Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII January 8, 2015 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 1 / 15
Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema Taylor dan McLaurin d. Aturan L Hopital e. Teorema Rolle dan Teorema Nilai Antara Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 2 / 15
Turunan Fungsi Fungsi Invers Misalkan f (x), x D f fungsi kontinu, satu-satu dan diferensiabel untuk setiap x D f, dan inversnya f 1 (x). Jika f diferensiabel, dengan f (x) 0, maka fungsi f 1 juga diferensiabel dengan aturan turunan sebagai berikut. Misalkan f 1 = g maka f (g(x)) = x, karena f dan g diferensiabel, amka derivatif kedua ruas terhadap x adalah f (g(x))g (x) = 1 g 1 (x) = f (g(x)) (f 1 ) 1 (x) = f (f 1 (x)) dengan menggunakan notasi Leibniz dy = 1 dy Contoh Tentukan turunan dari fungsi invers y = x 2, x 0. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 3 / 15
Fungsi Parameter Definisi Fungsi Parameter Jika suatu fungsi disajikan dengan { x = f (t) y = g(t) t Domain Dengan x dan y keduanya diferensiabel terhadap t, dan dt 0, maka fungsi y diferensiabel terhadap x, yang didefinisikan dengan Contoh Tentukan dy dari fungsi parameter dy dy = dt dt { x = t 1 t+1 y = t+1 t R{ 1, 1} t 1 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 4 / 15
Fungsi Implisit Misalkan diketahui y sebagai fungsi x yang memenuhi 3x 2 y 4xy 3x 2 + 1 = 0, dan akan ditentukan dy dari fungsi tersebut. Secara intuitif, pertama yang akan dilakukan adalah mencari solusi y dari persamaan itu, yaitu: 3x 2 y 4xy 3x 2 + 1 = 0 (3x 4)xy 3x 2 + 1 = 0 y = 3x 2 1 x(3x 4) Berikutnya baru kita menentukan dy dari y = 3x 2 1 x(3x 4). Permasalahannya, tidak semua fungsi dengan relasi F (x, y) = C dapat dibawa ke bentuk y = f (x). Fungsi F (x, y) = C disebut fungsi berbentuk implisit (fungsi Implisit) sedangkan y = f (x) disebut fungsi eksplisit. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 5 / 15
Bagaimanan menentukan dy jika yang diketahui F (x, y) tanpa terlebih dahulu mengubah ke bentuk y = f (x)? Dengan selalu beranggapan bahwa y merupakan fungsi dari x, maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: i. Turunkan kedua ruas dari F (x, y) = C terhadap x ii. Ganti y dafri hasil akhir (bila ada) dengan bentuk fungsi awal. Cara seperti diatas, disebut Turunan Implisit Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 6 / 15
Penggunaan turunan implisit untuk menyelesaikan 3x 2 y 4xy 3x 2 + 1 = 0 d d ( 3x 2 y 4xy 3x 2 + 1 ) = d (0) ( 3x 2 ) + d (1) = 0 ( 3x 2 y ) d (4xy) d 6xy + 3x 2 dy dy 4y 4x 6x = 0 dy ( 3x 2 4x ) = 6x + 4y 6xy dy Bila disubtitusi nilai y = 3x 2 1 x(3x 4) diperoleh = 6x + 4y 6xy 3x 2 4x ke dalam dy dy = 12x 2 + 6x 4 x 2 (3x 4) 2 6x + 4y 6xy = 3x 2, 4x Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 7 / 15
Fungi Trigonometri 1. d (sinx) = cosx 2. d (cosx) = sinx 3. d (tanx) = sec2 x 4. d (cotx) = csc2 x 4. d (secx) = secxtanx 4. d (cscx) = cscxcotx Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 8 / 15
Fungsi Logaritma Bila a < 0 dan a 1, maka fungsi eksponensial f (x) = a x, merupakan fungsi naik atau turun, sehingga merupakan fungsi satu-satu. Jadi f (x) = a x mempunyai fungsi invers yang disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a. Jika digunakan definisi invers maka f 1 (x) = y x = f (y) a log x = y a y = x Logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural yaitu e log x = lnx. Sifat logaritma natural: 1. lnx = y x = e y 2. lne x = x, x R 3. e lnx = x Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 9 / 15
Turunan Tingkat Tinggi Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f. Jika f dideferensiasikan akan menghasilkan fungsi lain, dinyatakan dengan f dan disebut turunan kedua dari f, dan seterusnya. Jika, sebagai contoh maka f (x) = 2x 3 4x 2 + 7x 8 f (x) = 6x 2 8x + 7 f (x) = 12x 8 f (x) = 12 f 4 (x) = 0 karena turunan fungsi nol adalah nol, turunan keempat dan turunan-turunan yang lebih tinggi dari f akan nol. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 10 / 15
Teorema nilai Rata-rata Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b), maka terdapat c (a, b) sehingga f (c) = f (b) f (a) b a Teorema Rolle Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan diferensiabel pada (a, b) serta f (a) = f (b). Maka terdapat c (a, b) sehingga f (c) = 0. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 11 / 15
Teorema Taylor Misalkan fungsi f n kontinu pada [a, b] dan fungsi f n+1 terdiferensilakan pada (a, b). Maka terdapat suatu c (a, b) sehingga f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (a) 2! (b a) 2 +... + f n (a) (b a) n + f n+1 (a) n! n + 1! Teorema McLaurin Teorema ini merupakan kasus khusus dari Teorema Taylor untuk a = 0 maka kita akan peroleh f (0) + f (0)b + f (0) 2! b 2 + f (0) b 3 +... 3! Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 12 / 15
Aturan L Hopital Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan aturan L Hopital. Bagaimana jika dihadapkan pada limit-limit berikut lim x 0 sin x x 3 1, lim x x 1 x 1, lim f (x) f (c) x c x c Ketiga limit diatas mempunyai kemiripan, yaitu pembilang dan penyebutnya sama-sama menuju 0. Ketiga limit di atas merupakan limit bentuk tak tentu tipe 0/0 Catatan Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan yang sedang kita bahas adalah limit bentuk tak tentu 0/0, bukan 0/0. Limit tsb disebut bentuk tak tentu, karena nilainya memang tak tentu (bisa ada, bisa tidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antara satu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya). Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 13 / 15
Aturan L Hopital Misalkan lim x c f (x) = lim x c g(x) = 0. Jika lim x c f (x) g (x) ada (terhingga atau tak terhingga), maka Contoh Hitung: 1. lim x 0 x 3 1 x 1 f (x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x) x sin x x sin x 2. lim x 0 x 2, lim x 0 x 3 ln x 2 3. lim x 1 x 2 1 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 14 / 15
Bentuk Tak Tentu Lainnya Menghitung bentuk tak tentu tipe /, 0.,, 0 0, 0, dan 1 Aturan L Hopital Misalkan lim x c f (x) = lim x c g(x) =. Jika lim x c f (x) g (x) ada (terhingga atau tak terhingga), maka Contoh Hitung: e x 1. lim x 2x x 2 2. lim x 0 e x, 3. lim x 0 + xln x f (x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x) Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 15 / 15