_sud = (7/8)*pi; Z_abs = 4.; Z_sud = (/8)*pi; Za_abs = Z_abs*Z_abs Za_sud = ((Z_sud + Z_sud)/pi)*8 derjat disp('bilangan Kompleks Zb') Z_abs = pi; Z_sud = (7/8)*pi; Z4_abs =.5; 4 (94) (95)
Z4_sud = (/8)*pi; Zb_abs = Z_abs*Z4_abs Zb_sud = ((Z_sud + Z4_sud)/pi)*8 derjat disp('bilangan Kompleks Zc') Z5_abs = (*pi); Z5_sud = (67/8)*pi; Z6_abs = 5.; Z6_sud = (/8)*pi; Zc_abs = Z5_abs/Z6_abs Zc_sud = ((Z5_sud - Z6_sud)/pi)*8 derjat disp('bilangan Kompleks Zd') Z7_abs =.; Z7_sud = (7/8)*pi; Z8_abs = 4.; Z8_sud = (/8)*pi; Zd_abs = Z7_abs/Z8_abs Zd_sud = ((Z7_sud - Z8_sud)/pi)*8 derjat Hasil program Bilangan Kompleks Za Za_abs = 4 Za_sud = 59 Bilangan Kompleks Zb Zb_abs =.578 Zb_sud = 59. Bilangan Kompleks Zc Zc_abs =.885 Zc_sud = 47 Bilangan Kompleks Zd Zd_abs =.5 Zd_sud = -85 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (96) s/d (99) berikut a. a ( )( ) = 7 4 4 59 = (96) b. b ( )( ) = π 7.5 =.578 59. (97) 5
c. d. ( π 67 ) ( 5 ) = =.885 47 c ( 7 ) ( 4 ) = =.5 85 d (98) (99) Contoh 8 : Dengan menggunakan Matlab, selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan () s/d () berikut a. -( 5 + i) + ( 8 + i ) = () b. - + ( + i ) = () c. + i4 () d. 8 i () Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan () s/d () adalah Soal a p = [ -(5 + i) (8+i)] roots(p) Soal b p = [ - ( + i)] roots(p) Soal c p = ( + i*4)^.5 Soal d p = (i*)^(/8) Hasil program p =. -5. -.i 8. +.i ans =. +.i. -.i p =. -.. +.i 6
ans =. -.i. +.i p =. +.i P4 =.696 +.7i Hasil program menunjukkan bahwa - 5 + i + 8 + i = (4) a. ( ) ( ) diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (4) berikut =. + i. (5) =. - i (6) b. - + ( + i ) = (7) diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (8) berikut =. + i. (9) =. - i () c. + i4=.+ i () d. 8 i =.696+ i.7 () Contoh 9 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui =. + i. dan =. - i5.. Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan () s/d (6) berikut a. ( ) - + 8 + i () b. ( ) - + + i = (4) c. + (5) d. (6) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan () s/d (6) adalah 7
= complex(,); = complex(,-5); Soal a f_ = ^ - * + (8 + i) Soal b f_ = *^ - * + ( + i) Soal c f_ = ( + )^.5 Soal d f_4 = (*)^(/) Hasil program f_ = f_ = f_ = f_4 = 9. +.i 7. +4.i.7 -.6446i.68 -.56i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (7) s/d () berikut a. ( ) - + 8 + i = 9.+ i. (7) b. ( ) - + + i = 7. + i4. (8) c. + =.7 i.6446 (9) d. =.688 j.56 () Contoh : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui =. + i5. () = i.. () = -4 + i. () Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (4) s/d () berikut a. f( ) = + (4) b. f( ) = + (5) 8
c. f( ) = + (6) d. f( ) = (7) e. f( ) = (8) f. f( ) = (9) g. ( ) f = h. ( ) f = i. ( ) f = ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (4) s/d () adalah = complex(,5) = complex(,) = complex(-4,) soal a f_a = *^ + soal b f_b = *^ + soal c f_c = *^ + soal d f_d = /*^ soal e f_e = /*^ soal f f_f = /*^ soal g f_g = ( + )/( - ) soal h f_h = ( + )/( - ) soal i f_i = ( + )/( - ) () () () 9
Hasil program =. + 5.i = +.i = -4. +.i f_a = -6. +65.i f_b = -7. +.i f_c =. -46.i f_d = -.5 +.i f_e = -4.5 f_f = 6. - 8.i f_g =.769 -.846i f_h =.8 -.6i f_i =.655 -.79i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan () s/d (4) berikut a. f( ) = + = 6.+ i65. () b. f( ) = + = 7.+ i. (4) c. f( ) = + =. i46. (5) f = =.5+ i. (6) d. ( ) e. ( ) f = = 4.5 (7) f. ( ) g. ( ) h. ( ) f = 6. i8. = (8) ( + ) ( ) f =.769 i.846 - = (9) ( + ) ( ) f =.8 i.6 - = (4)
i. ( ) ( + ) ( ) f =.655 i.79 - = (4) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai turunan pada persamaan (4) s/d (45) berikut a. f( ) = + di = i (4) b. f( ) = di = + i (4) 4 c. f( ) = ( - i ) di d. ( ) f = ( - i) i = (44) di = i (45) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (4) s/d (45) adalah syms soal a f_a = *^ + * f_a_ = diff(f_a) f_a_ = subs(f_a_,-i) soal b f_b = /(*^4) f_b_ = diff(f_b) f_b_ = subs(f_b_,(i+)) soal c f_c = (^ - i)^ f_c_ = diff(f_c) f_c_ = subs(f_c_,(i/)) soal d f_d = ( - i)/(*) f_d_ = diff(f_d) f_d_ = subs(f_d_,*i) Hasil program f_a = *^ + * f_a_ = 9*^ + f_a_ = -7 f_b =
/(*^4) f_b_ = -/^5 f_b_ =.5 -.5i f_c = (^ - i)^ f_c_ = 4**(^ - i) f_c_ =. -.5i f_d = ( - i)/(*) f_d_ = /(*) - ( - i)/(*^) f_d_ = -.5i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (46) s/d (49) berikut a. f( i ) = + = -7 (46) b. f( + i ) =.5 j.5 4 = (47) i f = - i =. i.5 c. ( ) d. ( ) ( - i) (48) f i = =. i.5 (49) Contoh : Dengan menggunakan Matlab, tentukan limit dari persamaanpersamaan (5) s/d (5) berikut a. ( ) lim f = lim + i i (5) lim f = lim b. ( ) 4 + i + i (5) c. ( ) ( ) lim f = lim - i d. ( ) lim f = lim --4i --4i ( - i) (5) di = i (5) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (5) s/d (5) adalah
syms soal a f_a = *^ + * o_a = complex(,) f_a_ = limit(f_a,o_a) soal b f_b = /(*^4) o_b = complex(,) f_b_ = limit(f_b,o_b) soal c f_c = (^ - i)^ o_c = complex(,) f_c_ = limit(f_c,o_c) soal d f_d = ( - i)/(*) o_d = complex(-,-4) f_d_ = limit(f_d,o_d) Hasil program f_a = *^ + * o_a = +.i f_a_ = (-)*i f_b = /(*^4) o_b =. +.i f_b_ = (*i)/65-7/5 f_c = (^ - i)^ o_c = f_c_ = (-)*i f_d = ( - i)/(*)
o_d = -. - 4.i f_d_ = i/4 + /4 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (54) s/d (57) berikut a. ( ) lim f = lim + = -i i i (54) b. lim f( ) = lim 4 + i + i c. ( ) ( ) 7 = + i (55) 5 65 lim f = lim - i = -i (56) d. ( ) lim f = lim --4i --4i ( ) - i = + i (57) 4 4 Contoh 7.: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (58) s/d (6) berikut + πi a. f( ) = e (58) -i b. f( ) = e (59) 4i c. f( ) = e (6) 4i d. f( ) = e + (6) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (58) s/d (6) adalah soal a _ = complex(,*pi) f_a = exp(_) soal b _ = complex(,-) f_b = exp(_) soal c _ = complex(-,-4) f_c = exp(_) soal d _4 = complex(-,4) f_d = exp(_4) 4
Hasil program _ =. + 6.8i f_a =.855 -.i _ = -.i f_b =.54 -.845i _ = -. - 4.i f_c = -.5 +.77i _4 = -. + 4.i f_d = -.5 -.77i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (6) s/d (65) berikut + πi a. f( ) = e =.855 - i. (6) -i b. f( ) = e =.54 - i.845 (6) 4i c. ( ) f = e =.5+ i.77 (64) + 4i d. ( ) f = e =.5 i.77 (65) Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (66) s/d (69) berikut + πi a. f( ) = re ( e ) (66) -i b. f( ) = re( e ) (67) 4i c. f( ) = im( e ) (68) 4i d. f( ) = im ( e + ) (69) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (66) s/d (69) adalah soal a _ = complex(,*pi); f_a_ = real(exp(_)) soal b 5
_ = complex(,-); f_b_ = real(exp(_)) soal c _ = complex(-,-4); f_b_ = imag(exp(_)) soal d _4 = complex(-,4); f_b_4 = imag(exp(_4)) Hasil program f_a_ =.855 f_b_ =.54 f_b_ =.77 f_b_4 = -.77 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (7) s/d (7) berikut + πi a. f( ) = re( e ) =.855 (7) -i b. f( ) = re( e ) =.54 (7) 4i c. ( ) ( ) f = im e =.77 (7) + 4i d. ( ) ( ) f = im e =.77 (7) Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (74) s/d (77) berikut a. cos( + i4 ) (74) b. cos( 6 - i8 ) (75) c. sin( i ) (76) d. sin( i) (77) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (74) s/d (77) adalah soal a _ = complex(,4); f_ = cos(_) 6
Soal b _ = complex(6,-8); f_ = cos(_) Soal c _ = complex(,); f_ = cos(_) Soal d _4 = complex(-,-); f_4 = cos(_4) Hasil program f_ = -7.49 -.85i f_ =.4e+ -4.646e+i f_ =.76 f_4 = -4.896-9.9i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (78) s/d (8) berikut a. cos( + i4) = -7.49 - i.85 (78) b. cos( 6 - i8) = 4. i46.46 (79) c. sin( i) =.76 (8) d. sin( i) = 4.896 i9.9 (8) Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi-fungsi pada persamaan (8) s/d (85) berikut a. cosh( + i4 ) (8) b. cosh( 6 - i8 ) (8) c. sinh( i ) (84) d. sinh( i) (85) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (8) s/d (85) adalah soal a _ = complex(,4); 7
f_ = cosh(_) Soal b _ = complex(6,-8); f_ = cosh(_) Soal c _ = complex(,); f_ = cosh(_) Soal d _4 = complex(-,-); f_4 = cosh(_4) Hasil program f_ = -6.587-7.586i f_ = -.95e+ -.9957e+i f_ = -.46 f_4 = -.745 +.58i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (86) s/d (89) berikut a. cosh( + i4) = 6.587 i7.586 (86) b. cosh( 6 - i8) = 9.5 i99.57 (87) c. sinh( i) =.46 (88) d. sinh( i) =.745+ i.58 (89) Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi fungsi pada persamaan (9) s/d (9) berikut a. ln( + i4 ) (9) b. ( ln ) ' (9) c. ln( + i4)( + i ) (9) d. ( 6 + i) ( ) ln + i4 (9) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (9) s/d (9) adalah 8
syms soal a _ = complex(,4); f_ = log(_) Soal b _ = log(^); f_ = diff(_) Soal c a = complex(,4); b = complex(,); f_ = log( a) + log( b) Soal d _4_a = complex(6,); _4_b = complex(,4); f_4 = log(_4_a) - log(_4_b) Hasil program f_ =.694 +.97i f_ = / f_ =.44 +.44i f_4 =.466 -.7854i Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (94) s/d (97) berikut a. ln( + i4) =.694+ i.97 (94) b. ( ) ' ln = (95) c. ln( + i4)( + i) =.44 + i.44 (96) d. ( 6 + i) ( ) ln.466 i.7854 + i4 = (97) 9